初探分類思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透

1、 初探分類思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透丹陽市司徒中學(xué) 鄭海平推行素質(zhì)教育，培養(yǎng)面向新世紀(jì)的合格人才，使學(xué)生具有創(chuàng)新意識，在創(chuàng)造中學(xué)會學(xué)習(xí)，教育應(yīng)更多的的關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)方法和策略。數(shù)學(xué)家喬治·波利亞所說：“完善的思想方法猶如北極星，許多人通過它而找到正確的道路”。隨著課程改革的深入，“應(yīng)試教育”向“素質(zhì)教育”轉(zhuǎn)變的過程中，對學(xué)生的考察，不僅考查基礎(chǔ)知識，基本技能，更為重視考查能力的培養(yǎng)。如基本知識概念、法則、性質(zhì)、公式、公理、定理的學(xué)習(xí)和探索過程中所反映出來的數(shù)學(xué)思想和方法；要求學(xué)生會觀察、比較、分析、綜合、抽象和概括；會闡述自己的思想和觀點。從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，對學(xué)生進(jìn)行思想觀念層

2、次上的數(shù)學(xué)教育。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開思維，數(shù)學(xué)探索需要通過思維來實現(xiàn)，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中逐步滲透數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)思維能力，形成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，既符合新的課程標(biāo)準(zhǔn)，也是進(jìn)行數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的一個切入點。數(shù)學(xué)分類思想，就是根據(jù)數(shù)學(xué)對象本質(zhì)屬性的相同點與不同點，將其分成幾個不同種類的一種數(shù)學(xué)思想。它既是一種重要的數(shù)學(xué)思想，又是一種重要的數(shù)學(xué)邏輯方法。所謂數(shù)學(xué)分類討論方法，就是將數(shù)學(xué)對象分成幾類，分別進(jìn)行討論來解決問題的一種數(shù)學(xué)方法。有關(guān)分類討論思想的數(shù)學(xué)問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓(xùn)練人的思維條理性和概括性。分類討論思想，貫穿于整個中學(xué)數(shù)學(xué)的全部內(nèi)容中。需要運用分類討論的思想解決的數(shù)學(xué)問題，就

3、其引起分類的原因，可歸結(jié)為：涉及的數(shù)學(xué)概念是分類定義的；運用的數(shù)學(xué)定理、公式或運算性質(zhì)、法則是分類給出的；求解的數(shù)學(xué)問題的結(jié)論有多種情況或多種可能；數(shù)學(xué)問題中含有參變量，這些參變量的取值會導(dǎo)致不同結(jié)果的。應(yīng)用分類討論，往往能使復(fù)雜的問題簡單化。分類的過程，可培養(yǎng)學(xué)生思考的周密性，條理性，而分類討論，又促進(jìn)學(xué)生研究問題，探索規(guī)律的能力。分類思想不象一般數(shù)學(xué)知識那樣，通過幾節(jié)課的教學(xué)就可掌握。它根據(jù)學(xué)生的年齡特征，學(xué)生在學(xué)習(xí)的各階段的認(rèn)識水平和知識特點，逐步滲透，螺旋上升，不斷的豐富自身的內(nèi)涵。教學(xué)中可以從以下幾個方面，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，通過類比、觀察、分析、綜合、抽象和概括，形成對分類思想

4、的主動應(yīng)用一、 滲透分類思想，養(yǎng)成分類的意識每個學(xué)生在日常中都具有一定的分類知識，如人群的分類、文具的分類等，我們利用學(xué)生的這一認(rèn)識基礎(chǔ)，把生活中的分類遷移到數(shù)學(xué)中來，在教學(xué)中進(jìn)行數(shù)學(xué)分類思想的滲透，挖掘教材提供的機(jī)會，把握滲透的契機(jī)。如數(shù)的分類，絕對值的意義，不等式的性質(zhì)等，都是滲透分類思想的很好機(jī)會。教授完負(fù)數(shù)、有理數(shù)的概念后，及時引導(dǎo)學(xué)生對有理數(shù)進(jìn)行分類，讓學(xué)生了解到對不同的標(biāo)準(zhǔn)，有理數(shù)有不同的分類方法，如分為：整數(shù) 正有理數(shù)有理數(shù) 有理數(shù) 零分?jǐn)?shù) 負(fù)有理數(shù)為下一步分類討論奠定基礎(chǔ)。認(rèn)識數(shù)a可表示任意數(shù)后，讓學(xué)生對數(shù)a 進(jìn)行分類，得出正數(shù)、零、負(fù)數(shù)三類。講解絕對值的意義時，引導(dǎo)學(xué)生得到如

5、下分類：a ( a > 0)a= 0 ( a=0)a (a < 0)通過對正數(shù)、零、負(fù)數(shù)的絕對值的認(rèn)識，了解如何用分類討論的方法學(xué)習(xí)理解數(shù)學(xué)概念。又如，兩個有理數(shù)的比較大小，可分為：正數(shù)和正數(shù)、正數(shù)和零、正數(shù)和負(fù)數(shù)、負(fù)數(shù)和零、負(fù)數(shù)和負(fù)數(shù)幾類情況來比較，而負(fù)數(shù)和負(fù)數(shù)的大小比較是新的知識點，這就突出了學(xué)習(xí)的重點。結(jié)合“有理數(shù)”這一章的教學(xué)，反復(fù)滲透，強(qiáng)化數(shù)學(xué)分類思想，使學(xué)生逐步形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的分類的意識。并能在分類討論的時候注意一些基本原則，如分類的對象是確定的，標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的，如若不然，對象混雜，標(biāo)準(zhǔn)不一，就會出現(xiàn)遺漏、重復(fù)等錯誤。如把有理數(shù)分為：正數(shù)、負(fù)數(shù)、整數(shù)，就是犯分類標(biāo)準(zhǔn)不一的

6、錯誤。在確定對象和標(biāo)準(zhǔn)之后，還要注意分清層次，不越級討論。二、 學(xué)習(xí)分類方法，增強(qiáng)思維的縝密性在教學(xué)中滲透分類思想時，應(yīng)讓學(xué)生了解，所謂分類就是選取適當(dāng)?shù)臉?biāo)準(zhǔn)，根據(jù)對象的屬性，不重復(fù)、不遺漏地劃分為若干類，而后對每一子類的問題加以解答。掌握合理的分類方法，就成為解決問題的關(guān)鍵所在。分類的方法常有以下幾種：1、根據(jù)數(shù)學(xué)的概念進(jìn)行分類有些數(shù)學(xué)概念是分類給出的，解答此類題，一般按概念的分類形式進(jìn)行分類。例1， 化簡 -1解：這是按絕對值的意義進(jìn)行分類?？砂磝1 時 ， x = 1時 ， x < 1 時 , 三種情況討論進(jìn)行。例2、比較a 與2a 易得的錯誤，導(dǎo)致錯誤在于沒有注意到數(shù)a 可表示不

7、同類的數(shù)。而對數(shù)a 進(jìn)行分類討論，既可得到正確的解答： a0 時 ， a = 0 時 ， a < 0 時 , 三種情況。 2、根據(jù)數(shù)學(xué)的法則、性質(zhì)或特殊規(guī)定進(jìn)行分類(x-2) 2 =(3x-10) 2學(xué)習(xí)一元二次方程 , 根的判別式時，對于變形后的方程用兩邊開平方求解，需要分類研究 大于0，等于0，小于0這三種情況對應(yīng)方程解的情況。而此題的符號決定能否開平方，是分類的依據(jù)。從而得到一元二次方程 的根的三種情況。例3、解關(guān)于x的不等式:ax32x+a分析通過移項不等式化為（a2）x>a3的形式，然后根據(jù)不等式的性質(zhì)可分為a20,a20,和a20三種情況分別解不等式。當(dāng)a20，即a2時

8、，不等式的解是x>(a-3)/(a-2)當(dāng)，a20,即a2時，不等式的左邊0，不等式的右邊1因為01,所以不等式的解是一切實數(shù)。當(dāng)a20，即a2時，不等式的解是x<(a-3)/(a-2)3、根據(jù)圖形的特征或相互間的關(guān)系進(jìn)行分類如三角形按角分類，有銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，直線和圓根據(jù)直線與圓的交點個數(shù)可分為：直線與圓相離、直線與圓相切、直線與圓相交。例如 等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°，底邊長為a，則其腰上的高是 。（2002年河南中考題）分析：本題根據(jù)圖形的特征，把等腰三角形分為銳角三角形和鈍角三角形兩類作高CD，如圖，可得腰上的高是 或 從幾何圖

9、形的點和線出現(xiàn)不同的位置進(jìn)行分類在證明圓周角定理時。由于圓心的位置有在角的邊上、角的內(nèi)部，角的外部三種不同的情況，因此分三種不同情況分別討論證明。先證明圓心在圓周角的一條邊上，這種最容易解決的情況，然后通過作過圓周角頂點的直徑，利用先證明（圓心在圓周角的一條邊上）的這種情況來分別解決圓心在圓周角的內(nèi)部、圓心在圓周角的外部這兩種情況。這是一種從定理的證明過程中反映出來的分類討論的思想和方法。它是根據(jù)幾何圖形點和線出現(xiàn)不同位置的情況逐一解決的方法。教材中在證明弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角。也是如此分圓心在弦切角的一條邊上，弦切角的內(nèi)部、弦切角的外部三種不同情況解決的。三、引導(dǎo)分類討

10、論，提高合理解題的能力初中課本中有不少定理、法則、公式、習(xí)題，都需要分類討論，在教授這些內(nèi)容時，應(yīng)不斷強(qiáng)化學(xué)生分類討論的意識，讓學(xué)生認(rèn)識到這些問題，只有通過分類討論后，得到的結(jié)論才是完整的、正確的，如不分類討論，就很容易出現(xiàn)錯誤。在解題教學(xué)中，通過分類討論還有利于幫助學(xué)生概括，總結(jié)出規(guī)律性的東西，從而加強(qiáng)學(xué)生思維的條理性，縝密性。一般來講，利用分類討論思想和方法解決的問題有兩大類：；其一是涉及代數(shù)式或函數(shù)或方程中，根據(jù)字母不同的取值情況，分別在不同的取值范圍內(nèi)討論解決問題。其二是根據(jù)幾何圖形的點和線出現(xiàn)不同位置的情況，逐一討論解決問題例4、已知函救y（m-1）x2(m-2）x1（m是實數(shù)）.如

11、果函數(shù)的圖象和x軸只有一個交點，求m的值.分析：這里從函數(shù)分類的角度討論，分 m1=0 和 m10 兩種情況來研究解決問題。解：當(dāng)ml 時函數(shù)就是一個一次函數(shù)yx1，它與x軸只有一個交點（-1，0）。當(dāng) m1 時，函數(shù)就是一個二次函數(shù)y（m1）x2（m2）x1當(dāng)（m2）2+4(m1)=0,得 m=0.拋物線 y=x22x1,的頂點（1，0）在x軸上例5、 函數(shù) y =x6 x5 + x4- x3+ x2 x +1，求證：y 的值恒為正數(shù)。分析：將y的表達(dá)式分解因式，雖可證得結(jié)論但較難。分析可發(fā)現(xiàn)，若將變量x在實數(shù)范圍內(nèi)適當(dāng)分類，則問題容易解決。證明： 當(dāng)x 0時x5 - x3x 0 ， y1恒成立； 當(dāng)0 < x <1時y = x6 + (x4 x5 ) + (x2 x3 ) + ( x 1)x4 > x5 , x2 > x3, 1> x y > 0 成立； 當(dāng)x = 1 時, y = 1 > 0 成立； 當(dāng)x >1時y = (x6 x5) + (x4 x3) + (x2 x ) + 1 x6> x5 , x4 > x4 , x2> x y