閉環(huán)實負(fù)零點對二階系統(tǒng)的影響(共9頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上閉環(huán)實負(fù)零點對二階系統(tǒng)的影響作者 jiangteng 班級 09電本2班 學(xué)號摘 要：本文采用拉普拉斯變換的方法，首先研究了二階系統(tǒng)在單位階躍輸入下的響應(yīng)，并對二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)及其動態(tài)性能指標(biāo)進(jìn)行了詳細(xì)的討論。然后重點研究了閉環(huán)零點對二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)及其在單位階躍響應(yīng)的動態(tài)性能指標(biāo)的影響，并得出了相應(yīng)的結(jié)論。 關(guān)鍵字：閉環(huán)零點 二階系統(tǒng) 欠阻尼0 引言由二階微分方程描述的系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng)。二階系統(tǒng)形式簡單而且應(yīng)用廣泛，同時，高階系統(tǒng)的研究也往往通過選取主導(dǎo)極點將系統(tǒng)簡單化為二階系統(tǒng)。二階系統(tǒng)有兩種結(jié)構(gòu)形式，一種是無零點二階系統(tǒng)，一種是有零點二階系統(tǒng)。對二階系統(tǒng)的研

2、究，主要是研究單位階躍響應(yīng)和動態(tài)性能指標(biāo)。在阻尼比時，系統(tǒng)不能正常工作，而在時，系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)進(jìn)行的又太慢。所以，對二階系統(tǒng)來說，欠阻尼情況下（）時是最有實際意義的。下面將討論這種情況下兩種結(jié)構(gòu)形式的二階系統(tǒng)。1. 典型二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和狀態(tài)方程1.1 二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式開環(huán)傳遞函數(shù)：閉環(huán)循環(huán)傳遞函數(shù)：二階系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)形式的結(jié)構(gòu)圖如下圖1-1所示： 圖 1-1 二階系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)形式的結(jié)構(gòu)圖1.2 二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)及其動態(tài)響應(yīng)假設(shè)初始條件為零，當(dāng)輸入量為單位階躍函數(shù)時，輸出量的拉氏變換為 系統(tǒng)的特征方程為由上式可解除特征方程式的根，這些根與阻尼比有關(guān)。這里只討論欠阻尼的情況。當(dāng)0<&

3、lt;1時，特征方程式的根為 由于0<<1，故及為一對共軛復(fù)根，如圖1-2所示。 圖 1-2 0<<1時根的分布將式分解為部分分式，并求出各待定系數(shù)： 查拉氏變換表得輸出量為 t0 式中：阻尼振蕩角頻率，或振蕩角頻率； 阻尼角。典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如下圖：圖 1-3 單位階躍響應(yīng)1.3 二階系統(tǒng)動態(tài)性能指標(biāo)1.3.1 上升時間在動態(tài)過程中，系統(tǒng)的輸出第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的時間稱為上升時間。根據(jù)這一定義，在中，令時，得 但是，在期間，也就是沒有達(dá)到最后的穩(wěn)定以前，所以為滿足式只能使。由此得 由上式可以看出和對上升時間的影響。當(dāng)一定時，阻尼比越大，則上升時間越長；當(dāng)一

4、定時，越大，則上升時間越短。1.3.2 最大超調(diào)量%最大超調(diào)量發(fā)生在第一個周期中時刻。根據(jù)求極值的方法，由式，可求出 得 因此 即 因為在n=1時出現(xiàn)最大超調(diào)量，所以有。峰值時間為 將代入式，整理得到最大值為 因為 所以 根據(jù)超調(diào)量的定義 在單位階躍輸入下，穩(wěn)態(tài)值，因此得最大超調(diào)量為 1.3.3 調(diào)節(jié)時間調(diào)節(jié)時間是與穩(wěn)態(tài)值之間的偏差量達(dá)到允許范圍（一般取穩(wěn)態(tài)值的%）而不再超出的穩(wěn)態(tài)過程時間。在動態(tài)過程中的偏差量為 當(dāng)x=0.05或0.02時得 （或0.02）由上式可以看出，在0時刻范圍內(nèi)，滿足上述條件的值有多個，其中最大的值就是調(diào)節(jié)時間。由于正弦函數(shù)的存在，值與阻尼比間的函數(shù)關(guān)系是不連續(xù)的。為

5、簡單起見，可以采用近似的計算方法，忽略正弦函數(shù)的影響，認(rèn)為指數(shù)項衰減到0.05或0.02時，過渡過程即進(jìn)行完畢。這樣得到 由此求得調(diào)節(jié)時間為 ，0<<0.9 ，0<<0.9 2 具有閉環(huán)負(fù)實零點的二階系統(tǒng)的動態(tài)性能的影響2.1 具有零點的二階系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)形式及其結(jié)構(gòu)圖具有零點的二階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 式中：時間常數(shù) 令=z，則上式可寫為如下標(biāo)準(zhǔn)形式： 式所示系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為具有零點-z 的二階系統(tǒng),其結(jié)構(gòu)圖如下所示 圖 2-1 具有零點的二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖將式進(jìn)行分解，得， 0<<12.2 具有零點的二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)設(shè)，取初始條件為零，則Xc1(s)和X

6、c(s)的拉氏反變換為 求出式中兩項，然后相加即得輸出量。由式得 于是得 將上兩式代入式得 式中，為極點與零點間的距離，可由系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的零點和極點在復(fù)平面上的位置確定。由圖 2-2 知 圖 2-2 零點極點在s平面上的分布故式子可以寫成：式子中：令，由圖可知r代表閉環(huán)傳遞函數(shù)的復(fù)數(shù)極點的實部與零點實部之比，則上式中的可以簡寫為因此式子可以寫為：由此計算得到了典型的具有零點的二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)的公式。2.3 具有零點的二階系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)根據(jù)上升時間，峰值時間，最大超調(diào)量%，調(diào)節(jié)時間的定義，由式分別求得二階系統(tǒng)具有閉環(huán)實零極點時的欠阻尼單位階躍響應(yīng)的各項指標(biāo)。2.3.1 上升時間 由

7、上式可以看出上升時間受到，的影響，當(dāng)，一定的時候，上升時間只與有關(guān)，而的大小由z的大小決定，z增大減小。所以可得如下結(jié)論：閉環(huán)零點的增加，使上升時間減小。當(dāng)z增大時，即零點越來越遠(yuǎn)離虛軸，減小，所以增大。零點越靠近虛軸，對上升時間影響越大；當(dāng)零點距離虛軸很遠(yuǎn)時，零點的影響可以忽略，這時系統(tǒng)可以用典型二階系統(tǒng)來代替。2.3.2 峰值時間 同理可得：閉環(huán)零點的增加，使峰值時間減小。當(dāng)z增大時，即零點越來越遠(yuǎn)離虛軸，減小，所以增大。零點越靠近虛軸，對峰值時間影響越大；當(dāng)零點距離虛軸很遠(yuǎn)時，零點的影響可以忽略，這時系統(tǒng)可以用典型二階系統(tǒng)來代替。2.3.3 最大超調(diào)量% %=由上式可以看出最大超調(diào)量%受

8、到r，的影響，當(dāng)，一定的時候，最大超調(diào)量%與r，有關(guān)。r值反映了復(fù)數(shù)平面上零點與復(fù)數(shù)極點的相對位置。而的大小由z的大小決定，z增大減小，r減小。所以可得如下結(jié)論：閉環(huán)零點的增加，使最大超調(diào)量%增大，振蕩性增強(qiáng)。如果z值越小，即零點越靠近虛軸，則r值越大，振蕩性越強(qiáng)。反之，z值越大，則r值越小，振蕩性相對減弱。當(dāng)零點距離虛軸很遠(yuǎn)時，零點的影響可以忽略，這時系統(tǒng)可以用典型二階系統(tǒng)來代替。2.3.4 調(diào)節(jié)時間 = （= = （= 由上式可以看出，零點的加入使調(diào)節(jié)時間可能增大，可能減小，也可能不變。如果z值越小，即零點越靠近虛軸，調(diào)節(jié)時間增大。當(dāng)零點距離虛軸很遠(yuǎn)時，零點的影響可以忽略，這時系統(tǒng)可以用典

9、型二階系統(tǒng)來代替。 為了定量說明附加零點對二階系統(tǒng)性能的影響，引入?yún)?shù)。用參數(shù)表示附加零點與二階系統(tǒng)復(fù)數(shù)極點實部之比，即 并在同一值下繪出不同值時和的關(guān)系曲線，圖 2-3 為=0.25的情況。圖 2-3 具有零點的二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線綜上所述，可以得出如下結(jié)論：當(dāng)其他條件不變時，附加一個閉環(huán)負(fù)實零點，將使二階系統(tǒng)的超調(diào)量增大，上升時間和峰值時間減小。、附加零點越靠近虛軸，上述影響越明顯。當(dāng)零點距離虛軸很遠(yuǎn)時，零點的影響可以忽略，這時系統(tǒng)可以用典型二階系統(tǒng)來代替。3 結(jié)束語本文圍繞著閉環(huán)負(fù)實零點對二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)、各種性能指標(biāo)的影響，進(jìn)行了深入的討論分析。其理論計算公式全面準(zhǔn)確。對于學(xué)習(xí)研究二階系統(tǒng)有較高的參考和應(yīng)用價值。 特別是二階系統(tǒng)的超調(diào)量及振蕩性的論述，對深入討論二階系統(tǒng)有重要的意義。 參考文獻(xiàn)1 王建輝., 顧樹生自動控制原理 M.北京:清華大學(xué)出版社20072 張德豐