居民消費價格指數(shù)的時間序列分析

1、居民消費價格指數(shù)的時間序列分析摘要： 時間序列分析是一種根據(jù)動態(tài)數(shù)據(jù)揭示系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)和規(guī)律的統(tǒng) 計方法。本文以我國 2007年1月至 2011年4月居民消費價格指數(shù)為 研究對象，基于居民消費價格指數(shù)存在明顯的非平穩(wěn)性和季節(jié)性特征， 運用自回歸移動平均季節(jié)模型進(jìn)行建模分析， 并利用SPSS建立了居民 消費價格指數(shù)時間序列的相關(guān)關(guān)系模型，并對其進(jìn)行預(yù)測，取得較好 的效果。關(guān)鍵詞：居民消費價格指數(shù) SPSS軟件 時間序列分析 預(yù)測一、引言（一）問題的基本情況及背景居民消費價格指數(shù)的調(diào)查范圍和內(nèi)容是居民用于日常生活消費品 的全部商品和服務(wù)項目價格。包括食品、煙酒及用品、衣著、家庭設(shè) 備用品及維修服務(wù)、

2、和個人用品、交通和通訊、娛樂教育文化用品及 服務(wù)、居住等八大類商品及服務(wù)項目價格。 既包括居民從商店、 工廠、 集市所購買的價格，也包括從購買的價格。該指數(shù)以實際調(diào)查的綜合 平均單價和根據(jù)住戶調(diào)查有關(guān)資料確定的權(quán)數(shù)，按加權(quán)算術(shù)平均公式 計算 。全國居民消費價格指數(shù)是反映居民家庭購買生活消費品和支出服 務(wù)項目費用價格變動趨勢和程度的相對數(shù)。其目的在于觀察居民生活 消費品及服務(wù)項目價格的變動對城鄉(xiāng)居民生活的影響，為各級黨政領(lǐng) 導(dǎo)掌握居民消費狀況，研究和制定居民消費價格政策、工資政策以及 為新國民經(jīng)濟核算體系中有消除價格變動因素的不變價格核算提供科 學(xué)依據(jù)。居民消費價格指數(shù)還是反映通貨膨脹的重要指標(biāo)

3、。當(dāng)居民消 費價格指數(shù)上升時，表明通貨膨脹率上升，消費者的生活成本提高， 貨幣的購買能力減弱；相反，當(dāng)居民消費價格指數(shù)下降時，表明通貨 膨脹率下降，亦即消費者的生活成本降低，貨幣的購買能力增強。居民消費價格指數(shù)的高低直接影響居民的生活水平，因此，準(zhǔn)確 的分析并及時的對居民消費價格指數(shù)做出合理的預(yù)測，對國家制定相 應(yīng)的經(jīng)濟政策，實行宏觀調(diào)控，穩(wěn)定物價，保證經(jīng)濟的增長平穩(wěn)發(fā)展 具有重要意義。（二）問題的提出時間序列是指同一種現(xiàn)象在不同時間上的相繼觀察值排列而成的 一組數(shù)字序列。時間序列預(yù)測方法的基本思想是：預(yù)測一個現(xiàn)象的未 來變化時，用該現(xiàn)象的過去行為來預(yù)測未來。即通過時間序列的歷史 數(shù)據(jù)揭示現(xiàn)象

4、隨時間變化的規(guī)律，將這種規(guī)律延伸到未來，從而對該 現(xiàn)象的未來做出預(yù)測。對此希望建立相關(guān)居民消費價格指數(shù)的數(shù)學(xué)模 型并預(yù)測居民消費價格指數(shù)的走勢。（三）問題分析居民消費價格指數(shù)是一個滯后性的數(shù)據(jù)，根據(jù)居民消費價格指數(shù) 的這一特點，我們可以運用時間序列分析的方法對居民消費價格指數(shù) 進(jìn)行擬合，從而對未來的居民消費價格指數(shù)走勢做出合理的預(yù)測。二、模型的介紹及說明(一)時間序列模型的介紹 時間序列是按時間順序取得的一系列數(shù)據(jù)，時間序列分析方法有很多，本文主要討論ARM模型即自回歸移動平均模型的方法。ARM模型是一類常用的隨機時序模型，由博克斯(Box)、詹金斯(Jenkins)創(chuàng) 立，簡稱B J方法。在

5、B J方法中，只有平穩(wěn)的時間序列才能直接建 立ARM模型，這就要求時間序列滿足假設(shè)條件：(1) 對任意時間 t ，其均值恒為常數(shù)；(2) 對任意時間t和s,其自相關(guān)系數(shù)只與時間間隔t-s有關(guān)，而與t 和 s 的起始點無關(guān)。這樣時間序列的統(tǒng)計特征不隨時間推移而變化,稱為平穩(wěn)時間序列。時間序列建?；静襟E是：(1) 用觀測、調(diào)查、統(tǒng)計、抽樣等方法取得被觀測系統(tǒng)時間序 列動態(tài)數(shù)據(jù)。(2) 根據(jù)動態(tài)數(shù)據(jù)作相關(guān)圖,進(jìn)行相關(guān)分析,求自相關(guān)函數(shù)。 相關(guān)圖能顯示出變化的趨勢和周期。(3) 辨識合適的隨機模型 , 進(jìn)行曲線擬合 , 即用通用隨機模型去 擬合時間序列的觀測數(shù)據(jù)。對于短的或簡單的時間序列, 可用趨勢

6、模型和季節(jié)模型加上誤差來進(jìn)行擬合。對于平穩(wěn)時間序列，可用通用ARIMA模型(自回歸滑動平均模型) 及其特殊情況的自回歸模型、 滑動平均模型或組合 -ARIMA模型等來進(jìn)行擬合。當(dāng)觀測值多于50個時一般都采用ARIMA模型。對于非平穩(wěn)時間序列則要先將觀測到的時間序列進(jìn)行差分運 算，化為平穩(wěn)時間序列，再用適當(dāng)模型去擬合這個差分序列。通常情況下，自回歸移動平均模型的建模過程分為以下幾個步驟：(1) 對原序列進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗， 若非平穩(wěn)序列則通過差分消除趨勢；(2) 判斷序列是否具有季節(jié)性， 若有季節(jié)波動， 則通過季節(jié)差分消 除季節(jié)性；(3) 進(jìn)行模型識別；(4) 進(jìn)行模型定階；(5) 對模型的參數(shù)進(jìn)行

7、估計；(6) 對模型的適合性進(jìn)行檢驗，即對殘差序列進(jìn)行白噪聲檢驗。P階自回歸序列記作AR(p)，形如Xt = © iX-i+?+ 0 pX；_p, ©稱為自回歸系數(shù),是模型的待估參數(shù)。q階移動平均序列記作MA(q)，形如Xt = at - 0 iat -1-? - 0 qaq ,B為移動平均系數(shù)，是模型的待估參 數(shù)。建立平穩(wěn)時間序列的ARMA(p,q)模型，其具體形式如下：Xt - © 1Xt- 1-? - © pXt- p = at - 0 1at- 1-? - 0 qat- q 其中：©與0為模型的待估參數(shù)。求和自回歸移動平均模型( aut

8、oregressive integrated moving average model)簡稱ARIMA(p,d,q )模型，其中 AR(p)為自回歸模 型，MA(q)為滑動平均模型，p、q為各自對應(yīng)階數(shù)，I表示兩種模型 結(jié)合， d 為對含有長期趨勢、季節(jié)變動、循環(huán)變動的非平穩(wěn)時間序列 進(jìn)行差分處理的次數(shù)。ARIMA模型的通式如下：式中，d 1 B d， B 1 !B L pBp，為平穩(wěn)可逆 ARMAp,q) 模型的自回歸系數(shù)多項式；B 1 !B L qBq，為移動平滑系數(shù)多項式，?J為零均值白噪聲序列10。ARIMA模型的實質(zhì)就是差分運算與 ARMA模型的組合，任何非平穩(wěn)序列只要通過適當(dāng)階數(shù)差

9、分實現(xiàn)差分后 平穩(wěn)，就可以對差分后序列進(jìn)行 ARMAI型擬合。( 二 ) 模型的說明時間序列分析主要用于： 系統(tǒng)描述。 根據(jù)對系統(tǒng)進(jìn)行觀測得到的時間序列數(shù)據(jù)， 用曲 線擬合方法對系統(tǒng)進(jìn)行客觀的描述。 系統(tǒng)分析。 當(dāng)觀測值取自兩個以上變量時， 可用一個時間序 列中的變化去說明另一個時間序列中的變化， 從而深入了解給定時 間序列產(chǎn)生的機理。 預(yù)測未來。一般用 ARMA模型擬合時間序列，預(yù)測該時間序 列未來值。 決策和控制。 根據(jù)時間序列模型可調(diào)整輸入變量使系統(tǒng)發(fā)展 過程保持在目標(biāo)值上， 即預(yù)測到過程要偏離目標(biāo)時便可進(jìn)行必要的 控制。擬合好的模型對短期預(yù)測有比較好的預(yù)測效果，但隨著時間的延 長，它呈

10、現(xiàn)出較差的預(yù)測效果。三、我國居民消費價格指數(shù)的時間序列模型擬合（一）數(shù)據(jù)的選取及說明本文選取的數(shù)據(jù)主要來源于國家統(tǒng)計局網(wǎng)站，數(shù)據(jù)已經(jīng)進(jìn)行中心 化處理，并在原數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上減100以簡化計算。（二）時間序列模型1. 數(shù)據(jù)的錄入我國2007年1月至2011年4月居民消費價格指數(shù)月度數(shù)據(jù)表1我國居民消費價格指數(shù)月度數(shù)據(jù)月份消費者物價指數(shù)月份消費者物價指數(shù)2007012009032007022009042007032009052007042009062007052009072007062009082007072009092007082009102007092009112007102009122007112

11、010012007122010022008012010032008022010042008032010052008042010062008052010072008062010082008072010092008082010102008092010112008102010122008112011012008122011022009012011032009022011042. 時間序列數(shù)據(jù)圖及平穩(wěn)性檢驗圖1居民消費價格指數(shù)序列圖用SPSS軟件做出數(shù)據(jù)序列圖（圖1）并對序列的平穩(wěn)性進(jìn)行游程 檢驗。在表2中，概率的P值為，如果顯著性水平為，由于概率 P值 小于顯著性水平，因此拒絕零假設(shè)，即認(rèn)為序列非隨

12、機。其檢驗的SPSS 輸出結(jié)果如下：表2時間序列數(shù)據(jù)是否平穩(wěn)的游程檢驗結(jié)果Runs Test居民物價指數(shù)Test Value aCases < Test Value26Cases >= Test Value26Total Cases52Number of Runs4ZAsymp. Sig. (2-tailed).0003. 時間序列的預(yù)處理為消除序列的趨勢同時減少序列的波動，可以對原有時間序列做二階逐期差分，并繪制差分后的時序圖（見圖2）。可以看出經(jīng)過差分處 理后的序列趨勢基本上消除。為了更好地描述月度數(shù)據(jù)時間序列并進(jìn) 行模擬，需對該序列再進(jìn)行季節(jié)差分，進(jìn)一步消除季節(jié)性（見圖3）。

13、圖2居民消費價格指數(shù)二階差分后時序圖圖3居民消費價格指數(shù)一階差分和一階季節(jié)差分后時序圖在表3中，概率的P值為，如果顯著性水平為，由于概率P值大于顯 著性水平，因此接受零假設(shè)，即認(rèn)為序列隨機。表3 一階差分和一階季節(jié)差分后數(shù)據(jù)自相關(guān)與偏自相關(guān)函數(shù)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計Runs TestDIFF（居民物價指數(shù),1）SDIFF（居民物價指數(shù)_1,1,12）Test Value a.20.00Cases < Test Value2519Cases >= Test Value2620Total Cases5139Number of Runs2620Z.000Asymp. Sig. （2-tailed）

14、I .890a. Media n4. 模型的建立經(jīng)過一階差分和一階季節(jié)差分后數(shù)據(jù)已經(jīng)平穩(wěn)化，下面對平穩(wěn)后 的數(shù)據(jù)進(jìn)行平穩(wěn)時間序列的ARMA（p,q）模型的擬合。（1）模型的識別畫自相關(guān)系數(shù)（圖4）和偏自相關(guān)系數(shù)（圖5）圖圖4居民物價指數(shù)自相關(guān)系數(shù)圖圖5居民物價指數(shù)偏自相關(guān)系數(shù)由圖4和圖5可以看出k序列與 kk序列皆不截尾，但都被負(fù)指數(shù)函數(shù)控制收斂到零，此時時間序列有可能為ARM序列。（2）模型定階及模型的參數(shù)估計通過SPS軟件中的結(jié)果對季節(jié)差分改進(jìn)后的時間序列模型ARIMA（p, d，q）（P，D, Q）12進(jìn)行擬合效果的比較，從而最終確定模型 的階數(shù)（見表4）。表4各模型參數(shù)估計及檢驗結(jié)果(

15、p,q)(3,2)(2,2)(2,1)(1,2)(1,1)(1,0)-BICRMSEMAPE根據(jù)表4中調(diào)整后的樣本決定系數(shù)，以及BIC準(zhǔn)則，考察模型的 整體擬合效果，力求簡潔、有效。表6時間序列模型的參數(shù)估計ARIMA Model ParametersEstimateSEt :Sig.居民物價居民NoARLag.370137.010指數(shù)-模物價Tran sformati on1型_1指數(shù)Differe nee1AR,Lag.122.000Seas onal1模型ARMA(1 0)的BIC值較小，且系數(shù)均通過檢驗(見圖6),所 以最終確定改進(jìn)后的ARIMA(1, 1, 0)(1，0，0)12模型

16、為時間序列X t的 最佳預(yù)測模型：12(1 - 0.37B(1+ 0.54B )(1 - B) = at(3) 模型的診斷和檢驗對模型進(jìn)行適應(yīng)性檢驗，SPSS輸出的模型適應(yīng)性檢驗的Ljung-Box結(jié)果如下(見表7)：表7時間序列模型的檢驗Model StatisticsModelNumber ofPredietoModel Fit statisticsLjung-Box Q(18)Number of OutlierR-squareRMSMAFNormalizStatistiDSigrsdEEed BICesF.sModel StatisticsModelNumber ofPredict。rs

17、Model Fit statisticsLju ng-Box Q(18)Number of Outlier sR-square dRMSEMAFENormaliz ed BICStatisti csDFSig居民物價 指數(shù)-模型_10.954.63816.0020P值表明ARIMA（1, 1, 0）（1 , 0, 0）12模型是合適的。殘差自相關(guān) 如圖6所示，殘差自相關(guān)檢驗也表明ARIMA（1, 1, 0）（1 , 0, 0）12模型 是適合的。其圖形輸出在下一頁：圖6時間序列模型的殘差自相關(guān)圖（4）模型的預(yù)測首先，將數(shù)據(jù)往期的擬合值與實際值對比（見圖 7），可以看到擬 合效果比較好。圖7居民

18、消費價格指數(shù)實際值與擬合值序列圖在建模時特將我國2011年5月至2011年10月的居民消費價格指數(shù) 的實際觀測值留出，作為預(yù)測精度的參照對象。利用建立的ARIMA（1,1，0）（1，0, 0）12模型對這6個月的CPI指數(shù)進(jìn)行預(yù)測，通過SPS軟件 可以直接得到數(shù)據(jù)的短期預(yù)測值，預(yù)測出我國 2011年5月至2011年10 月的居民消費價格指數(shù)與實際值基本吻合（見表8）。同時給出2011年11月和12月的CPI指數(shù)預(yù)測值（見表8）。表8模型的預(yù)測結(jié)果月份消費者物價指數(shù)實際值觀測值201105201106201107201108201109201110201111-201112-從表8可以看出，滯后

19、一期的預(yù)測效果較好，之后的2步、3步等等 預(yù)測得到的預(yù)測值效果不是太好。而當(dāng)?shù)搅?t+1的時候，滯后一期已經(jīng)成為已知，我們習(xí)慣上利用這一最新的信息，對預(yù)測值進(jìn)行修正，那 么能否原來的預(yù)測得到新的預(yù)測呢？下面就預(yù)測值的適時修正進(jìn)行討 論。五、預(yù)測值的適時修正對于預(yù)測模型(1- 0.37B)(1+ O.54B12)(1- B)Xt = at，即:Xt = 1.37X-1- 0.17X-12+ 0.74X-13+ 0.2X-14+ at首先由© 1、© 12、© 13和© 14可求出格林函數(shù)G0 = 1G = © 1G0 = 1.37G2 =

20、69; 1G = 1.877G12 = © iGl + © 12GG3 = © 1G2+ © 12G + © 13G0?對于一個ARM系統(tǒng)，我們有OOXt(l + 1)=刀 G + i+jat-jj=0OO?X + i(l)=刀 G+jat + i-jj=0因而有X?t+i(l ) = X?t(l + i) + Gl at+i其中 at+i = Xt+i - Xt(1)。當(dāng)我們已知觀測值 X05 = Y05 - Y? = 2.03，那么a05 = X05 - X?04(i) = 2.03- i.73 = 0.3Xo5(i) = Xo4(2) + Gao5= I.89+ 0.3 xi.37= 23Xo5(2) = Xq4(3) + Qa°5 = 1.72+ 0.3 X 1.877= 228將新預(yù)測值加上均值可得2011年6月和7月的新預(yù)測值為和，比 之前效果好了很多。由此對模型評價如下：預(yù)測時短期預(yù)測有比較好的預(yù)測效果，但 隨著時間的延長，它呈現(xiàn)出較差的預(yù)測效果。隨著時間的推進(jìn)，可以 根據(jù)觀測的實際值進(jìn)一步修正模型對 i0 月份以后的預(yù)測， 得到精確度 更高的預(yù)測值。預(yù)測值在不斷修正之后變得比較準(zhǔn)確。應(yīng)用時間