14春季-固體物理-第四章習(xí)題解答參考解析

1、（2 2）xaixk3cos)(電子波函數(shù)電子波函數(shù))(3cos3sin3sin3cos3cos33cos)(3cos)(xaxiaxiaxixaiaxaiaxkk1ikae, 2, 1, 0,12nnka在第一布里淵區(qū)內(nèi)，在第一布里淵區(qū)內(nèi)， ，得到，得到，akaak,第一頁，編輯于星期一：八點(diǎn) 十八分。lklaxfx)()(lklaaxfax)()(lalxf) 1(1 ll)()(lkalxfax)()(xalxfklanknkaeika221，,.)2, 1, 0(n 令令 ，得到，得到， （3 3）0k在第一布里淵區(qū)，在第一布里淵區(qū)，aak,第二頁，編輯于星期一：八點(diǎn) 十八分。4.2

2、4.2 （1 1）能帶論的基本假設(shè)及其物理意義）能帶論的基本假設(shè)及其物理意義答：能帶論的基本假設(shè)答：能帶論的基本假設(shè)絕熱近似絕熱近似假設(shè)相對于共有化運(yùn)動電子的運(yùn)動速度，離子實(shí)近似固定在格點(diǎn)上不動，假設(shè)相對于共有化運(yùn)動電子的運(yùn)動速度，離子實(shí)近似固定在格點(diǎn)上不動，電子系統(tǒng)和離子實(shí)系統(tǒng)沒有能量交換。電子系統(tǒng)和離子實(shí)系統(tǒng)沒有能量交換。平均場近似（單電子勢近似）平均場近似（單電子勢近似）假設(shè)每個電子所處的周期勢相同，與其它電子、離子假設(shè)每個電子所處的周期勢相同，與其它電子、離子實(shí)的庫侖相互作用只與該電子位置有關(guān)。實(shí)的庫侖相互作用只與該電子位置有關(guān)。周期勢場近似周期勢場近似單電子勢具有晶格平移周期性單電子

3、勢具有晶格平移周期性第三頁，編輯于星期一：八點(diǎn) 十八分。（2 2）能帶論的要點(diǎn)）能帶論的要點(diǎn) 構(gòu)成晶體的原子的價電子不再束縛于其原子，而是在晶體中共有化運(yùn)動。在單電構(gòu)成晶體的原子的價電子不再束縛于其原子，而是在晶體中共有化運(yùn)動。在單電子近似下，求解共有化電子所滿足的薛定諤方程，得到：子近似下，求解共有化電子所滿足的薛定諤方程，得到： 1 1、共有化運(yùn)動電子的本征波函數(shù)是調(diào)幅平面波（布洛赫波），本征波函數(shù)的、共有化運(yùn)動電子的本征波函數(shù)是調(diào)幅平面波（布洛赫波），本征波函數(shù)的振幅具有與晶格相同的周期性，電子在晶體不同原胞中的對應(yīng)點(diǎn)上出現(xiàn)的幾率相振幅具有與晶格相同的周期性，電子在晶體不同原胞中的對應(yīng)點(diǎn)

4、上出現(xiàn)的幾率相等。等。 2 2、共有化運(yùn)動電子允許存在的本征能量態(tài)（電子量子態(tài)）不再是原子能級，而是一、共有化運(yùn)動電子允許存在的本征能量態(tài)（電子量子態(tài)）不再是原子能級，而是一系列允許的能帶（允帶）。允帶之間是共有化電子不可具有的能量狀態(tài)，稱為禁帶。系列允許的能帶（允帶）。允帶之間是共有化電子不可具有的能量狀態(tài)，稱為禁帶。 3 3、一般情況下，每個允帶中包含等于晶體原胞數(shù)、一般情況下，每個允帶中包含等于晶體原胞數(shù)N N、間隔非常小的能級（準(zhǔn)連續(xù)）。、間隔非常小的能級（準(zhǔn)連續(xù)）。每個能級是共有化電子波矢每個能級是共有化電子波矢 的函數(shù)，在波矢空間中，這種函數(shù)關(guān)系以倒格矢為周期。的函數(shù)，在波矢空間中

5、，這種函數(shù)關(guān)系以倒格矢為周期。 4 4、允帶每個能級容納自旋相反的兩個電子，一個能帶可容納、允帶每個能級容納自旋相反的兩個電子，一個能帶可容納2N2N個電子。個電子。k第四頁，編輯于星期一：八點(diǎn) 十八分。4.2 4.2 （3 3）簡約布里淵區(qū)表示的能帶圖和擴(kuò)展布里淵表示的能帶圖有什么區(qū)別？）簡約布里淵區(qū)表示的能帶圖和擴(kuò)展布里淵表示的能帶圖有什么區(qū)別？擴(kuò)展布里淵區(qū)表示法擴(kuò)展布里淵區(qū)表示法0 0簡約布里淵區(qū)表示法簡約布里淵區(qū)表示法擴(kuò)展布里淵區(qū)將不同的能帶描繪在波矢空間中的不同的布里淵區(qū)內(nèi)；擴(kuò)展布里淵區(qū)將不同的能帶描繪在波矢空間中的不同的布里淵區(qū)內(nèi)；簡約布里淵區(qū)依據(jù)波矢具有以倒格矢為周期的平移對稱性

6、簡約布里淵區(qū)依據(jù)波矢具有以倒格矢為周期的平移對稱性 ，將，將波矢波矢 的取值限制在第一布里淵區(qū)內(nèi)；的取值限制在第一布里淵區(qū)內(nèi)； nhnEkGEk第五頁，編輯于星期一：八點(diǎn) 十八分。4.3 4.3 試證明三維布拉菲晶格的電子波矢分布密度為試證明三維布拉菲晶格的電子波矢分布密度為32V證明證明設(shè)三維布拉菲晶格的原胞基矢為設(shè)三維布拉菲晶格的原胞基矢為3b112233kk bk bk b nnkkiirrN aiN為為 方向原胞數(shù)，方向原胞數(shù)，iaiaaia1, 2, 3i 對應(yīng)的倒格子基矢為對應(yīng)的倒格子基矢為 ，則電子波矢，則電子波矢，由共有化運(yùn)動電子波函數(shù)的周期性邊界條件，由共有化運(yùn)動電子波函數(shù)的

7、周期性邊界條件，( )()i iik rN anik rnkkiiur eurN a e得到，得到，1, 2, 3i 第六頁，編輯于星期一：八點(diǎn) 十八分。1i iik N ae2iiik N ah121112223333(0,1,2,)2(0,1,2,)(0,1,222,)hkN ahkN ahhNhkahikaa若第一布里淵區(qū)為若第一布里淵區(qū)為 ，得到，得到，,aa第七頁，編輯于星期一：八點(diǎn) 十八分。22iiiNNh 一組一組 代表一個電子狀態(tài)點(diǎn)，波矢點(diǎn)均勻分布。代表一個電子狀態(tài)點(diǎn)，波矢點(diǎn)均勻分布。123(,)kkk 取值個數(shù)取值個數(shù)k123NN N N波矢空間原胞體積，波矢空間原胞體積，波

8、矢密度，波矢密度，1b2b3b第八頁，編輯于星期一：八點(diǎn) 十八分。l 導(dǎo)體導(dǎo)體禁帶禁帶典型：典型：Na、Cu、K、Li、Ag、Au 1、原子含奇數(shù)個價電子的導(dǎo)體具有不滿帶、外場下導(dǎo)電良好、原子含奇數(shù)個價電子的導(dǎo)體具有不滿帶、外場下導(dǎo)電良好EcE4.4 4.4 用能帶圖說明導(dǎo)體、絕緣體、半導(dǎo)體的導(dǎo)電性質(zhì)用能帶圖說明導(dǎo)體、絕緣體、半導(dǎo)體的導(dǎo)電性質(zhì)基本原理：基本原理：l 滿帶中的電子不能導(dǎo)電滿帶中的電子不能導(dǎo)電l 沒有電子的空帶不能導(dǎo)電（因?yàn)闆]有電子）沒有電子的空帶不能導(dǎo)電（因?yàn)闆]有電子）l 不滿的能帶中的電子參與導(dǎo)電不滿的能帶中的電子參與導(dǎo)電第九頁，編輯于星期一：八點(diǎn) 十八分。 2、原子含偶數(shù)個價

9、電子的導(dǎo)體，價電子填滿一個或幾個能帶，但、原子含偶數(shù)個價電子的導(dǎo)體，價電子填滿一個或幾個能帶，但滿帶與空帶重疊，外場下具有較好的導(dǎo)電性。滿帶與空帶重疊，外場下具有較好的導(dǎo)電性。禁帶禁帶典型：典型：Be、Mg、ZncEE第十頁，編輯于星期一：八點(diǎn) 十八分。l 半金屬半金屬 原子含偶數(shù)個價電子，原子含偶數(shù)個價電子，滿帶與空帶滿帶與空帶少量重疊，一個能帶幾乎填滿，另一少量重疊，一個能帶幾乎填滿，另一個能帶有很少電子，導(dǎo)電性比導(dǎo)體差。個能帶有很少電子，導(dǎo)電性比導(dǎo)體差。典型：典型：Bi、As、Sb 禁帶禁帶cEE第十一頁，編輯于星期一：八點(diǎn) 十八分。l 絕緣體絕緣體 禁帶禁帶 原子含偶數(shù)個價電子，能量最

10、高的滿帶原子含偶數(shù)個價電子，能量最高的滿帶和能量最低的空帶之間的禁帶寬度很大。和能量最低的空帶之間的禁帶寬度很大。在一般的溫度下，滿帶電子不能激發(fā)到空在一般的溫度下，滿帶電子不能激發(fā)到空帶中，導(dǎo)電性很差。帶中，導(dǎo)電性很差。gEEcE第十二頁，編輯于星期一：八點(diǎn) 十八分。半導(dǎo)體半導(dǎo)體溫度溫度電阻率電阻率T2T10 0導(dǎo)帶導(dǎo)帶價帶價帶激發(fā)激發(fā)激發(fā)激發(fā)l 半導(dǎo)體半導(dǎo)體 禁帶禁帶 原子含偶數(shù)個價電子，能量最高的滿帶（導(dǎo)帶）和能量原子含偶數(shù)個價電子，能量最高的滿帶（導(dǎo)帶）和能量最低的空帶（價帶）之間的禁帶寬度較小。絕對零度下，最低的空帶（價帶）之間的禁帶寬度較小。絕對零度下，滿帶電子不能激發(fā)到導(dǎo)帶，導(dǎo)電

11、性為零。當(dāng)溫度高于絕對滿帶電子不能激發(fā)到導(dǎo)帶，導(dǎo)電性為零。當(dāng)溫度高于絕對零度時，零度時，隨溫度提高，價帶空穴和導(dǎo)帶電子大量增加，導(dǎo)隨溫度提高，價帶空穴和導(dǎo)帶電子大量增加，導(dǎo)電性急劇提高。電性急劇提高。gEEcE第十三頁，編輯于星期一：八點(diǎn) 十八分。4.54.5)2cos(81)cos(87)(22kakamakEakk ，00)2sin(4)sin(22kaakaamadkdE由極值條件找到極值點(diǎn)，由極值條件找到極值點(diǎn)， 在第一布里淵區(qū)內(nèi)，在第一布里淵區(qū)內(nèi)， ，得到，得到， （1 1） nkakakakakakakakaka0)sin(0)cos(211)sin()cos()sin(241)s

12、in()2sin(41)sin(,.)2, 1, 0(naak,第十四頁，編輯于星期一：八點(diǎn) 十八分。00minkEE當(dāng)當(dāng) , , 電子能量取到極小值，電子能量取到極小值， 0kak22max2maakEE222maE當(dāng)當(dāng) , , 電子能量取到極大值，電子能量取到極大值， 得到能帶寬度，得到能帶寬度， 第十五頁，編輯于星期一：八點(diǎn) 十八分。)cos(211)sin()cos()sin(21)sin()2sin(41)sin(1222kakamkakakamkakamdkdE（2 2）電子在波矢量）電子在波矢量 狀態(tài)下的速度狀態(tài)下的速度 （3 3）能帶底部和頂部的電子有效質(zhì)量）能帶底部和頂部的電子有效質(zhì)量 mdkkEdmak32)(222mdkkEdmkk2)(02220 k第十六頁，編輯于星期一：八點(diǎn) 十八分。（4 4）若此一維晶格長度為）若此一維晶格長度為 ， 為原