5-1定積分的概念ppt課件

1、第一節(jié)一、問題的提出一、問題的提出二、二、 定積分的定義定積分的定義五、五、 定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì)定積分的概念 三、三、 定積分的幾何意義定積分的幾何意義四、四、 可積的充分條件可積的充分條件 第五章 一、問題的提出一、問題的提出1. 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積由曲線由曲線，)0()( xfy軸軸，x及直線及直線bxax ,圍成圍成 ,求其面積求其面積 A .面積：面積：ab)(xfy xyO處理的步驟處理的步驟 1)大化小大化小 ： a , b 中恣意插入中恣意插入 n 1 個分點個分點:0121nnaxxxxxb 用直線用直線ixx n 個小曲邊梯形個小曲邊梯形;，將曲邊梯形分成，將

2、曲邊梯形分成3) 近似和：近似和：1niiAA 1()niiif x 4) 取極限：取極限：令令1max,ii nx 01lim()niiif x ，1,iiixx 2) 常代變：常代變：任取任取第第i個窄曲邊梯形面積個窄曲邊梯形面積()iiiAf x 1()iiixxx 底底高高 niiAA12. 變速直線運動的路程變速直線運動的路程12( ),vv tC TT ( )0,v t 經(jīng)過的路程經(jīng)過的路程 s.1)大化小大化小 ：1,(1,),iittin 任任意意插插入入個個分分點點1,n (1, 2,)isin 速度速度n 小段小段處理的步驟處理的步驟將將 分成分成,21TTv變化，變化，公

3、式失效公式失效初等公式初等公式tvs03) 近似和：近似和：iniitvs 1)( 4) 取極限：取極限：iniitvs 10)(lim )max(1init 方法步驟一樣方法步驟一樣 :“大化小大化小 , 常代變常代變 , 近似和近似和 , 取極限取極限 極限構(gòu)造式一樣極限構(gòu)造式一樣: 特殊乘積和式的極限特殊乘積和式的極限兩問題的共性兩問題的共性任任取取1,iiitt 2) 常代變：常代變：()iiisv t ), 2, 1(niabxo二、定積分定義二、定積分定義 設(shè)設(shè)在在上上有有界界( ) , ,f xa b，,ba01,naxxxb ,1 iiixxx令令任取任取1,iiixx i當當

4、時時，1max0ii nx iniixf 1)( 總趨于數(shù)總趨于數(shù) I , 那么稱那么稱 I 為為)(xf在在,ba上的定積分上的定積分,1xix1ix( )dbaf xx 即即( )dbaf xx 01lim()niiif x 記作記作恣意劃分恣意劃分1.定義定義5.1 baxxfd)(iniixf 10)(lim 積分上限積分上限積分下限積分下限被積函數(shù)被積函數(shù)積分變量積分變量積分和積分和：積積分分區(qū)區(qū)間間 , a b符號闡明符號闡明被積表達式被積表達式2. 幾點闡明幾點闡明(1)”？”換換“用用“0 n不行！不行！(2) 兩個恣意性：兩個恣意性：劃分的稠密性：劃分的稠密性：劃劃分分任任意

5、意 , a b選選點點任任意意i)3(上的定積分存在時，上的定積分存在時，在在當當,)(baxf稱稱 f (x) 在在區(qū)間區(qū)間a, b上可積上可積.定積分定積分 與與 有關(guān)有關(guān)與積分變量用什么字母表示無關(guān)：與積分變量用什么字母表示無關(guān)： 被積函數(shù)被積函數(shù)積分區(qū)間積分區(qū)間(4)確定定積分的兩個要素確定定積分的兩個要素( )dbaf xx ( )dbaf tt ab)(xfy xyOab)(tfy tyO“面積一樣面積一樣三、定積分的幾何意義三、定積分的幾何意義Axxfxfba d)(,0)(曲邊梯形面積曲邊梯形面積 baxxfxfd)(,0)(曲邊梯形面積的負值曲邊梯形面積的負值abyx1A2A

6、3A4A5A54321d)(AAAAAxxfba 各小面積的代數(shù)和各小面積的代數(shù)和A 四、可積的條件四、可積的條件可積的必要條件：可積的必要條件： 在在a, b上有界上有界)(xf1. 必要條件必要條件在在上上可可積積( ) , f xa b在在上上有有界界( ) , f xa b反例反例:狄利克雷函數(shù)狄利克雷函數(shù) 為為無無理理數(shù)數(shù)，為為有有理理數(shù)數(shù)xxxD0, 1)(在任何區(qū)間在任何區(qū)間a, b上有界，但卻不可積分上有界，但卻不可積分.2. 充分條件充分條件定理定理1 在在上上連連續(xù)續(xù)，( ) , f xa b則則在在上上可可積積( ) , .f xa b定理定理2在在上上有有界界( ) ,

7、 ,f xa b 且只需有限個且只需有限個第一類延續(xù)點，第一類延續(xù)點， 則則在在可可積積( ) , .f xa b注注有界函數(shù)有界函數(shù) f (x)的定積分能否存在以及定積分的值為多少與的定積分能否存在以及定積分的值為多少與 f (x)在積分區(qū)間上在積分區(qū)間上有限個點處的值無關(guān)有限個點處的值無關(guān).利用定義計算定積分利用定義計算定積分.d102xx解解將將 0,1 n 等分等分, 分點為分點為niix nix1,nii取取(1,2, )in 則則2()iiiif xx 32ni1( )niiif x 2311niin 311(1)(21)6n nnn 111(1)(2)6nn 例例1122001d

8、limniiixxx o1 xyin2xy 在在上上連連續(xù)續(xù)，必必可可積積分分. .( )0,1f xlimn 13 111(1)(2)6nn例例2)1(21(1lim222222 nnnnnIn求求極極限限：解解)(1lim22112innInin nninin1)(1lim211 nninin1)(1lim21 11lim( )nniifnn 21)(xxf nnabab1, 1 1 , 0 x), 2 , 1(ninii 10( )f x dx 1201x dx 21xy AA .41412 111lim( )nniiIfnn ( (存在存在) )xyO 五、定積分的性質(zhì)五、定積分的性質(zhì)

9、(設(shè)定積分均存在設(shè)定積分均存在)( )dbaf xx 時時，2 ab 1( )dbak f xx ( k 為常數(shù)為常數(shù))2 ( )( )dbaf xg xx 規(guī)定規(guī)定時時，1 ba 性質(zhì)性質(zhì)1線性性質(zhì)線性性質(zhì)( )dabf xx ( )dbakf xx ( )d( )dbbaaf xxg xx ( )d0baf xx 例例3是是連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)，且且設(shè)設(shè))(xf,d)(2)(10 ttfxxf求求 f (x).解解，則，則令令attf 10d)(axxf2)( xaxxd2d1010 axx2d10 axxf2)( 10dx 10d)(x a分析分析( )dbaf xx 是一個確定的數(shù)是一個確

10、定的數(shù).xxad10 xyO1y = x1121 .21 )(xf從從而而. 1 xax2 baxxfd)(可加性可加性性質(zhì)性質(zhì)2 caxxfd)(.)(,中中的的任任意意三三個個數(shù)數(shù)的的可可積積區(qū)區(qū)間間為為其其中中Ixfcba bcxxfd)( baxdab 性質(zhì)性質(zhì)3度量性度量性區(qū)間長度區(qū)間長度性質(zhì)性質(zhì)4那么.0d)(xxfba若若1( )0,f x 若若2( )( ),f xg x 那么xxfbad)(xxgbad)(保序性保序性，,bax，,bax推論推論( )dbaf xx ( ) dbaf xx )(ba 例例4比較積分大?。罕容^積分大小：與與1121200(1)dd ;IxxIx

11、x 與與2223411(2)dd ;IxxIxx 解解（ ）因因21,0,1,xxx 故故12.II （ ）因因22,1,2,xxx 故故34.II , )(min, )(max,xfmxfMbaba 那么那么)(d)()(abMxxfabmba )(ba 估值定理估值定理性質(zhì)性質(zhì)5設(shè)設(shè)證證,)(Mxfm 由由 xxfbad)( baxmd baxM d )(abm)(abM 得得例例5估計估計221dxIex 的值的值.解解由由214,xeee 得得221dxex 41ee 例例6.d1lim210 xxxnn求求解解21,001)21(10 xxxnn 210210d)21(d10 xxx

12、xnn121 n00lim,021lim1 nnn又又.0d1lim210 xxxnn性質(zhì)性質(zhì)6 (定積分中值定理定積分中值定理若若( ) , ,f xC a b 那么至少存在一點那么至少存在一點, ,ba 使使證證由性質(zhì)由性質(zhì)5 5 ，Mxxfabmba d)(1 由介值定理由介值定理, ,有有點點 , ,a b 使使xxfabfbad)(1)( 設(shè)設(shè) , , max( ),min( ) ,a ba bMf xmf x ( )d( )()baf xxf ba 性質(zhì)性質(zhì)7 (定積分第二中值定理定積分第二中值定理若若( ) , ,f xC a b 那么至少存在一點那么至少存在一點, ,ba 使使

13、上可積且不變號，上可積且不變號，在在,)(baxgxxgfdxxgxfbabad)()()()( 設(shè)設(shè))(xf可可導(dǎo)導(dǎo)，且且1)(lim xfx， 求求 ttfttxxxd)(3sinlim2 . 例例7解解由積分中值定理知由積分中值定理知, 有有,2, xx使使ttfttxxd)(3sin2 3sin( )(2),f xx ttfttxxxd)(3sinlim2 32 limsin( )f )(33sinlim6 f 6116 例例8 2100d)(2)1(xxfxf使使證證明明：至至少少存存在在一一點點),1 , 0( .)()( ff 分析分析 )()(ff 0)()( ff0 )( x

14、xxf上可微，且上可微，且在在設(shè)設(shè)1 , 0)(xf證證)()(xxfxF 令令上上可可導(dǎo)導(dǎo)，且且在在則則1 ,0)(xF 210d)(2)1()1(xxxffF210 ，由由定定積積分分中中值值定定理理，知知 )021()(2d)(2210 fxxxf使使)()( Ff )()1( FF 1 ,01 , 用用羅羅爾爾定定理理，知知對對于于上上在在)(,1 ,xF )1 ,0()1( ， .)()( ff 即即0 )()( xxxfF例例9求時間段求時間段0，T內(nèi)自在落體的平均速度內(nèi)自在落體的平均速度. 解解 知自在落體速度為知自在落體速度為tgv 故所求平均速度故所求平均速度 v2211Tg

15、T 2Tg Tttg0d01 Totgv vTt221TgS 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)定積分的本質(zhì)：特殊和式的極限定積分的本質(zhì)：特殊和式的極限定積分的思想和方法：定積分的思想和方法：分割分割化整為零化整為零求和求和積零為整積零為整取極限取極限準確值準確值定積分定積分求近似以直不變代曲變求近似以直不變代曲變?nèi)O限取極限01xn1n2nn 1思索與練習(xí)思索與練習(xí)1. 用定積分表示下述極限用定積分表示下述極限 :nnnnnIn) 1(sin2sinsin1lim解解10sinlimnknnkI1n0dsin1xxnn2nn) 1( 0 x或或)(sinlim10nknnkIn110dsinxx2.如何用定積

16、分表示下述極限如何用定積分表示下述極限 nnnnnnIn) 1(sinsin2sin1lim提示提示:nknnkI1sinlim1nnnnnsin1limnnnn) 1(sin1lim0dsin1xx極限為 0 !.121dxx解解12, nqqq代表小區(qū)間為代表小區(qū)間為iinixf )(1 iniix 11 )1(1111 qqqinii利用定義計算定積分利用定義計算定積分其長度其長度)1(11 qqqqxiiii備用題備用題例例1-1將將等等份份，1,2n分點為分點為（）1,2,in 取取1,iiq ）（ni, 2 , 1 niq1)1(1,iiqq 在在上上連連續(xù)續(xù)，必必可可積積分分.

17、.( )1,2f x1(21),nn1lim(21)xxx 121lim1xxx ln2, 1lim(21)nnnln2, 211dxx 011limniiix 1lim(21)nnnln2. 1()niiif x 取取nq12 ) 1( qn 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)在區(qū)間在區(qū)間 1 1, ,0 0 上延續(xù)，且取正值上延續(xù)，且取正值證證nnnnfnfnf21limnnnnfnfnfe21limln試試證證12limnnnfffnnn .10)(lndxxfe利用對數(shù)的性質(zhì)得利用對數(shù)的性質(zhì)得例例2-1極限運算與極限運算與對數(shù)運算換序?qū)?shù)運算換序nifnnine1ln1lim)(xf 10d)(lnxxf故

18、故12limnnnfffnnn .10d)(ln xxfe將將1,0n等分，等分，分點為分點為)(lnxf在在1,0上延續(xù)，故上延續(xù)，故,nixinnifnin1)(lnlim1 nnifnin1)(lnlim1 )(lnxf在在1,0區(qū)間區(qū)間上的積分和：上的積分和：為(1,2, )in 121lim)2(ppppnnnnnipn1lim1nixxpd10iix例例2-2 用定積分表示以下極限用定積分表示以下極限:ninnin111lim) 1 (121lim)2(ppppnnn解解ninnin111lim) 1 (nninin11lim1iixxxd110 x01ni 1ni利用利用,133) 1(233nnnn得得133) 1(233nnnn1) 1( 3) 1( 3) 1(233nnnn1131312233兩端分別相加兩端分別相加, 得得1)1(3 n)21 ( 3