新課改瘦專用2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第五章平面向量復(fù)數(shù)第一節(jié)平面向量的概念及線性運(yùn)算講義含解析

1、1第一節(jié) 平面向量的概念及線性運(yùn)算突破點(diǎn)一平面向量的有關(guān)概念抓牢雙基基本知識(shí)名稱定義備注向量既有大小又有方向的量叫做向量；向量 的大小叫做向量的長度（或稱模）平面向量是自由向量，平面向量可自由平移零向量長度為 0 的向量；其方向是任意的記作 0單位向量長度等于 1 個(gè)單位的向量非零向量 a 的單位向量為土 |a|平行向量方向相同或相反的非零向量，又叫做共線向量0 與任一向量平行或共線相等向量長度相等且方向相同的向量兩向量只有相等或不等，不能比較大小相反向量長度相等且方向相反的向量0 的相反向量為 0基本能力一、判斷題（對(duì)的打“V”，錯(cuò)的打“X”）（1）向量與有向線段是一樣的，因此可以用有向線段

2、來表示向量.（）（2）若 a 與 b 不相等， 則 a 與 b 一定不可能都是零向量.（）答案：X（2）V二、填空題1.如果對(duì)于任意的向量 a,均有 a II b，則 b 為_ .答案：零向量2.若e是 a 的單位向量，貝 U a 與e的方向_ .a解析：T e=，二e與 a 的方向相同.Ia|答案：相同3.AABC中，點(diǎn)D, E,F分別為BC, CA AB的中點(diǎn)，在以A B, C, D, E, F為端點(diǎn)的有向線段所表示的向量中，與EF共線的向量有 _個(gè).答案：7 個(gè)研透高考深化提能2典例感悟1.（2018 海淀期末）下列說法正確的是（）3A. 方向相同的向量叫做相等向量B. 共線向量是在同一

3、條直線上的向量C. 零向量的長度等于 0B/CD就是AB所在的直線平行于CD所在的直線解析：選 C 長度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故 的非零向量叫做共線向量，但共線向量不一定在同一條直線上，故 當(dāng)么B/CD時(shí)，B所在的直線與CD所在的直線可能重合，故D不正確.2. （2019 遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考）有下列命題：1若 |a| = |b|，則 a= b;2若| B| = |DC|，則四邊形ABCD是平行四邊形；3若 nn= n, n= k，貝 U nn= k;4若 a/b, b/c，貝Ua/c.其中，假命題的個(gè)數(shù)是（）A. 1B. 2C. 3D. 4解析：選 C 對(duì)于，|a|=|b|, a,

4、b 的方向不確定，則 a, b 不一定相等，所以錯(cuò)誤；對(duì)于，若|AB| = |DC|，則AB,DC的方向不一定相同，所以四邊形ABCD5一定 是平行四邊形，錯(cuò)誤；對(duì)于，若 mi= n,n=k,則 mi= k，正確；對(duì)于，若 a/b, b/c, 則 b= 0 時(shí)，a/c不一定成立，所以錯(cuò)誤.綜上，假命題的是，共3 個(gè)，故選 C.- -3. （2019 贛州崇義中學(xué)模擬）向量AB與CD共線是A,B,C, D四點(diǎn)共線的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件- -解析：選 B 由A,B, C, D四點(diǎn)共線，得向量AB與CD共線，反之不成立，可能AB- -/CD所以

5、向量AB與CD共線是A,B, C, D四點(diǎn)共線的必要不充分條件，故選B.方法技巧關(guān)于平面向量的 3 個(gè)易錯(cuò)提醒兩個(gè)向量不能比較大小，只可以判斷它們是否相等，但它們的?？梢员容^大小;（2）大小與方向是向量的兩個(gè)要素，分別是向量的代數(shù)特征與幾何特征；（3）向量可以自由平移，任意一組平行向量都可以移到同一直線上.D.A 不正確；方向相同或相反B 不正確；顯然 C 正確;4突破點(diǎn)二平面向量的線性運(yùn)算5基本知識(shí)1 向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則（或幾何意義）運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算a三旳形払則平行四邊形法則交換律：a + b= b + a;結(jié)合律：(a + b) +c= a + (b +c)減法求

6、a 與 b 的相反向量b 的和的運(yùn)算a b = a+ ( b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)入與向量 a 的積的運(yùn)算|入 a| = |入|a|,當(dāng)入0 時(shí)，入 a 與 a 的方向相 同；當(dāng)入v0 時(shí)，入 a 與 a 的方向相反；當(dāng)入=0 時(shí)，入 a= 0入(3a) (入 口 )a ;(入+ 3)a= Xa+ 3a;入(a + b) =Xa+Xb2.平面向量共線定理向量 b 與 a（a豐0）共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)入，使得 b =入 a.3.向量的中線公式及三角形的重心向量的中線公式：- 1 - - 若P為線段AB的中點(diǎn)，0為平面內(nèi)一點(diǎn)，貝 UOP= 2（OA+OB）.（2）三角形的重心: 1 PG= 3(

7、PA+PB+PC)?6是厶ABC的重心特3基本能力、判斷題（對(duì)的打“V”，錯(cuò)的打“x”）（1）a/b 是 a =入 b（入 R）的充要條件.（）ABC中,D是BC的中點(diǎn)，貝 U AD= |( AC+ AB).()答案：x（2）V二、填空題已知平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)A,B,C,別地，PA+PB+ PC=0?PABC的重心.61.在如圖所示的方格紙中有定點(diǎn)0, P,Q E, F,G H,則OP+0Q=7答案：FO- - - -2 .化簡：(ABCD) - (ACBD) =_ .- - - - - - - - - - -解析：(ABCD) (ACBD) =ABCDAC+BD= (ABAC) + (DC-

8、 - -DB)=CB+BC= 0.答案：03.已知向量 a, b 不共線，且c=入 a+ b,d= a + (2 入一 1)b，若c與d共線反向，則實(shí)數(shù)入的值為_ .答案:-1研透高考*深化提能全析考法考法一 平面向量的線性運(yùn)算應(yīng)用平面向量的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算的法則即可.加法的三角形法則要求“首尾相接”，加法的平行四邊形法則要求“起點(diǎn)相同”；減法的三角形法則要求“起點(diǎn)相同”且差向量指向“被減向量”；(3)數(shù)乘運(yùn)算的結(jié)果仍是一個(gè)向量，運(yùn)算過程可類比實(shí)數(shù)運(yùn)算.例 1(1)(2019 湖北咸寧聯(lián)考)如圖，在ABC中,點(diǎn)M為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)- - - -N在AB上,AN= 3NB，點(diǎn)P在MNk,MP=

9、 2PN，那么2-M1 -MA.3AB-6ACB.1MB2-C1 1 C.3AB-6AC1 1D2AB+ 6AC(2)如圖，在直角梯形ABCDKDc=-AB,BE=2EC，且AE4- - =r AB+s AD，貝 U 2r+ 3s=()A. 1B. 2cEtiC. 3D. 489解析(i)P=7AM+MP=AM+2MN=AM瓜N-AM) =1AM+2瓜N=133006 1AC+ 2AB.故選 D.- 2 2(2)根據(jù)圖形，由題意可得AE=AB+BE=AB+ -BC=AB+ -(BA+AD+DC) O 1 2 1 2 1 1 2 =-AB+ -(AD+DC) = -AB+ -AD+ 4AB= $

10、AB+ -AD.因?yàn)楣螮=r AB+s-D，所以r=舟，s=-，貝 U 2r+ 3s= 1+ 2= 3.答案(1)D(2)C方法技巧1 平面向量的線性運(yùn)算技巧(1) 不含圖形的情況：可直接運(yùn)用相應(yīng)運(yùn)算法則求解.(2) 含圖形的情況：將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位線等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來求解.2 利用平面向量的線性運(yùn)算求參數(shù)的一般思路(1) 沒有圖形的準(zhǔn)確作出圖形，確定每一個(gè)點(diǎn)的位置.(2) 利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為要求的向量形式.(3) 比較、觀察可知所求.考法二平面向量共線定理的應(yīng)用求解向量共線問題的注意事項(xiàng)(1

11、) 向量共線的充要條件中，當(dāng)兩向量共線時(shí)，通常只有非零向量才能表示與之共線的 其他向量，注意待定系數(shù)法和方程思想的運(yùn)用.(2) 證明三點(diǎn)共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與 聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得到三點(diǎn)共線.- - - (3) 直線的向量式參數(shù)方程：A, P, B三點(diǎn)共線?OP= (1 t) OA+1 OB(0為平面內(nèi)任一點(diǎn)，t R).例 2(1)(2019 南昌蓮塘一中質(zhì)檢)已知 a, b 是不共線的向量，AB=入 a+ b,-C=a +卩 b(入，卩 R),若A, B,C三點(diǎn)共線，則入，卩的關(guān)系一定成立的是()A.入卩=1B.入卩=1C.入一=

12、1D.入 + 卩=210(2)(2019 鄭州模擬)設(shè)ei與e2是兩個(gè)不共線向量，B=3ei+ 2e2, ：B= kei+e2, D=3ei 2ke2，若A,B, D三點(diǎn)共線，則 k 的值為_ .解析(1)3與瓜C有公共點(diǎn)A, 若A, B, C三點(diǎn)共線，則存在一個(gè)實(shí)數(shù)t使瓜B=t AC，即卩入 a+ b =ta+口tb，貝U消去參數(shù)t得入卩=1;反之，當(dāng) 入卩=1削t= 1,- 1 1 - 1 - - - -時(shí)，AB= a + b,此時(shí)存在實(shí)數(shù)- 使AB=AC,故AB和AC共線AB與AC有公共點(diǎn)A：A B,C三點(diǎn)共線故選 A.由題意，A,B, D三點(diǎn)共線，故必存在一個(gè)實(shí)數(shù)入，使得 刁B=入ED

13、.又AB= 3e1+ 2e2,CB=k&+e2,- - -所以BD=CDCB= 3e1 2ka (ke1+e=(3 k)e1 (2k+1)e2,所以 38 + 2e2=入(3 k)e1入(2k+ 1)e2, 又e1與e2不共線，答案(1)A(2) 9方法技巧平面向量共線定理的 3 個(gè)應(yīng)用證明向量共線對(duì)于非零向量 a, b,若存在實(shí)數(shù)入，使 a =入 b，則 a 與 b 共線證明三點(diǎn)共線若存在實(shí)數(shù) 入，使AB=入AC,AB與AC有公共點(diǎn)A,則A,B, C三 點(diǎn)共線求參數(shù)的值利用向量共線定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值集訓(xùn)沖關(guān)1.考法一在等腰梯形ABCDK AB= 2CD,M為B

14、C的中點(diǎn)，貝U AM=()31B.4AB+2AD31c4AB+4AD 1 =3e1 2ke2,3=入 所以 i2 =入3k,k +19解得k=-9.1 3 D.?AB+ 4AD11解析：選 B 因?yàn)锳B= 2CD，所以AB= 2DC.又M是BC的中點(diǎn)，所以AM=JAB123.考法二設(shè)兩個(gè)非零向量 a 與 b 不共線.(1) 若瓜B= a+ b,BC= 2a+ 8b,CD=3(a b)，求證：A, B,D三點(diǎn)共線;試確定實(shí)數(shù) k，使 ka+ b 和 a + kb 共線.- - -解：(1)證明：TAB= a + b,BC= 2a+ 8b,CD= 3(a b),- - - -BD=BC+CD= 2a+ 8b+ 3(a b) = 5(a + b) = 5AB,/.AB, E3D 共線，又它們有公共點(diǎn) B, A, B, D三點(diǎn)共線.(2) / ka + b 與 a+ kb 共線，/存在實(shí)數(shù) 入，使 ka + b=入(a + kb)，即(k 入)a =(入 k 1)b.又 a,b 是兩個(gè)不共線的非零向量，k入=0,2/ k 1 = 0. / k=