2020年山東省濟(jì)南市歷下區(qū)初三二輪復(fù)習(xí)學(xué)案13：動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

1、動(dòng)點(diǎn)型問(wèn)題一、中考專(zhuān)題詮釋所謂 動(dòng)點(diǎn)型問(wèn)題”是指題設(shè)圖形中存在一個(gè)或多個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它們?cè)诰€段、射線或弧線上運(yùn)動(dòng)的一類(lèi)開(kāi)放性題目.解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是動(dòng)中求靜，靈活運(yùn)用有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題 .動(dòng)點(diǎn)型問(wèn)題”題型繁多、題意創(chuàng)新，考察學(xué)生的分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，內(nèi)容包括 空間觀念、應(yīng)用意識(shí)、推理能力等，是近幾年中考題的熱點(diǎn)和難點(diǎn)。 二、解題策略和解法精講解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的關(guān)鍵是 動(dòng)中求靜” .從變換的角度和運(yùn)動(dòng)變化來(lái)研究三角形、四邊形、函數(shù)圖像等圖形，通過(guò)對(duì)稱(chēng)、動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)”等研究手段和方法，來(lái)探索與發(fā)現(xiàn)圖形性質(zhì)及圖形變化，在解題過(guò)程中滲透空間觀念和 合情推理。在動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中觀察圖形的變化情況，理解圖形

2、在不同位置的情況，做好計(jì) 算推理的過(guò)程。在變化中找到不變的性質(zhì)是解決數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)”探究題的基本思路，這也是動(dòng)態(tài)幾何數(shù)學(xué)問(wèn)題中最核心的數(shù)學(xué)本質(zhì)。 三、中考考點(diǎn)精講 考點(diǎn)一：建立動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)解析式（或函數(shù)圖像）函數(shù)揭示了運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中量與量之間的變化規(guī)律，是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容.動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題反映的是一種函數(shù)思想，由于某一個(gè)點(diǎn)或某圖形的有條件地運(yùn)動(dòng)變化，引起未知量與已知量間的一種變化關(guān)系，這種變化關(guān)系就是動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中的函數(shù)關(guān)系.例1 （2020?胡北黃岡，第8題3分）已知：在 4ABC中，BC=10, BC邊上的高h(yuǎn)=5,點(diǎn)E在邊AB上，過(guò)點(diǎn)E作EF/BC,交AC邊于點(diǎn)F.點(diǎn)D為BC上一點(diǎn)，連接 DE、DF

3、.設(shè)點(diǎn)E到BC的距離為x,則4DEF的面積S關(guān)于x的函數(shù)圖象大致為（）例2 （2020湖南邵陽(yáng)第9題3分）如圖，在等腰 BBC中，直線l垂直底邊BC,現(xiàn)將直線l 沿線段BC從B點(diǎn)勻速平移至C點(diǎn)，直線l與四BC的邊相交于E、F兩點(diǎn).設(shè)線段EF的長(zhǎng) 度為y,平移時(shí)間為t,則下圖中能較好反映 y與t的函數(shù)關(guān)系的圖象是（）11對(duì)應(yīng)訓(xùn)練1. （2020年湖北黃石）（2020?湖北黃石，第10題3分）如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿半圓弧 AB順時(shí)針?lè)较騽蛩僖苿?dòng)至點(diǎn)B,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t, AABP的面積為S,則卜列圖象能大致刻畫(huà)S與t之間的關(guān)系的是（）2. （2020湖北荊州第9題3分）如圖，正方

4、形ABCD的邊長(zhǎng)為3cm,動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)以3cm/s 的速度沿著邊 BC-CD-DA運(yùn)動(dòng)，到達(dá)A點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)；另一動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)從B點(diǎn)出發(fā)，以1cm/s 的速度沿著邊 BA向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，到達(dá)A點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng).設(shè) P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x （s）,4BPQ的面積 為y （cm2）,則y關(guān)于x的函數(shù)圖象是（）3. （2020也肅武威，第10題3分）如圖，矩形 ABCD中，AB=3, BC=5,點(diǎn)P是BC邊上的一 個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)B、C都不重合），現(xiàn)將 PCD沿直線PD折疊，使點(diǎn)C落到點(diǎn)F處；過(guò)點(diǎn)P作/BPF的角平分線交 AB于點(diǎn)E.設(shè)BP=x, BE=y,則下列圖象中，能表示 y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（）4.

5、（2020?四川資陽(yáng)，第8題3分）如圖4, AD、BC是。的兩條互相垂直的直徑，點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿。一C-D一。的路線勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè) /APB=y （單位：度），那么y與點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間x （單位：秒）的關(guān)系圖是考點(diǎn)二：動(dòng)態(tài)幾何型題目點(diǎn)動(dòng)、線動(dòng)、形動(dòng)構(gòu)成的問(wèn)題稱(chēng)之為動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題.它主要以幾何圖形為載體，運(yùn)動(dòng)變化為主線，集多個(gè)知識(shí)點(diǎn)為一體，集多種解題思想于一題.這類(lèi)題綜合性強(qiáng)，能力要求高，它能全面的考查學(xué)生的實(shí)踐操作能力，空間想象能力以及分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力動(dòng)態(tài)幾何特點(diǎn)-問(wèn)題背景是特殊圖形， 考查問(wèn)題也是特殊圖形，所以要把握好一般與特殊的關(guān)系；分析過(guò)程中，特別要關(guān)注圖形的特性（特殊角、特殊圖形的

6、性質(zhì)、圖形的特殊位 置。）動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題一直是中考熱點(diǎn)，近幾年考查探究運(yùn)動(dòng)中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四邊形、梯形、特殊角或其三角函數(shù)、線段或面積的最值。（一）點(diǎn)動(dòng)問(wèn)題.例 2（2020?可北）如圖，梯形 ABCD 中，AB/DC, DEXAB , CF ± AB ,且 AE=EF=FB=5 ,DE=12動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線AD-DC-CB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) B停止.設(shè) 運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，y=S4EPF,則y與t的函數(shù)圖象大致是（）A.B.C.D.1. （2020?四川省內(nèi)江市，第11題，3分）如圖，正方形 ABCD的面積為12, AABE是等邊三角形

7、，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，在對(duì)角線 AC上有一點(diǎn)P,使PD+PE最小，則這個(gè)最小值/C. 2/D.后（二）線動(dòng)問(wèn)題例3（2020?門(mén)）如右圖所示，已知等腰梯形ABCD , AD/BC,若動(dòng)直線l垂直于BC ,且向右平移，設(shè)掃過(guò)的陰影部分的面積為S, BP為x,則S關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是（）對(duì)應(yīng)訓(xùn)練1 （2020麻州）如圖所示，在矩形 ABCD中，垂直于對(duì)角線 BD的直線1,從點(diǎn)B開(kāi)始沿著線 段BD勻速平移到D.設(shè)直線1被矩形所截線段 EF的長(zhǎng)度為V,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t,則y關(guān)于t的 函數(shù)的大致圖象是（）2. （2020?山東威海，第 11題3分）如圖，已知 4ABC為等邊三角形，AB=2,點(diǎn)D為邊A

8、B上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE / AC,交BC于E點(diǎn)；過(guò)E點(diǎn)作EF，DE,交AB的延長(zhǎng)線于F點(diǎn).設(shè)D.（三）面動(dòng)問(wèn)題例4（2020批丹江）如圖所示：邊長(zhǎng)分別為 1和2的兩個(gè)正方形，其中一邊在同一水平線上，小正方形沿該水平線自左向右勻速穿過(guò)大正方形，設(shè)穿過(guò)的時(shí)間為t,大正方形內(nèi)去掉小正方形后的面積為 s,那么s與t的大致圖象應(yīng)為（）2. （2020深圳，第1 f對(duì)應(yīng)訓(xùn)練考點(diǎn)三：雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題動(dòng)態(tài)問(wèn)題是近幾年來(lái)中考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)題型.這類(lèi)試題信息量大，其中以靈活多變而著稱(chēng)的雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題更成為中考試題的熱點(diǎn)中的熱點(diǎn)，雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題對(duì)同學(xué)們獲取信息和處理信息的能 力要求更高高；解題時(shí)需要用運(yùn)動(dòng)和變化的眼光去觀察和研究問(wèn)題

9、，挖掘運(yùn)動(dòng)、變化的全過(guò)程，并特別關(guān)注運(yùn)動(dòng)與變化中的不變量、不變關(guān)系或特殊關(guān)系，動(dòng)中取靜，靜中求動(dòng).例5 (2020型枝花)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形 ABCD是梯形，AB / CD ,點(diǎn)B(10, 0) , C (7, 4).直線l經(jīng)過(guò)A, D兩點(diǎn)，且sin /DAB= g .動(dòng)點(diǎn)P在線段 AB上從點(diǎn)A出發(fā)以每秒2個(gè)單位的速度向點(diǎn) B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)以每秒5個(gè)單位的速度 沿B-8D的方向向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PM垂直于x軸，與折線 A-DfC 相交于點(diǎn)M, 當(dāng)P, Q兩點(diǎn)中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn) P, Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒(t >0), AMPQ的面積為

10、S.(1 )點(diǎn)A的坐標(biāo)為 ,直線l的解析式為 ;(2)試求點(diǎn)Q與點(diǎn)M相遇前S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出相應(yīng)的t的取值范圍；(3)試求(2)中當(dāng)t為何值時(shí)，S的值最大，并求出 S的最大值；(4)隨著P, Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn) M在線段DC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè) PM的延長(zhǎng)線與直線l相交于 點(diǎn)N,試探究：當(dāng)t為何值時(shí)， QMN為等腰三角形？請(qǐng)直接寫(xiě)出 t的值.考點(diǎn)四：幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題PD若AB=4,則四邊形AOPD的最大面積為1. (2020河南，第17題9分)如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)P是半圓上不與點(diǎn) A、B重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，延長(zhǎng) BP到點(diǎn)C,使PC=PB, D是AC的中點(diǎn)，連接PD, PO.(1)求證：CDPs

11、pob；(2)填空:連接OD,當(dāng)ZPBA的度數(shù)為 時(shí)，四邊形BPDO是菱形AOB第17題2. (2020山東省德州市，11, 3分)如圖，AD是4ABC的角平分線，DE , DF分另是 ABD和4ACD的高，得到下面四個(gè)結(jié)論：OA=OD;AD，EF;當(dāng)/A=90。時(shí)，四邊形AEDF是正方形；A. B.C.D.AE2+DF2=AF2+DE2 其中正確的是()3. (2020怙島，第24題12分)已知：如圖，菱形 ABCD中，對(duì)角線 AC, BD相交于點(diǎn) O, 且AC=12cm , BD=16cm .點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿 BA方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為 1cm/s；同時(shí)，直 線EF從點(diǎn)D出發(fā)，沿DB方向勻

12、速運(yùn)動(dòng)，速度為 1cm/s, EFBD ,且與AD , BD , CD分別 交于點(diǎn)E, Q, F;當(dāng)直線EF停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P也停止運(yùn)動(dòng).連接 PF,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t (s) (0 vt<8).解答下列問(wèn)題：(1)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形 APFD是平行四邊形？(2)設(shè)四邊形 APFE的面積為y (cm2),求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)是否存在某一時(shí)刻t,使S四邊形apfe： S菱形abcd=17： 40?若存在，求出t的值，并求出 此時(shí)P, E兩點(diǎn)間的距離；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.考點(diǎn)五：函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題1. (2020?四川甘孜、阿壩，第 28題12分)如圖，已知拋物線 y=ax25ax+2

13、(awQ與y軸 交于點(diǎn)C,與x軸交于點(diǎn)A (1, 0)和點(diǎn)B .(1)求拋物線的解析式；(2)求直線BC的解析式；(3)若點(diǎn)N是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) N作NHx軸，垂足為H,以B, N, H為頂點(diǎn)的三角 形是否能夠與OBC相似？若能，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn) N的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.2. (2020?山東威海，第25題12分)已知：拋物線li： y= - x2+bx+3交x軸于點(diǎn)A, B,(點(diǎn)A 在點(diǎn)B的左側(cè))，交y軸于點(diǎn)C,其對(duì)稱(chēng)軸為x=1 ,拋物線12經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,與x軸的另一個(gè)交點(diǎn) 為 E (5, 0),交 y 軸于點(diǎn) D (0,-=).(1)求拋物線12的函數(shù)表達(dá)式；(2) P為直線x

14、=1上一動(dòng)點(diǎn)，連接 PA, PC,當(dāng)PA=PC時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3) M為拋物線12上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) M作直線MN /y軸，交拋物線11于點(diǎn)N,求點(diǎn)M自點(diǎn)A 運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)E的過(guò)程中，線段 MN長(zhǎng)度的最大值.圖13. (2020?山東日照，第22題14分)如圖，拋物線 y=x2+mx+n與直線y=-,x+3交于A, B兩點(diǎn)，交x軸與D, C兩點(diǎn)，連接AC, BC,已知A (0, 3), C (3, 0).(I )求拋物線的解析式和 tan / BAC的值;(n )在(I )條件下:(1) P為y軸右側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接 PA,過(guò)點(diǎn)P作PQLPA交y軸于點(diǎn)Q,問(wèn)：是否存在點(diǎn)P使得以A, P, Q為頂

15、點(diǎn)的三角形與 4ACB相似？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.(2)設(shè)E為線段AC上一點(diǎn)(不含端點(diǎn))，連接DE, 一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā)，沿線段 DE以每秒一個(gè)單位速度運(yùn)動(dòng)到 E點(diǎn)，再沿線段 EA以每秒 a個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到 A后停止，當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn) M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中用時(shí)最少?4. (2020?山東聊城，第25題12分)如圖，在直角坐標(biāo)系中，RtOAB的直角頂點(diǎn)A在x軸上， OA=4, AB=3.動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度，沿 AO向終點(diǎn)O移動(dòng)；同 時(shí)點(diǎn)N從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1.25個(gè)單位長(zhǎng)度的速度，沿 OB向終點(diǎn)B移動(dòng).當(dāng)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng) 了 x秒(

16、0VXV4)時(shí)，解答下列問(wèn)題：(1)求點(diǎn)N的坐標(biāo)(用含x的代數(shù)式表示)；(2)設(shè)4OMN的面積是S,求S與x之間的函數(shù)表達(dá)式；當(dāng) x為何值時(shí)，S有最大值？最大 值是多少？(3)在兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻，使 4OMN是直角三角形？若存在，求出 x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.5. (2020?萊蕪，第24題12分)如圖，過(guò)A (1, 0)、B (3, 0)彳x軸的垂線，分別交直線 y=4 - x于C、D兩點(diǎn).拋物線 y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)0、C、D三點(diǎn).(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)M為直線0D上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò) M作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn) N,問(wèn)是否存在這樣 的點(diǎn)M,使得以A、C

17、、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求此時(shí)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)若4AOC沿CD方向平移(點(diǎn)C在線段CD上，且不與點(diǎn)D重合)，在平移的過(guò)程中4AOC 與OBD重疊部分的面積記為 S,試求S的最大值.四、中考真題演練1. （2020 南疆）如圖，Rt ABC 中，/ACB=90° , / ABC=60° , BC=2cm , D 為 BC 的中點(diǎn)， 若動(dòng)點(diǎn)E以1cm/s的速度從A點(diǎn)出發(fā)，沿著 ZB-A的方向運(yùn)動(dòng)，設(shè) E點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t 秒（0WK6）,連接DE,當(dāng) BDE是直角三角形時(shí)，t的值為（）A. 2B. 2.5 或 3.5C. 3.5 或

18、4.5D. 2 或 3.5 或 4.52. （2020汝徽）圖1所示矩形ABCD中，BC=x , CD=y , y與x滿(mǎn)足的反比例函數(shù)關(guān)系如圖2所示，等腰直角三角形 AEF的斜邊EF過(guò)C點(diǎn)，M為EF的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng) x=3 時(shí)，ECvEMB.當(dāng) y=9 時(shí)，EOEMC.當(dāng)x增大時(shí)，EC?CF的值增大D .當(dāng)y增大時(shí)，BE?DF的值不變143. （2020碗錦）如圖，將邊長(zhǎng)為 4的正方形 ABCD的一邊BC與直角邊分別是 2和4的Rt GEF的一邊GF重合.正方形 ABCD以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿 GE向右勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)A和點(diǎn)E重合時(shí)正方形停止運(yùn)動(dòng).設(shè)正方形的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，正方形ABCD與RtGEF重疊部分面積為s,則s關(guān)于t的函數(shù)圖象為（）0 12 3 45 6?B. oTTTTsfi? C . 0125456? D. 0 1 2 3 4 5 S?4. （2020洸巖）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A （0, 2）,