新課標(biāo)高考《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》(選修4-4)含答案

1、第二講坐標(biāo)系與參數(shù)方程(選修44)1(2014·新課標(biāo)全國卷)已知曲線C：1，直線l：(t為參數(shù))(1)寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程；(2)過曲線C上任意一點P作與l夾角為30°的直線，交l于點A，求|PA|的最大值與最小值2(2014·新課標(biāo)全國卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，半圓C的極坐標(biāo)方程為2cos ，.(1)求C的參數(shù)方程；(2)設(shè)點D在C上，C在D處的切線與直線l：yx2垂直，根據(jù)(1)中你得到的參數(shù)方程，確定D的坐標(biāo)3(2013·新課標(biāo)全國卷)已知曲線C1的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))，以坐標(biāo)

2、原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為2sin .(1)把C1的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程；(2)求C1與C2交點的極坐標(biāo)(0,02)4(2013·福建高考)在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系已知點A的極坐標(biāo)為，直線l的極坐標(biāo)方程為cosa，且點A在直線l上(1)求a的值及直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，試判斷直線l與圓C的位置關(guān)系1直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化把直角坐標(biāo)系的原點作為極點，x軸正半軸作為極軸，并在兩坐標(biāo)系中取相同的長度單位設(shè)M是平面內(nèi)任意一點，它的直角坐標(biāo)是(x，y)，極坐標(biāo)是(，)，則2圓

3、的極坐標(biāo)方程若圓心為M(0，0)，半徑為r，則圓的方程為：220cos(0)r20.幾個特殊位置的圓的極坐標(biāo)方程：(1)當(dāng)圓心位于極點，半徑為r：r；(2)當(dāng)圓心位于M(a,0)，半徑為a：2acos ；(3)當(dāng)圓心位于M，半徑為a：2asin .3直線的極坐標(biāo)方程若直線過點M(0，0)，且極軸到此直線的角為，則它的方程為：sin()0sin(0)幾個特殊位置的直線的極坐標(biāo)方程：(1)直線過極點：0和0；(2)直線過點M(a,0)且垂直于極軸：cos a；(3)直線過M且平行于極軸：sin b.4幾種常見曲線的參數(shù)方程(1)圓以O(shè)(a，b)為圓心，r為半徑的圓的參數(shù)方程是其中是參數(shù)當(dāng)圓心在(0

4、,0)時，方程為其中是參數(shù)(2)橢圓橢圓1(a>b>0)的參數(shù)方程是其中是參數(shù)橢圓1(a>b>0)的參數(shù)方程是其中是參數(shù)(3)直線經(jīng)過點P0(x0，y0)，傾斜角為的直線的參數(shù)方程是其中t是參數(shù)熱點一極坐標(biāo)方程及其應(yīng)用例1(1)(2014·江西高考改編)若以直角坐標(biāo)系的原點為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求線段y1x(0x1)的極坐標(biāo)方程(2)(2014·東北三校聯(lián)考)已知點P(1cos ，sin )，參數(shù)0，點Q在曲線C：上求點P的軌跡方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；求點P與點Q之間距離的最小值1在極坐標(biāo)系下，已知圓O：cos sin 和直線

5、l：sin.(0,0<2)(1)求圓O和直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)當(dāng)(0，)時，求直線l與圓O的公共點的極坐標(biāo)熱點二參數(shù)方程及其應(yīng)用例2(2014·福建高考)已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù))(1)求直線l和圓C的普通方程；(2)若直線l與圓C有公共點，求實數(shù)a的取值范圍2傾斜角為的直線l過點P(8,2)，直線l和曲線C：(為參數(shù))交于不同的兩點M1，M2.(1)將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程，并寫出直線l的參數(shù)方程；(2)求|PM1|·|PM2|的取值范圍熱點三極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用例3(2014·遼寧高考)將圓x2y

6、21上每一點的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得曲線C.(1)寫出C的參數(shù)方程；(2)設(shè)直線l：2xy20與C的交點為P1，P2，以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求過線段P1P2的中點且與l垂直的直線的極坐標(biāo)方程3極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))曲線C的極坐標(biāo)方程為sin2 8cos .(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)直線l與曲線C交于A，B兩點，與x軸的交點為F，求的值1(2014·江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l與拋物線y24x

7、相交于A，B兩點，求線段AB的長2(2014·南京模擬)在極坐標(biāo)系中，圓C的方程為2acos ，以極點為坐標(biāo)原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，若直線l與圓C相切，求實數(shù)a的值3(2014·鄭州模擬)已知曲線C1：(t為參數(shù))，C2：(為參數(shù))(1)化C1，C2的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；(2)過曲線C2的左頂點且傾斜角為的直線l交曲線C1于A，B兩點，求|AB|.4(2014·貴陽模擬)以直角坐標(biāo)系的原點為極點，x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，在兩種坐標(biāo)系中取相同的單位長度，已知直線l的方程為cos si

8、n 10(>0)，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，點M是曲線C上的一動點(1)求線段OM的中點P的軌跡方程；(2)求曲線C上的點到直線l的距離的最小值5(2014·沈陽模擬)已知曲線C1的極坐標(biāo)方程為2cos 28，曲線C2的極坐標(biāo)方程為，曲線C1、C2相交于A、B兩點(1)求A、B兩點的極坐標(biāo)；(2)曲線C1與直線(t為參數(shù))分別相交于M、N兩點，求線段MN的長度6(2014·昆明模擬)在直角坐標(biāo)系xOy中，l是過定點P(4,2)且傾斜角為的直線，在極坐標(biāo)系(以坐標(biāo)原點O為極點，以x軸非負(fù)半軸為極軸，取相同單位長度)中，曲線C的極坐標(biāo)方程為4cos .(1)寫出直線l

9、的參數(shù)方程，并將曲線C的方程化為直角坐標(biāo)方程；(2)若曲線C與直線l相交于不同的兩點M、N，求|PM|PN|的取值范圍第二部分題1(2014·江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l與拋物線y24x相交于A，B兩點，求線段AB的長2(2014·南京模擬)在極坐標(biāo)系中，圓C的方程為2acos ，以極點為坐標(biāo)原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，若直線l與圓C相切，求實數(shù)a的值3(2014·鄭州模擬)已知曲線C1：(t為參數(shù))，C2：(為參數(shù))(1)化C1，C2的方程為普通方程，并說明它們分別

10、表示什么曲線；(2)過曲線C2的左頂點且傾斜角為的直線l交曲線C1于A，B兩點，求|AB|.4(2014·貴陽模擬)以直角坐標(biāo)系的原點為極點，x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，在兩種坐標(biāo)系中取相同的單位長度，已知直線l的方程為cos sin 10(>0)，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，點M是曲線C上的一動點(1)求線段OM的中點P的軌跡方程；(2)求曲線C上的點到直線l的距離的最小值5(2014·沈陽模擬)已知曲線C1的極坐標(biāo)方程為2cos 28，曲線C2的極坐標(biāo)方程為，曲線C1、C2相交于A、B兩點(1)求A、B兩點的極坐標(biāo)；(2)曲線C1與直線(t為參數(shù))分別相交于

11、M、N兩點，求線段MN的長度6(2014·昆明模擬)在直角坐標(biāo)系xOy中，l是過定點P(4,2)且傾斜角為的直線，在極坐標(biāo)系(以坐標(biāo)原點O為極點，以x軸非負(fù)半軸為極軸，取相同單位長度)中，曲線C的極坐標(biāo)方程為4cos .(1)寫出直線l的參數(shù)方程，并將曲線C的方程化為直角坐標(biāo)方程；(2)若曲線C與直線l相交于不同的兩點M、N，求|PM|PN|的取值范圍答案解：(1)曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))直線l的普通方程為2xy60.(2)曲線C上任意一點P(2cos ，3sin )到l的距離為d|4cos 3sin 6|.則|PA|5sin()6|，其中為銳角，且tan .當(dāng)sin()1時，|

12、PA|取得最大值，最大值為.當(dāng)sin()1時，|PA|取得最小值，最小值為.解：(1)C的普通方程為(x1)2y21(0y1)可得C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，0t)(2)設(shè)D(1cos t，sin t)，由(1)知C是以G(1,0)為圓心，1為半徑的上半圓因為C在點D處的切線與l垂直，所以直線GD與l的斜率相同，tan t，t.故D的直角坐標(biāo)為，即.解：(1)將消去參數(shù)t，化為普通方程(x4)2(y5)225，即C1：x2y28x10y160.將代入x2y28x10y160，得28cos 10sin 160.所以C1的極坐標(biāo)方程為28cos 10sin 160.(2)C2的普通方程為x2y22y

13、0.由解得或所以C1與C2交點的極坐標(biāo)分別為，.解：(1)由點A在直線cosa上，可得a.所以直線l的方程可化為cos sin 2，從而直線l的直角坐標(biāo)方程為xy20.(2)由已知得圓C的直角坐標(biāo)方程為(x1)2y21，所以圓C的圓心為(1,0)，半徑r1，因為圓心C到直線l的距離d<1，所以直線l與圓C相交師生共研(1)因為xcos ，ysin ，且y1x，所以sin 1cos ，所以(sin cos )1，.又0x1，所以0y1，所以點(x，y)都在第一象限及坐標(biāo)軸的正半軸上，則0，即所求線段的極坐標(biāo)方程為.(2)由消去，得點P的軌跡方程為(x1)2y21(y0)，又由，得，所以si

14、n cos 9.所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為xy9.因為半圓(x1)2y21(y0)的圓心(1,0)到直線xy9的距離為4，所以|PQ|min41.解：(1)圓O：cos sin ，即2cos sin ，故圓O的直角坐標(biāo)方程為：x2y2xy0，直線l：sin，即sin cos 1，則直線l的直角坐標(biāo)方程為：xy10.(2)由(1)知圓O與直線l的直角坐標(biāo)方程，將兩方程聯(lián)立得解得即圓O與直線l在直角坐標(biāo)系下的公共點為(0,1)，將(0,1)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)為，即為所求熱點二參數(shù)方程及其應(yīng)用師生共研(1)直線l的普通方程為2xy2a0，圓C的普通方程為x2y216.(2)因為直線l與圓C有公共點，故圓C

15、的圓心到直線l的距離d4，解得2a2.解：(1)曲線C的普通方程為1，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))(2)將l的參數(shù)方程代入曲線C的方程得：(8tcos )28(2tsin )232，整理得(8sin2cos2)t2(16cos 32sin )t640，由(16cos 32sin )24×64(8sin2cos2)>0，得cos >sin ，故，|PM1|PM2|t1t2|.熱點三極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用師生共研(1)設(shè)(x1，y1)為圓上的點，在已知變換下變?yōu)榍€C上點(x，y)，依題意，得由xy1得x221，即曲線C的方程為x21.故C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))(

16、2)由解得或不妨設(shè)P1(1,0)，P2(0,2)，則線段P1P2的中點坐標(biāo)為，所求直線斜率為k，于是所求直線方程為y1，化為極坐標(biāo)方程，并整理得2cos 4sin 3，即.解：(1)由sin28cos 得2sin28cos ，曲線C的直角坐標(biāo)方程為y28x.(2)易得直線l與x軸的交點為F(2,0)，將直線l的方程代入y28x，得(tsin )28(2tcos )，整理得t2sin2 8tcos 160.由已知sin 0，(8cos )24×(16)sin2 64>0，t1t2，t1t2<0，故.解：將直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù))代入拋物線方程y24x，得24，解得t10

17、，t28.所以AB|t1t2|8.解：易求直線l：4x3y20，圓C：(xa)2y2a2，依題意，有|a|，解得a2或.解：(1)C1：(x2)2(y1)21，C2：1.曲線C1為圓心是(2,1)，半徑是1的圓曲線C2為中心是坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，長軸長是8，短軸長是6的橢圓(2)曲線C2的左頂點為(4,0)，則直線l的參數(shù)方程為(s為參數(shù))，將其代入曲線C1整理可得：s23s40，設(shè)A，B對應(yīng)參數(shù)分別為s1，s2，則s1s23，s1s24.所以|AB|s1s2|.解：(1)設(shè)中點P的坐標(biāo)為(x，y)，依據(jù)中點公式有(為參數(shù))這是點P軌跡的參數(shù)方程，消參得點P的普通方程為x2(y1)21.(

18、2)直線l的直角坐標(biāo)方程為xy10，曲線C的普通方程為x2(y2)24，表示以(0,2)為圓心，以2為半徑的圓，故所求最小值為圓心(0,2)到直線l的距離減去半徑，設(shè)所求最小距離為d，則d22.因此曲線C上的點到直線l的距離的最小值為2.解：(1)由得：2cos8，所以216，即±4.所以A、B兩點的極坐標(biāo)為：A，B或B.(2)由曲線C1的極坐標(biāo)方程得其直角坐標(biāo)方程為x2y28，將直線代入x2y28，整理得t22t140，所以|MN|2.解：(1)直線l的參數(shù)方程：(t為參數(shù))4cos ，24cos ，曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2y24x.(2)直線l的參數(shù)方程：(t為參數(shù))，代入x2y24x，得t24(sin cos )t40，sin ·cos >0，又0<，且t1<0，t2<0.|PM|PN|t1|t2|t1t2|4(sin cos )4sin，由，得，<sin1，故|PM|PN|的取值范圍是(4,4 第二部分題答案：1解：將直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù))代入拋物線方程y24x，得24，解得t10，t28.所以AB|t1t2|8.2解：易求直線l：4x3y20，圓C：(xa)2y2a2，依題意，有|a|，解得a2或.3解：(1)C1：(x2)2(y1)21，C2：1.曲線C1為圓心是(2,1)，半徑是1的圓曲