2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第八章立體幾何第4講直線平面垂直的判定與性質(zhì)教學(xué)案理北師大版

1、高考總復(fù)習(xí)第4講 直線、平面垂直的判定與性質(zhì)品新考綱考向預(yù)測1乂立體幾何的定Z ,蟄理和迪盟為出發(fā)點. 認(rèn)匣皿再解京網(wǎng)中線也系ri的仃元性喉節(jié) 四定定理、盤陋運用公網(wǎng)】定理用e花得的循他俄明 些交阿耳垢的里比丈系的加球總班，曲股 起勢門吒，平而率。的判定及就性質(zhì)品壺芍中的-nr可行內(nèi)仃.涉及 蝮螳玉立、蜓而番比、面面第n的判定及苴應(yīng)nr等內(nèi)容川十上要 以斛密黑的脂式出兇L要求力歌強的筱理論渡儒力， 就，化m的思想一噴心在乳HL嗎一也匣徵象/理敖利丹密必備知識:走進(jìn)教材,、知識梳理1.直線與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理文字語百圖形語言何語日一條直線與一個平囿 內(nèi)的兩條相交直線都 垂直，則該直線與

2、此 平囿垂直a, b aian b=O? l X a判定定理Vl ±bl _L a垂直十間一個平面的兩條直線平行b性質(zhì)定理£ya± a,? a/ bb-L a2.平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理j-文字語百圖形語言何語日判定定理一個平囿過另一個平面的垂線,則這兩個平向互相垂直A4匚l B? a ± (3 l -L a性質(zhì)定理兩個平向互相垂直，則一個平囿內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個平面Aa -L 3l Ba n 3 = al ±a? l -L a3.空間角(1)直線與平面所成的角定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條直線和這

3、個平面所成 的角，如圖，/ PAOM是余線AP與平面a所成的角.兀線面角e的范圍：e £史=.(2)二面角定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的棱.兩個半平面叫做二面角的面.如圖的二面角，可記作：二面角a-l- B 或二面角 P-ABQ.二面角的平面角如圖，過二面角a - l - §的棱l上一點O在兩個半平面內(nèi)分別作 就叫做二面角 a-l-B的平面角.二面角的范圍設(shè)二面角的平面角為 e ,則e e 0 ,兀. .兀. 當(dāng)e =5時，二面角叫做直二面角.常用結(jié)論1.線線、線面、面面垂直間的轉(zhuǎn)化.列定 定 I”或垂直l線向垂直身而而垂直性質(zhì)

4、2 .兩個重要定理(1)三垂線定理在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線 垂直.(2)三垂線定理的逆定理在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直.3 .重要結(jié)論(1)若兩平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面.(2)若一條直線垂直于一個平面，則它垂直于這個平面內(nèi)的任何一條直線(證明線線垂直的一個重要方法）.（3）垂直于同一條直線的兩個平面平行.4 4） 一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則這一條直線與另一個平面也垂直.二、教材衍化5 .下列命題中錯誤的是 （填序號）.如果平面a，平面（3 ,那么平面a內(nèi)

5、一定存在直線平行于平面（3如果平面 a不垂直于平面（3 ,那么平面a內(nèi)一定不存在直線垂直于平面如果平面 a，平面 丫，平面§，平面T , a A § = l ,那么l，平面T如果平面a，平面（3 ,那么平面a內(nèi)所有直線都垂直于平面（3解析：對于，若平面 a，平面（3 ,則平面a內(nèi)的直線可能不垂直于平面平面3的關(guān)系還可以是斜交、平行或在平面3內(nèi)，其他選項均是正確的.答案：6 .在三棱錐 P-ABC4點P在平面ABC的射影為點 O若PA= PB= PC則點O是ABC 心；（2）若 PAL PR PBL PC PC! PA 則點 O是ABC勺 心.解析：（1）如圖1,連接 OA

6、OB OC OP在 RtA POA RtA POBD Rt POW, PA= PC= PR所以O(shè)A= OB= OC即O為ABC勺外心.10（2）如圖2,延長AO BO CO分別交BC AC AB于點H, D, G因為 PCI PA PBL PC PAO PB= P,所以PCI平面PAB又AB 平面PAB所以PC! AB因為 ABL PO PGP PC= P,所以ABL平面PGC又CG 平面PGC所以ABL CG即CG為ABCfe AB上的高.同理可證BD> AH別為 ABCfe AC BC上的高，即O為 ABC勺垂心.:走出誤區(qū):答案：（1）外（2）垂一、思考辨析判斷正誤（正確的打“，”

7、 ,錯誤的打“X”）(1)直線l與平面a內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，則 l，a .()(2)垂直于同一個平面的兩平面平行.()(3)直線 a，a , b，a ,則 a / b.()(4)若 a，B , a，B ,則 a/ a .()(5)若直線a，平面a ,直線b/ a ,則直線a與b垂直.()(6)若平面a內(nèi)的一條直線垂直于平面3內(nèi)的無數(shù)條直線，則 a ± 3 .()答案：(1) X (2) X (3) V (4) X (5) V (6) X二、易錯糾偏常見| K(1)忽略線面垂直的條件致誤；(2)忽視平面到空間的變化致誤.1 .“直線a與平面a內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直”是“直線 a與平面a

8、垂直”的 條件.解析：根據(jù)直線與平面垂直的定義知“直線 a與平面a內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直”不能 推出“直線a與平面a垂直”，反之則可以，所以應(yīng)是必要不充分條件.答案：必要不充分2 .已知直線a, b, c,若a, b, b±c,則a與c的位置關(guān)系為 .解析：若a, b, c在同一個平面內(nèi)，由題設(shè)條件可得a/c;若在空間中，則直線 a與c的位置關(guān)系不確定，平行，相交，異面都有可能.答案：平行，相交或異面詡者向，百市去例考法考點線面垂直的判定與性質(zhì)(多維探究)角度一線面垂直的證明所示，在四棱錐 P-ABC珅，ABL平面PAD AB/ CD PD= AQ E是PB的中點，F(xiàn)是DC，一 一 一

9、 1上的點，且 D口2AB PH為PAD43 AD邊上的高.求證：（1） PHL平面 ABCD(2) EE平面 PAB【證明】（1）因為ABL平面PAD PH 平面PAD所以PHL AB因為PH為 PADP AD邊上的高，所以 PHL AD因為ABH AD= A AB 平面ABCD AD 平面ABCD所以PH1平面 ABCD，一 一, 一 ，一， 一 1（2）如圖，取 PA的中點 M 連接 MD ME因為E是PB的中點，所以 ME爽2AB一， ,1又因為DF觸2AB所以M既DF,所以四邊形MEF遑平行四邊形,所以EF/ MD因為PD= AD,所以MDL PA因為ABL平面PAD所以MDL AB

10、因為PAH AB= A所以 MD_平面 PAB所以EF1平面PAB下旬如圖，在三棱錐角度二線面垂直性質(zhì)的應(yīng)用A-BCm, ABL AD BCL BD,平面 ABDL平面 BCD 點 E, F(E與A, D不重合）分別在棱 AD BD上，且EF± AD求證：(1) EFT面 ABC(2) ADL AC【證明】(1)在平面 ABCJ,因為 AB1 AD EF± AD所以EF/ AB又因為EF/平面ABC AB 平面ABC所以EF/平面ABC（2）因為平面 ABDL平面BCD平面ABD平面BCD= BDBC 平面 BCD BC! BQ所以BCL平面ABD因為AD平面ABD所以BC

11、L AD又 ABL AD BCT AB= B, AB 平面 ABC BC 平面 ABC所以ADL平面ABC又因為AC平面ABC畫面,函,訐叵審曲二*W年百基i而 京i !一條也有這個平面事貪.I «. * * 一一 ' = 一 一3謝聲，二飛宜&停電導(dǎo)言,行?而,面 二不二 州百重二上也遵¥：.! 1 B M 三 ,工* £ 0三,，* 上： * a JS *<« .B. A. =«1利用福蕾垂直的世威定理I所以ADL AC 團伍團麴 (1)判定線面垂直的四種方法 方法一 詞用電面重三枸££應(yīng)理 方法二

12、一 方通三* 方法國一 (2)判定線線垂直的四種方法有話!«J*I*即%,，宜/三角期、,格：必 一舊梯形的甚直關(guān)系1 M !1 ! 川 方法二.即詞琴f拓幣S而疊餐；方法三(京用萬股熏理的正工理，行證明 : 方法四1 一 1利用H板與平面求*的林質(zhì)|層變式削煉 如圖所示，在四棱錐E是PC的P-ABCW, PAL 底面 ABCDAB! AD ACL CD / ABC= 60 , PA= AB= BC中占 I 八、證明：（1） CDL AE（2） PDL平面 ABE證明：（1）在四錐P-ABCDK因為PAL底面ABCD CD 平面ABCD所以 PAL CD 因為 ACL CD PAA

13、AC= A,所以CDL平面PAC而AE 平面PAC所以CDL AE(2)由 PA= AB= BC / ABC 60 ,可得 AC= PA因為E是PC的中點，所以 AE! PC由知AE! CD且P6 CD= C,所以AEL平面PCD而PD平面PCD所以AEL PD因為PAL底面 ABCD所以PAL AB又因為 ABL AD且 PAA AD= A,所以ABL平面PAD而PD?平面PAD所以ABL PD又因為ABA AE= A,所以PDL平面ABE考點面面垂直的判定與性質(zhì)(典例遷移)(一題多解)如圖，四棱錐 F-ABC珅，AB± AC ABL PA AB/ CD AB= 2CD E, F,

14、G M N分別為PB, AB BC PD PC的中點.(1)求證：CE/平面PAD(2)求證：平面 EFGL平面EMN【證明】(1)法一：取PA的中點H,連接EH, DH又E為PB的中點,1所以EH觸2AB1又C皺2AB所以EH統(tǒng)CD所以四邊形DCEHE平行四邊形，所以CE/ DH又DH 平面PAD CE?平面PAD所以CE/平面PAD , ,1法二：連接 CF因為F為AB的中點，所以 AF= 2AB-1又 CD- 2AB所以AF= CD又AF/ CD所以四邊形 AFCN平行四邊形.因止匕CF/ AD又CF/平面PAD AD 平面PAD所以CF/平面PAD因為E, F分別為PB, AB的中點，

15、所以EF/ PA又EF7平面PAD PA 平面PAD所以EF/平面PAD又因為CFA EF= F.故平面CEF/平面PAD又因為CE平面CEF所以CE/平面PAD(2)因為E, F分別為PB, AB的中點，所以 EF/ PA 又 ABL PA 所以 ABL EF同理可得AB± FG又 EFn FG= F, EF?平面 EFGFG平面EFG因此ABL平面EFG又M N分別為PD PC的中點，所以 MIN/ CD又AB/ CD所以MIN/ AB所以MN_平面EFG又MN平面EMN所以平面EFGL平面EMN【遷移探究1】(變問法)在本例條件下，證明：平面EMNL平面PAC證明：因為 AEB

16、L PA ABL AG 且 PAO AC= A所以ABL平面PAC又 MN CD CD AR 所以 MIN/ AB所以MNL平面PAC又MN平面EMN所以平面EMNL平面PAC【遷移探究2】(變問法)在本例條件下，證明：平面EFG/平面PAC證明：因為E, F, G分別為PB, AB BC的中點，所以 EF/ PA FG/ AC又EF7平面PAC PA平面PAC所以EF/平面PAC同理，F(xiàn)G/平面PAC又EFA FG= F,所以平面 EFG/平面PAC證明面面垂直的兩種常用方法(1)用面面垂直的判定定理，即先證明其中一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線.(2)用面面垂直的定義，即證明兩個平面所成的

17、二面角是直二面角，把證明面面垂直的 問題轉(zhuǎn)化為證明平面角為直角的問題.庭變益訓(xùn)煉 如圖，在四棱錐P-ABC由，底面ABC西矩形，平面PADL平面ABCD PAL PD PA= PQ E, F分別為AQ PB的中點.(1)求證：PEI BC(2)求證：平面 PABL平面PCD(3)求證：EF/平面PCD證明：(1)因為PA= PD E為AD的中點，所以PEL AD因為底面 ABC時矩形，所以 BC/ AD所以PEL BC(2)因為底面 ABCM矩形，所以 ABL AD又因為平面 PADL平面ABCD所以ABL平面PAD所以ABL PD又因為PAL PD所以PDL平面PAB所以平面 PABL平面P

18、CD取PC的中點 G 連接FG DG因為F, G分別為PB PC的中點,一,1所以 FG/ BG FG= BC因為四邊形 ABCD;矩形，且E為AD的中點, ,1所以 DB BC, DE= BC所以 DE/ FG DE= FG所以四邊形DEF平行四邊形.所以EF/ DG又因為EF/平面PCD DG 平面PCD所以EF/平面PCD考點垂直關(guān)系中的探索性問題(師生共研)如圖，在三棱柱 ABCABG中，側(cè)棱 AAL底面ABC M為棱AC的中點.AB= BCAC= 2, AA=/.(1)求證：BC/平面ABM(2)求證：AC,平面ABM在BB上是否存在點 N-_ BN使得平面 ACNL平面AAC1C?

19、如果存在，求此時 寶的值;BB如果不存在，請說明理由.【解】(1)證明：連接AB與AB,兩線交于點 O連接OM在ABAC中，因為 M O分別為AG AB的中點,高考總復(fù)習(xí)所以O(shè)MF BC,又因為OM 平面ABM BC7平面 ABM所以BC/平面ABM(2)證明：因為側(cè)棱 AA，底面ABC, BM 平面ABC 所以M又因為M為棱AC的中點，AB= BC所以BMLAC因為 AAAAC= A, AA, AC 平面 ACCA,所以BML平面AC(Ai,所以BML AC.因為AC= 2,所以A陣1.又因為 AA = 2,所以在 RtACC口 RtAiAM中，tan /ACC= tan ZAiMA=5，所

20、以/ ACC= / Ai MA即/ ACC+ / OAC= / AMAF / CAC= 90 , 所以 Ai ML AC.因為 BMP AiM= M BM AiM 平面 ABM所以AG，平面AiBM當(dāng)點N為BB的中點，即1N= 1時，BB 2平面ACN，平面AACC.證明如下：設(shè)AC的中點為 D連接 DM DN因為D, M分別為AC, AC的中點, ,- i所以 DM/ CG 且 DM= 2CC.又因為N為BB的中點，所以 DM/ BN且DM= BN所以四邊形BNDM?平行四邊形，所以BM/ DN因為BML平面 ACdAi,所以DNL平面 AACC又因為DN平面ACN,所以平面ACN，平面AA

21、CC(1)對于線面關(guān)系中的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后在該假設(shè)條件下，利用線面關(guān) 系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證， 尋找假設(shè)滿足的條件，若滿足則肯定假設(shè)，若得出矛盾 的結(jié)論則否定假設(shè).(2)對于探索性問題用向量法比較容易入手.一般先假設(shè)存在，設(shè)出空間點的坐標(biāo)，轉(zhuǎn) 化為代數(shù)方程是否有解的問題，若有解且滿足題意則存在，若有解但不滿足題意或無解則不存在.后受試訓(xùn)維 如圖所示，平面 ABCCL平面BCE四邊形ABCDM；矩形，BC= CE點F 為CE的中點.(1)證明：AE/平面BDF(2)點M為CD上任意一點，在線段 AE上是否存在點P,使得PML BE?若存在，確定點 P的位置，并加以證明；若不

22、存在，請說明理由.解：(1)證明：連接 AC交BD于點Q連接OF因為四邊形 ABCDI矩形，所以O(shè)為AC的中點.又F為EC的中點，所以O(shè)F/ AE又OF平面BDFAE/平面BDF所以AE/平面BDF(2)當(dāng)點P為AE的中點時，有PML BE,證明如下：取BE的中點H,連接DP PH CH因為P為AE的中點，H為BE的中點，所以PH/ AB又 AB/ CD 所以 PH/ CD所以P, H, C, D四點共面.因為平面 ABCDl平面BCE且平面 ABCD平面BCE= BC CD£ BCCD 平面ABCD所以CDL平面BCE又BE 平面BCE所以CDL BE,因為BC= CE且H為BE的

23、中點，所以CHL BE又 CHI CD- C,且 CH CD 平面 DPHC所以BEL平面DPHC又PM平面DPHC所以PML BE齒電素養(yǎng)，邏輯推理平面圖形折疊問題的解題技巧25、將平面圖形折疊成立體圖形如圖是一個正方體表面的一種展開圖，圖中的四條線段AB CD EF和 GHB原正方體中相互異面的有 對.【解析】平面圖形的折疊應(yīng)注意折前折后各元素相對位置的變化.畫出圖形即可判斷,相互異面的線段有 AB CD EF與GH AB與GH共3對.【答案】3國第E3管畫折疊圖形一般以某個面為基礎(chǔ)，依次將其余各面翻折還原， 當(dāng)然，畫圖之前要對翻折后形成的立體圖形有所認(rèn)識，這是解答此類問題的關(guān)鍵.、折疊中

24、的“變”與“不變”如圖，在等腰直角三角形ABC中，Z A= 90 , BC= 6, D, E 分別是 AC AB上的點，CA BE= 42, O為BC的中點.將 ADEgDE折起，得到如圖所示的四棱錐A-BCDE 其中 A O= 3.(1)證明：A OL平面BCDE(2)求二面角A CD- B的平面角的余弦值.圖圖【解】(1)證明：在題圖中，易得 OC= 3, AC= m，AD= 22.連接OD OE在 0。珅，由余弦定理可得0D= 0OC+ CD2OC CDCos 45=4.由翻折不變性可知 A D= 242,所以 A O+OD= a D2,所以 A O!OD同理可證A OL OE又OCT

25、OE= O,所以A OL平面BCDE(2)過O乍OHL C吩 CD勺延長線于 H,連接A H,因為A OL平面BCDE以A Hl± CD所以/ A' HO為二面角A CD- B的平面角.結(jié)合題圖可知，H為AC的中點，故OH= 呼，從而A H=7OH+ OA，二尊,所以, OH 15cos Z A HG= = 3-,A H 5所以二面角A -CD- B的平面角的余弦值為,155折疊問題的關(guān)鍵有二：畫好兩個圖折疊前的平面圖和折疊后的立體圖；分析好兩個關(guān)系一一折疊前后哪些位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系發(fā)生了變化，哪些沒有改變.一般地，在同一半平面內(nèi)的幾何元素之間的關(guān)系是不變的.涉及兩個半平面內(nèi)

26、的幾何元素之間的關(guān)系是要變化的.分別位于兩個半平面內(nèi)但垂直于折疊棱的直線翻折后仍然垂直于折疊棱.、立體圖形的表面展開圖的應(yīng)用在一個底面直徑是5 cm,高為2兀cm的圓柱形玻璃杯子的上沿B處有一只蒼蠅，而恰好在相對的底沿 A處有一只蜘蛛，蜘蛛要想用最快的速度捕捉到這只蒼蠅，蜘蛛所走的最短的路程是.1【解析】 利用側(cè)面展開圖，如圖，蜘蛛所走的最短的路程是線段 AB的長，AO/X 2兀xg= 2 % cm, BC= 2兀cm ,則AB= （2兀）2+ |兀 ="/三兀cm,即蜘蛛所走的最短的路程是"2兀cm.【答案】手兀cm求從一點出發(fā)沿幾何體表面到另一點的最短距離問題：通常把幾

27、何體的側(cè)面展開，轉(zhuǎn)化為平面圖形中的距離問題.基礎(chǔ)題組練1. （2020 遼寧大連模擬 ）已知直線l和平面 a , § ,且l“ I a _LA.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件B.解析：選A.由面面垂直的判定定理可得，若 l ”，1，3,則“，3,充分性成立； 若l a , a，B ,則l與B平行或相交或垂直，必要性不成立.所以若l a ,則“ l，B ” 是“ a，B ”的充分不必要條件，故選 A.2. （2020 河北唐山模擬）如圖，在以下四個正方體中，直線 AB與平面CDE垂直的是 （）A.C.D.解析：選B.對于，易證AB與CE所成角為45

28、° ,則直線A*平面CD環(huán)垂直；對于 ，易證 ABL CE, AB± ED且CEH ED= E,則A9平面CDE對于，易證 AB與。即成角 為60° ,則直線AB與平面CD環(huán)垂直；對于，易證EDL平面ABC則EDLAB同理ECLAB, 可得ABL平面CDE故選B.3. （2020 黑龍江鶴崗模擬）如圖，在三B隹V ABC43, VOL平面ABC O CD VA= VR AD= BD則下列結(jié)論中不一定成立的是 （）A. AC= BCB. ABL VCC. VCL VDD. S；AVCD - AB= 3 ABC VO解析：選 C.因為VOL平面 ABC AB 平面AB

29、C所以VOL AB因為VA= VB, AD= BD, 所以VDL AB又因為 VS VD= V,所以 ABL平面 VCD又因為CD 平面VCD所以 ABL CD 又因為AD= BD所以AC= BC故A正確.又因為VC 平面VCD所以AB±VC故B正確；因為 Svcd= 2V0, CD Sabc= 2AB- CD 所以 S»AVCD, AB= S(aabc- VO 故 D正確.由題中條件無法判斷VCL VD故選C.4.如圖，在斜三棱柱 ABCABG中，/ BAC= 90° , BCAC則G在底面ABC上的射影H必在（）樂A.直線AB上B.直線BC上C.直線AC上D.

30、 AB6J 部解析：選A.由ACL AB, ACL BC,彳導(dǎo)ACL平面ABC.因為AC平面ABC所以平面ABC，平面ABC所以。在平面ABCh的射影H必在兩平面的交線 AB上.5.如圖，在正四面體 P-ABC4D E, F分別是AB, BCCA的中點，下面四個結(jié)論不成立的是（）A. BC/平面 PDFB. DFL平面 PAEC.平面PDFL平面PAED,平面PDEL平面ABC解析：選 D.因為BC/ DF DF 平面PDFBC/平面PDF所以BC/平面PDF故選項A正確；在正四面體中， AE! BC PEI BC AEP PE= E,且AE PE 平面PAE所以BCL平面PAE因為DF/ B

31、C,所以DFL平面PAE又DF平面PDF從而平面PDFL平面PAE因此選項B, C均正確.6 .如圖，在 ABC中，/ ACB= 90 , AB= 8, Z ABC= 60 , PC1平面 ABC PC= 4, M 是邊AB上的一個動點，則 PM勺最小值為 .解析：作CHL AB于H,連接PH因為PCL平面ABC所以PHAB, PH為PM勺最小值， 等于2 . 7.答案：277 .如圖所示，在四棱錐 P-ABCW, PAL底面ABCD且底面各邊都相等， M是邊PCi 一動點，當(dāng)點 M滿足 時，平面MBD_平面PCR只要填寫一個你認(rèn)為是正確的條件即可）解析:連接AC BQ則Ad BDD因為PA1

32、底面 ABCD所以PAL BD又PA? AC= A,所以BD)±平面PAC所以BD± PC所以當(dāng)DML PC或BML PC時，即有PC1平面MBD而PC 平面PCD所以平面 MBD_平面PCD答案：DML PQ 或 BML PC8 .如圖，PAL。0所在平面，AB是。的直徑，C是。上一點，AE± PC AF，PB給出下列結(jié)論： A紅BCEF，PB;AH BGA口平面 PBC其中正確結(jié)論的序號是解析： AE 平面 PAC BCL AC, BCL PA? AE! BC,故正確； AE± PC AE! BC PB平面PBC AE1 PB AF± PB

33、, EF 平面AEF? EF± PB故正確；若 AF± BC? AF，平面PBC則AF/ AE與已知矛盾，故錯誤；由可知正確.答案：9 .如圖，在多面體 ABCDPE3,四邊形 ABCB口 CDPEFB是直角梯形， AB/ DC PE/ DQADL DC PDL平面 ABCD AB= PD= DA= 2PE, CD= 3PE F是 CE的中點.求證：BF/平面ADP(2)已知O是BD的中點，求證：BDL平面AOF證明:(1)如圖，取PD的中點為G,連接FG AG因為F是CE的中點，所以FG是梯形CDPE勺中位線，因為 CD= 3PE,所以 FG= 2PE,FG/ CD 因為

34、 CD/ AB AB= 2PE所以 AB/ FG AB= FG即四邊形ABF輿平行四邊形，所以BF/ AG又BF7平面 ADP AG 平面ADP所以BF/平面ADP(2)延長AC交。廿點M連接BM FM因為 BAL AQ CDL DA AB= AD O為 BD的中點，所以ABM遑正方形，則 BDL AM MD= 2PE所以FM/ PD,因為PD1平面ABCD所以FML平面 ABCD所以FML BD因為AMT FM= M所以BDL平面AMF所以BDL平面AOF10 .(一題多解)如圖 1,在等腰梯形 PDC即，PB/ DC PB= 3, DC= 1, Z DPB= 45° ,DAL P

35、B于點A,將 PADg A所起，構(gòu)成如圖2所示的四棱錐 P-ABCD點M在PB上，且1PM= 2MB(1)求證：PD/平面MAC(2)若平面PADL平面ABCD求點A到平面PBC勺距離.陽】圖2解：(1)證明：在四棱錐 RABCD,連接B® AC于點N,連接MN依題意知AB/ CD所以 AB中 CDN所以BN BANT CDT 22因為P陣2MB所以BN BMND= Mp2,所以在 BPD43, MN/ PD又PD/平面MAC MN平面MAC所以PD/平面MAC(2)法一：因為平面 PADL平面ABCD且兩平面相交于 AD PAh AD, PA 平面PAD 所以PAL平面ABCD所以

36、V-AB戶-S»AABC * PA= 1x2x2X1 xi = 1.3323因為 ab= 2, ac= qADTCD=,所以 PB= 4pA + aB =m，PC= .PA2+AC =/,BC= aD+ (AB- CD 2 =5,所以 pB=pC+ BC2,故/ PCB= 90° ,記點A到平面PBC勺距離為h,所以h = 7X -x32：3X 2 h因為 V-ABk V- PBq所以1=*h解得h =46故我A到平面PBC勺距離為號30 C因為平面 PADL平面ABCD且兩平面相交于 AD P/MAQ PA 平面PAD所以PAL平面ABCD 因為BC平面ABCD 所以PA

37、L BG因為 AEB= 2, AO AD2+ CtD-®BC=留6+ (AB- CD 2 =平, 所以/ ACB= 90° ,即 BCL AC又 PAO AC= A, PA AC 平面 PAC所以BCL平面PAC過點A作A紅PC于點E,則BCL AE因為 PCT BC= G PG BC 平面 PBC所以AEL平面PBCPA AC 1X ,2：6所以點A到平面PBC勺距離為AE= pr =A = +.PC 33綜合題組練已知 A' DE是1.如圖，邊長為a的等邊三角形 ABCW中線AF與中位線Da于點GADEg DE旋轉(zhuǎn)過程中的一個圖形，則下列命題中正確的是（）動點A

38、'在平面ABC±的射影在線段 AF上;BC/平面A' DE三棱錐A' - FED勺體積有最大值.A.B.D.C.解析：選C.中由已知可得平面 A' FGL平面ABC所以點A'在平面ABC±的射影在線段 AF上.BC/ DE根據(jù)線面平行的判定定理可得BC/平面A DE當(dāng)平面A DEL平面ABC寸，三棱錐 A' -FED勺體積達(dá)到最大，故選 C.2.如圖，梯形 ABCDh, AD/ BC Z ABC= 90 , AD： BC： AB= 2 ： 3 ： 4, E, F分另是 ARCD的中點，將四邊形 ADF的直線EF進(jìn)行翻折，給出下

39、列四個結(jié)論： DFL BQBD£ FC;平面BDFL平面BCF平面DCFL平面BCF則上述結(jié)論可能正確的是 （）A.B.C.D.解析：選B.對于，因為BC/ AD AD與DF相交但不垂直，所以BC與DF不垂直，則不成立；對于，設(shè)點 D在平面BCF±的 射影為點 P,當(dāng)BPL CF時就有BDL FC,而AD： BC： AB= 2 ： 3 ： 4可 使條件滿足，所以正確；對于，當(dāng)點 D在平面BCF上的射影P落在BF上時，DP 平面BDF從而平面 BDFL平面BCF所以正確；對于，因為點 D在平面8。曰:的射影不可能在 FC上，所以不成立.3.在矩形ABCM, AB< BC

40、現(xiàn)將 ABD沿矩形的對角線 BD所在的直線進(jìn)行翻折，在翻折的過程中，給出下列結(jié)論：存在某個位置，使得直線 存在某個位置，使得直線 存在某個位置，使得直線 其中正確結(jié)論的序號是ACW直線BM直；AB與直線CM直；AD與直線BC垂直.（寫出所有正確結(jié)論的序號）Aa BD解析：假設(shè) AC! BD垂直，過點A作A已BD于點E,連接CE則？ BD1平BDL AC面AEC? BDL CE而在平面 BC加，ECW BD不垂直，故假設(shè)不成立，錯.假設(shè) AB± CD因為 ABL AD所以 ABL平面 ACD所以ABI AC由AB< BC可知，存 在這樣的等腰直角三角形，使 ABL CD故假設(shè)成立，正確.假設(shè)ADL BC因為DCL BG 所以BC1平面ADC所以BCL AC,即ABC直角三角形，且AB為斜邊，而AB< BC故矛盾，假設(shè)不成立， 錯.綜上，填.答案：4.如圖，直三棱柱 ABCABG中，側(cè)棱長為2, AC= BC= 1, Z ACB= 90° , c D是AB的中