非線性規(guī)劃的MATLAB解法及其應(yīng)用(共4頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上題 目 非線性規(guī)劃的MATLAB解法及其應(yīng)用（一） 問題描述非線性規(guī)劃是具有非線性約束條件或目標(biāo)函數(shù)的數(shù)學(xué)規(guī)劃，是運籌學(xué)的一個重要分支。非線性規(guī)劃是20世紀(jì)50年代才開始形成的一門新興學(xué)科。70年代又得到進(jìn)一步的發(fā)展。非線性規(guī)劃在工程、管理、經(jīng)濟、科研、軍事等方面都有廣泛的應(yīng)用，為最優(yōu)設(shè)計提供了有力的工具。在經(jīng)營管理、工程設(shè)計、科學(xué)研究、軍事指揮等方面普遍地存在著最優(yōu)化問題。例如：如何在現(xiàn)有人力、物力、財力條件下合理安排產(chǎn)品生產(chǎn)，以取得最高的利潤；如何設(shè)計某種產(chǎn)品，在滿足規(guī)格、性能要求的前提下，達(dá)到最低的成本；如何確定一個自動控制的某些參數(shù)，使系統(tǒng)的工作狀態(tài)最佳；如何

2、分配一個動力系統(tǒng)中各電站的負(fù)荷，在保證一定指標(biāo)要求的前提下，使總耗費最小；如何安排庫存儲量，既能保證供應(yīng)，又使儲存 費用最低；如何組織貨源，既能滿足顧客需要，又使資金周轉(zhuǎn)最快等。對于靜態(tài)的最優(yōu)化 問題，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)或約束條件出現(xiàn)未知量的非線性函數(shù)，且不便于線性化，或勉強線性化后會招致較大誤差時，就可應(yīng)用非線性規(guī)劃的方法去處理。具有非線性約束條件或目標(biāo)函數(shù)的數(shù)學(xué)規(guī)劃，是運籌學(xué)的一個重要分支。非線性規(guī)劃研究一個n元實函數(shù)在一組等式或不等式的約束條件下的極值問題，且目標(biāo)函數(shù)和約束條件至少有一個是未知量的非線性函數(shù)。目標(biāo)函數(shù)和約束條件都是線性函數(shù)的情形則屬于線性規(guī)劃。本實驗就是用ma

3、tlab軟件來解決非線性規(guī)劃問題。（二） 基本要求掌握非線性規(guī)劃的MATLAB解法,并且解決相關(guān)的實際問題。題一 ：對邊長為3米的正方形鐵板，在四個角剪去相等的正方形以制成方形無蓋水槽，問如何剪法使水槽的容積最大？題二： 某廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品有甲、乙兩個牌號，討論在產(chǎn)銷平衡的情況下如何確定各自的產(chǎn)量，使總利潤最大. 所謂產(chǎn)銷平衡指工廠的產(chǎn)量等于市場上的銷量.符號說明：z(x1,x2)表示總利潤；p1，q1，x1分別表示甲的價格、成本、銷量； p2，q2，x2分別表示乙的價格、成本、銷量； aij，bi，i,ci（i，j =1，2）是待定系數(shù).題三：設(shè)有400萬元資金, 要求4年內(nèi)使用完, 若在一年

4、內(nèi)使用資金x萬元, 則可得效益萬元(效益不能再使用),當(dāng)年不用的資金可存入銀行, 年利率為10%. 試制定出資金的使用計劃, 以使4年效益之和為最大.（三） 數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)題一:設(shè)剪去的正方形的邊長為x，則水槽的容積為：;建立無約束優(yōu)化模型為：min y=-， 0<x<1.5題二：總利潤為： z(x1,x2)=(p1-q1)x1+(p2-q2)x2若根據(jù)大量的統(tǒng)計數(shù)據(jù),求出系數(shù)b1=100,a11=1,a12=0.1,b2=280,a21=0.2,a22=2,r1=30,1=0.015,c1=20, r2=100,2=0.02,c2=30,則問題轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題：求甲,乙兩個牌號的產(chǎn)

5、量x1，x2，使總利潤z最大.為簡化模型,先忽略成本,并令a12=0,a21=0,問題轉(zhuǎn)化為求:z1 = ( b1 - a11x1 ) x1 + ( b2 - a22x2 ) x2 的極值. 顯然其解為x1 = b1/2a11 = 50, x2 = b2/2a22 = 70,我們把它作為原問題的初始值.題三：設(shè)變量表示第i年所使用的資金數(shù),則有 （四） 源程序題一：編寫M文件fun0.m: function f=fun0(x) f=-(3-2*x).2*x;主程序為wliti2.m: x,fval=fminbnd('fun0',0,1.5); xmax=x fmax=-fval

6、題二：建立M-文件fun.m: function f = fun(x) y1=(100-x(1)- 0.1*x(2)-(30*exp(-0.015*x(1)+20)*x(1); y2=(280-0.2*x(1)- 2*x(2)-(100*exp(-0.02*x(2)+30)*x(2); f=-y1-y2;輸入命令: x0=50,70; x=fminunc(fun,x0), z=fun(x)題三：建立M文件 fun44.m,定義目標(biāo)函數(shù):function f=fun44(x)f=-(sqrt(x(1)+sqrt(x(2)+sqrt(x(3)+sqrt(x(4);建立M文件mycon1.m定義非線

7、性約束： function g,ceq=mycon1(x) g(1)=x(1)-400;g(2)=1.1*x(1)+x(2)-440;g(3)=1.21*x(1)+1.1*x(2)+x(3)-484;g(4)=1.331*x(1)+1.21*x(2)+1.1*x(3)+x(4)-532.4;ceq=0主程序youh4.m為:x0=1;1;1;1;vlb=0;0;0;0;vub=;A=;b=;Aeq=;beq=;x,fval=fmincon('fun44',x0,A,b,Aeq,beq,vlb,vub,'mycon1')（五） 運行結(jié)果題一: 運算結(jié)果為: xma

8、x = 0.5000,fmax =2.0000.即剪掉的正方形的邊長為0.5米時水槽的容積最大,最大容積為2立方米.題二：運行結(jié)果為:x=23.9025, 62.4977, z=6.4135e+003即甲的產(chǎn)量為23.9025,乙的產(chǎn)量為62.4977,最大利潤為6413.5.題三：運行結(jié)果為：x1=86.2;x2=104.2;x3=126.2;x4=152.8;z=43.1（六） 相關(guān)知識用Matlab解無約束優(yōu)化問題 一元函數(shù)無約束優(yōu)化問題常用格式如下：（1）x= fminbnd (fun,x1,x2)（2）x= fminbnd (fun,x1,x2 ，options)（3）x，fval=

9、 fminbnd（.）（4）x，fval，exitflag= fminbnd（.）（5）x，fval，exitflag，output= fminbnd（.）其中（3）、（4）、（5）的等式右邊可選用（1）或（2）的等式右邊。 函數(shù)fminbnd的算法基于黃金分割法和二次插值法，它要求目標(biāo)函數(shù)必須是連續(xù)函數(shù)，并可能只給出局部最優(yōu)解。多元函數(shù)無約束優(yōu)化問題標(biāo)準(zhǔn)型為：min F(X)命令格式為:（1）x= fminunc（fun,X0 ）；或x=fminsearch（fun,X0 ）（2）x= fminunc（fun,X0 ，options）； 或x=fminsearch（fun,X0 ，optio

10、ns）（3）x，fval= fminunc（.）； 或x，fval= fminsearch（.）（4）x，fval，exitflag= fminunc（.）； 或x，fval，exitflag= fminsearch（5）x，fval，exitflag，output= fminunc（.）； 或x，fval，exitflag，output= fminsearch（.）說明:fminsearch是用單純形法尋優(yōu). fminunc的算法見以下幾點說明：(1) fminunc為無約束優(yōu)化提供了大型優(yōu)化和中型優(yōu)化算法。由options中的參數(shù)LargeScale控制：LargeScale=on(默認(rèn)值

11、),使用大型算法LargeScale=off(默認(rèn)值),使用中型算法(2) fminunc為中型優(yōu)化算法的搜索方向提供了4種算法，由 options中的參數(shù)HessUpdate控制：HessUpdate=bfgs（默認(rèn)值），擬牛頓法的BFGS公式；HessUpdate=dfp，擬牛頓法的DFP公式；HessUpdate=steepdesc，最速下降法(3) fminunc為中型優(yōu)化算法的步長一維搜索提供了兩種算法， 由options中參數(shù)LineSearchType控制：LineSearchType=quadcubic(缺省值)，混合的二次和三次多項式插值；LineSearchType=cubicpoly，三次多項式插使用fminunc和 fminsearch可能會得到局部最優(yōu)解.非線性規(guī)劃二次規(guī)劃用MATLAB軟件求解,其輸入格式如下: 1.x=quadprog(H,C,A,b); 2.x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq); 3.x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB); 4.x=quadprog(H,C,A,b, Aeq,beq ,VLB,VUB,X0); 5.x=quadprog(H,C,A,b, Aeq,beq ,VLB,VUB,X0,options); 6