立體幾何中與球有關(guān)的“內(nèi)切”與“外接”問題的研究

1、立體幾何中與球有關(guān)的“內(nèi)切”與“外接”問題的研究縱觀近幾年高考對于組合體的考查，重點放在與球相關(guān)的外接與內(nèi)切問題上.要求學(xué)生有較強(qiáng)的空間想象能力和準(zhǔn)確的計算能力，才能順利解答.從實際教學(xué)來看，這部分知識是學(xué)生掌握最為模糊，看到就頭疼的題目.分析原因，除了這類題目的入手確實不易之外，主要是學(xué)生沒有形成解題的模式和套路，以至于遇 到類似的題目便產(chǎn)生畏懼心理 .本文就高中階段出現(xiàn)這類問題加以類型的總結(jié)和方法的探討1球與柱體規(guī)則的柱體，如正方體、長方體、正棱柱等能夠和球進(jìn)行充分的組合，以外接和內(nèi)切兩種形態(tài)進(jìn)行結(jié) 合，通過球的半徑和棱柱的棱產(chǎn)生聯(lián)系，然后考查幾何體的體積或者表面積等相關(guān)問題1.1 球與正

2、方體如圖1所不，正方體h9cLi,設(shè)正方體的棱長為& *日凡仃為彼的中點，。為球的球心.常見組合方式有三夷；一是球為正方坤的內(nèi)切球,截面圖為正方形WFGH和其內(nèi)切圓,則|97| = r = ：二是與正方體各棱相切的球，威面圖為正方形5 5和其夕襁圓，則|g| 二 R=立口：三是球為正方體的外接球，裁面圖為 112長方形AC4G和其外接圓，則二* 二 帶，通過這三種類型可以發(fā)現(xiàn)，解決正方體與球的組合問題，常用工具是截面圖，即根據(jù)組合的形式找到兩個幾何體的軸截面，通 過兩個截面圖的位置關(guān)系，確定好正方體的棱與球的半徑的關(guān)系，進(jìn)而將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題例1 棱長為1的正方體ABCD A1B

3、1clD1的8個頂點都在球。的表面上，E, F分別是棱AA1 , DD1的中點，則直線EF被王O截得的線段長為（）A. -B. 1C. 1 D. 2122解：由題意可知球為正方體的外接球.平面截面所得圓面的半徑我二 四二走即匚面44直愛所被球。截得的線段為球的截面圓的直徑2點二點.22長方體各頂點可在一個球面上，故長方體存在外切球.但是不一定存在內(nèi)切球.設(shè)長方體的棱長為a,b,c,其體對角線為l .當(dāng)球為長方體的外接球時，截面圖為長方體的對角面和其外接圓，和正方體的外接-2卜2 2球的道理是一樣的，故球的半徑r L 二abL221的球，任意擺動此長方體，則球經(jīng)過的空間例2在長、寬、高分別為 2

4、, 2, 4的長方體內(nèi)有一個半徑為部分的體積為（）A.105B.4 7t3八8兀 C.V34爐二2酎十3、剛正四棱柱的側(cè)面積：修，禾運動的觀點分析在小球移動的過程中，進(jìn)過部分的幾何體,因半徑為1的小球恰好為棱長為2的正萬件的內(nèi)切球，故小球經(jīng)過空間由上往下看為：半個小球、高為2的雌和半個小球，三部分的體積為：47r J 12_ 10xl31x2=一芟.3231.3 球與正棱柱球與一般的正棱柱的組合體，常以接形態(tài)居多.下面以正三棱柱 為例，介紹本美題目的解法構(gòu)造直角三角形法.設(shè)正三棱柱 加C7-A約4的高為瓦底面邊長為出，如圖2所示，口和馬分別為 上下底面的中心,中魏幾何體的特點，球心心落在高0馬

5、的中點。， C© = C,月。=艮金門且互借助直角三角形白。0的勾股定理，可23求K=十（日山，例3正四棱柱 ABCD AiBiCiDi的各頂點都在半徑為 R的球面上，則正四棱柱的側(cè)面積有最 值,為 .解；如圖3,截面圖為長方形達(dá)C&G和其外接圖,球心為£耳的中點。， 叫尺=3.設(shè)正四梗柱的側(cè)犢長為方，底面邊長為則二缶二理SQE二士，咫二（走心七片2222§ 二 匕=e 2小星玉道（J十2戶）二4&爐,故四I面積有最大值，為4及M 當(dāng)且僅當(dāng)白二曲時等號成立.2球與錐體規(guī)則的錐體，如正四面體、正棱錐、特殊的一些棱錐等能夠和球進(jìn)行充分的組合，以外接和內(nèi)

6、切兩種形態(tài)進(jìn)行結(jié)合，通過球的半徑和棱錐的棱和高產(chǎn)生聯(lián)系，然后考查幾何體的體積或者表面積等相關(guān)問題.2.1球與正四面體正四面陣作為一個規(guī)則的幾何體，它既存在外接球，也存在內(nèi)切球，并且兩心合一，利用這點可順利解決球的半徑與正四面年的棱長的關(guān)系如圖心設(shè)正四面體3-WSC的植長為口，內(nèi)切球半徑/ ； 為、外接球的半徑為五，取月B的中點對力，互為S在底面的射/ / A-沁.二聲二不不建就 連接2SQ毋為正四面體的高.在截面三焦形QC作T 缸、/、后/人才與邊SD和LC相切,圓心在高陽上的圓,即為內(nèi)切球的截面,因為火、正四面棒本身的對稱ft可知，外接球和內(nèi)切球的球心同為。.此時，囪1圖| 43=。

7、3;= RQH=r ££ =導(dǎo)二總二號鬼 則 有R r J2a, R2 r2 CE2二2，解得：R a,r 近a.這個解法是通過利用兩心合一的思路，建 V33412立含有兩個球的半徑的等量關(guān)系進(jìn)行求解.同時我們可以發(fā)現(xiàn)，球心。為正四面體高的四等分點.如果我們牢記這些數(shù)量關(guān)系，可為解題帶來極大的方便例4將半徑都為1的四個鋼球完全裝入形狀為正四面體的容器里，這個正四面體的高的最小值為 （）.3 2 .62 62 64 3 2 63. + 3. + 3.3解;"容器四面體”中的這四個小球，以四個小球為球心為頂點構(gòu)成了一個犢長為2的偏球心正四面體'*這個四面體的高

8、是父單位正四面體R高（或）的z借即為41.七球心正匹面體”的底面到“容器正四 面體”的地面為小球半徑L而打球心正四面體”頂點至1| .容器正四面體用的頂點的距離為3 （小球半徑的3倍），干是“容器正四面體"的高為叱+3+1選擇CJ這個.小球半程的3倍用是這樣想的；做一個小 3球的外切正四面體，這個小球球心與外切正四面體的中心重合，而正四面體的中心到頂點的距離是中心到地面距離的3倍.2.2 球與三條側(cè)棱互相垂直的三棱錐球與三條側(cè)棱互相垂直的三棱錐組合問題，主要是體現(xiàn)在球為三棱錐的外接球 法，即把三棱鍍補(bǔ)形成正萬年或?qū)ｉL方體,常見兩種形式 一是三棱轅的三條側(cè)?；ハ啻怪辈⑶蚁嗟龋瑒t可以補(bǔ)股

9、為一個正方張，它的 外接球的球心就是三棱錐的外接球的球心,如圖5,三棱鍍司-達(dá)司馬的外 接球的球心和正方體ABCD - 4瓦G4的外接球的球心重合.設(shè)44產(chǎn)- 期我二立.二是如果三棱哇的三條側(cè)?；ハ啻怪辈⑶也幌嗟?則可以補(bǔ)形2為一個長方體，它的外接球的球心就是三棱錐的外接球的球? 二 2 工心.L為長方體的體對焦線長）.44例5在正三棱錐S ABC中，M、N分別是棱SG BC的中點，且AM.解決的基本方法是補(bǔ)形MN，若側(cè)棱SA 2, 3則正三棱轅S-A5O夕曲球的表面積是.解：加圖6,正三棱錐對棱相互垂百，m AC ±S8, XIl wMN LAC.又迎 1AM,:.加 _L 平面W

10、CT于是陽，平面&4cL. SB_L&a.SB_LS，從而 &4_L£C.此時正三棱鍵S-ABC的三條側(cè)接互相垂直升且相等，故將 正三錯錐補(bǔ)形為正方體,球的半徑汽=近期衣3-8=4不&；=36兀22.3 球與正棱錐是球為三棱錐的外接球，此時三棱錐的各個頂點在球面上，根球與正棱錐的組合，常見的有兩類，據(jù)截面圖的特點，可以構(gòu)造直角三角形進(jìn)行求解.二是球為正棱錐的內(nèi)切球，例如正三棱錐的內(nèi)切球，球與正三棱錐四個面相切，球心到四個面的距離相等，都為球半徑R .這樣求球的半徑可轉(zhuǎn)化為球球心到三棱錐面的距離，故可采用等體積法解決，即四個小三棱錐的體積和為正三棱錐的體

11、積 例6在三麴隹P ABC中，PA=PB=PC= J3,側(cè)棱PA與底面ABC所成的角為60° ,則該三棱錐外接球的體積為（）4A . B. C. 4 D.解,如圖7所示，過戶點.作底面3c的垂境，垂是為設(shè)區(qū)為外接球的球心，連接月用*。,因ZPAO = 60PA = 故上。=立2產(chǎn)。=工又兒¥。為_用三角形，12963二產(chǎn)出二八二 AH2 = AO1 +0吟4 彳 4r = I./. fz = -7TXl3 = -332.4球與若跺的揍集球馬一些特殊的棱錐進(jìn)行組合，一定要抓住接錐的幾何性質(zhì)，可綜合 利用截面法、補(bǔ)形法等進(jìn)行求解.例如，四個面,誕直角三角形用三棱錐, 可利用直角

12、三角形斜邊中點幾何特征，巧定球心位置如圖8,三犢錐 SA5C謫足£4 _L瓦西。忿_L 5。取SC的中點為。,由直角三角形的性質(zhì)可得;GA= 0S=。5 =式.所以。點為三棱錐S月5c的外SC接球的球心，則R SC2B AC D,則四面體例7矩形ABCD中，AB 4, BC 3,沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角ABCD的外接球的體積是（）125A./b.您C./d.解：由題意分析可知，四面體如CO的外接球的球心落在衛(wèi)C的中點，此時滿足。4 = 0。=。刁=0。,TH/ J*必=3125兀6半：r.2a .43球與球?qū)€多個小球結(jié)合在一起，組合成復(fù)雜的幾何體問題，要求有豐富的空間想

13、象能力，解決本類問題需 掌握恰當(dāng)?shù)奶幚硎侄?，如?zhǔn)確確定各個小球的球心的位置關(guān)系，或者巧借截面圖等方法，將空間問題轉(zhuǎn)化 平面問題求解例7在半徑為R的球內(nèi)放人大小相等的4個小球，則小球半役r的最大值為（）C.占？口裊43解.要使得小球的聿徑最大，需便得4個小球的球心為一個正四面體的四個頂點，如圖g所示，此時正匹面體/-£UD的外接球的球心為0,即為半徑為R的球的球心，則上。九又因（9為金的四分煮，故 4二（我-r）百，在 RtLABQ 中 ,的=2F那q =羨衣一/一產(chǎn)）乂芻* =（匕尸一（1百尸尸333圖 9二"祓-2）及4球與幾何體的各條棱相切球與幾何體的各條棱相切問題，關(guān)

14、鍵要抓住棱與球相切的幾何性質(zhì)，達(dá)到明確球心的位置為目的，然后通過構(gòu)造直角三角形進(jìn)行轉(zhuǎn)換和求解.如與正四面體各棱都相切的球的半徑為相對棱的一例8把一個皮球放入如圖 10所示的由8根長均為20 cm的鐵絲接成的四棱錐形骨架內(nèi)，使皮球的表面與8根鐵絲都有接觸點.則皮球的半徑為A. lOctnU 10-72*31B. 10-cin!>. 3口汕圖10解：如圖”所示,由題意球心在初上？球心為a逅。作印的垂線0N垂足為N, ON=F, OJ1=R1醫(yī)為各個棱都為20,所以AM=W, HF=20/M=l AB= 1D0,設(shè)Z5F/二由在上A BPM中.BP=BM2+PM t所UA尸好二10君.在跳A P4 中，PM2 = AM2十且產(chǎn),所以-2后五小 531久逝丑 E圖"ON R 工PA 1 0 J上.在 R1L. ABP 中 j £1/出=-,在 ONP 中 Sill & -= 所以BP 202OP 。尸D 萬一 =-+所以。?=0乩在&必0阿卬，。暇口 =。*+總現(xiàn)：所以，R* = （1D0-曲+100,解得 R = 10或3。（舍），所以，2?