第十二章期權(quán)定價(jià)的數(shù)值方法

1、Financial Engineering 授課人：王正文 講 師 武漢大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院 郵箱： 在第十一章中，我們得到了期權(quán)價(jià)值所滿足的偏微分方程，并解出了特定條件下的期權(quán)解析定價(jià)公式。但在很多情形中，我們無(wú)法得到期權(quán)價(jià)值的解析解，這時(shí)人們經(jīng)常采用數(shù)值方法（Numerical Procedures）為期權(quán)定價(jià)，主要包括二叉樹(shù)方法（Binomial Trees）、蒙特卡羅模擬（Monte Carlo Simulation）和有限差分法（不講）。在這一章里，我們將介紹如何借助上述兩種數(shù)值方法來(lái)為期權(quán)定價(jià)。一、二叉樹(shù)模型的基本方法一、二叉樹(shù)模型的基本方法 把期權(quán)的有效期分為很多很小的時(shí)間間隔 ，

2、并假設(shè)在每一個(gè)時(shí)間間隔 內(nèi)證券價(jià)格只有兩種運(yùn)動(dòng)的可能：1、從開(kāi)始的 上升到原先的 倍，即到達(dá)tt2、下降到原先的 倍，即 相應(yīng)地，期權(quán)價(jià)值也會(huì)有所不同， 和 。SuSudSdufdf1,1ud二、證券價(jià)格的樹(shù)形結(jié)構(gòu)二、證券價(jià)格的樹(shù)形結(jié)構(gòu) 二叉樹(shù)模型的思想實(shí)際上是在用大量離散的小幅度二值運(yùn)動(dòng)來(lái)模擬連續(xù)的資產(chǎn)價(jià)格運(yùn)動(dòng) 相同期限下步長(zhǎng)越小精確度越高二、證券價(jià)格的樹(shù)形結(jié)構(gòu)二、證券價(jià)格的樹(shù)形結(jié)構(gòu) 二、證券價(jià)格的樹(shù)形結(jié)構(gòu)二、證券價(jià)格的樹(shù)形結(jié)構(gòu) 二、證券價(jià)格的樹(shù)形結(jié)構(gòu)二、證券價(jià)格的樹(shù)形結(jié)構(gòu) 33033 33,3212123 13,23033 333,0|jijijjijijjijijSuSu dSu dSu

3、 dSuSu uSu dSu dSu dSdSu dSudSu d三、參數(shù)的確定三、參數(shù)的確定 在風(fēng)險(xiǎn)中性世界里：（1）所有可交易證券的期望收益都是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率；（2）未來(lái)現(xiàn)金流可以用其期望值按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)。在風(fēng)險(xiǎn)中性的條件下, 參數(shù)值滿足條件：SdppSuSetr)1 ( 三、參數(shù)的確定三、參數(shù)的確定 假設(shè)證券價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，則：22222222)1 ()1 (dppuSdSpupStS2222)1 ()1 (dppudpput再設(shè)定： （第三個(gè)條件的設(shè)定則可以有所不同， 這是Cox、Ross和Rubinstein所用的條件） 1ud三、參數(shù)的確定三、參數(shù)的確定 由以上三式可得，當(dāng) 很

4、小時(shí)：tdudeptrteuted三、參數(shù)的確定三、參數(shù)的確定 得到每個(gè)結(jié)點(diǎn)的資產(chǎn)價(jià)格之后，就可以在二叉樹(shù)模型中采用倒推定價(jià)法，從樹(shù)型結(jié)構(gòu)圖的末端T時(shí)刻開(kāi)始往回倒推，為期權(quán)定價(jià)。 如果是歐式期權(quán)，可通過(guò)將 時(shí)刻的期權(quán)價(jià)值的預(yù)期值在 時(shí)間長(zhǎng)度內(nèi)以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率 貼現(xiàn)求出每一結(jié)點(diǎn)上的期權(quán)價(jià)值；Ttr三、參數(shù)的確定三、參數(shù)的確定 如果是美式期權(quán)，就要在樹(shù)型結(jié)構(gòu)的每一個(gè)結(jié)點(diǎn)上，比較在本時(shí)刻提前執(zhí)行期權(quán)和繼續(xù)再持有 時(shí)間，到下一個(gè)時(shí)刻再執(zhí)行期權(quán)，選擇其中較大者作為本結(jié)點(diǎn)的期權(quán)價(jià)值。t四、二叉樹(shù)方法的一般定價(jià)方法四、二叉樹(shù)方法的一般定價(jià)方法 假設(shè)把該期權(quán)有效期劃分成N個(gè)長(zhǎng)度為 的小區(qū)間，同時(shí)用 表示結(jié)點(diǎn) 處的

5、證券價(jià)格可得： ，其中若期權(quán)不被提前執(zhí)行， 后，則： 所以 實(shí)際上表示在時(shí)間 時(shí)第j個(gè)結(jié)點(diǎn)處的美式看跌期權(quán)的價(jià)值tjijdSu),(jimax(,0)jN jN jfX Su d，0,1,jN t1,11,(1)r tijijijfepfp f )0 ,0(ijNifijti1,11,max,(1)ji jr tijijijfX Su depfp f 五、有紅利資產(chǎn)期權(quán)的定價(jià)五、有紅利資產(chǎn)期權(quán)的定價(jià) 當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)支付連續(xù)收益率為 的紅利時(shí)，在風(fēng)險(xiǎn)中性條件下，證券價(jià)格的增長(zhǎng)率應(yīng)該為， 因此：qrqdppuetqr)1 ()(dudeptqr )(teuted一、一、p=0.5p=0.5的二叉樹(shù)圖的

6、二叉樹(shù)圖 在確定參數(shù) 、 和 時(shí)，不再假設(shè) ，而令 ，可得：該方法優(yōu)點(diǎn)在于無(wú)論 和 如何變化，概率總是不變的 udp1ud0.5p 222r qttu e 222r qttd e t二、三叉樹(shù)圖二、三叉樹(shù)圖 每一個(gè)時(shí)間間隔 內(nèi)證券價(jià)格有三種運(yùn)動(dòng)的可能：1、從開(kāi)始的 上升到原先的 倍，即到達(dá) ；2、保持不變，仍為 ；3、下降到原先的 倍，即tSuSuSdSd二、三叉樹(shù)圖二、三叉樹(shù)圖 二、三叉樹(shù)圖二、三叉樹(shù)圖 三、控制方差技術(shù)三、控制方差技術(shù) 基本原理：期權(quán)A和期權(quán)B的性質(zhì)相似，我們可以得到期權(quán)B的解析定價(jià)公式，而只能得到期權(quán)A的數(shù)值方法解。假設(shè)： , 代表期權(quán)B的真實(shí)價(jià)值， 表示關(guān)于期權(quán)A的較優(yōu)

7、估計(jì)值， 和 表示用同一個(gè)二叉樹(shù)、相同的蒙特卡羅模擬或是同樣的有限差分過(guò)程得到的估計(jì)值）則期權(quán)A 的更優(yōu)估計(jì)值為： BBffAAffBfAfBBffAAffBfAf四、適應(yīng)性網(wǎng)狀模型四、適應(yīng)性網(wǎng)狀模型 在使用三叉樹(shù)圖為美式期權(quán)定價(jià)時(shí)，當(dāng)資產(chǎn)價(jià)格接近執(zhí)行價(jià)格時(shí)和接近到期時(shí)，用高密度的樹(shù)圖來(lái)取代原先低密度的樹(shù)圖。 即在樹(shù)圖中那些提前執(zhí)行可能性較大的部分，將一個(gè)時(shí)間步長(zhǎng) 進(jìn)一步細(xì)分，如分為 ，每個(gè)小步長(zhǎng)仍然采用相同的三叉樹(shù)定價(jià)過(guò)程 t4t Monte Carlo: Based On Probability & Chance基本思路：由于大部分期權(quán)價(jià)值實(shí)際上都可以歸結(jié)為期權(quán)到期回(payoff)的期望值的貼現(xiàn)；因此，盡可能地模擬風(fēng)險(xiǎn)中性世界中標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的多種運(yùn)動(dòng)路徑，計(jì)算每種路徑結(jié)果下的期權(quán)回報(bào)均值，之后貼現(xiàn)就可以得到期權(quán)價(jià)值。 在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中， 為了模擬路徑，我們把期權(quán)的有效期分為N個(gè)長(zhǎng)度為時(shí)間段，則上式的近似方程為 dSr q SdtSdz 2lnln2S ttS tr qtt 2exp2S ttS tr qtt （是從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中抽取的一個(gè)隨機(jī)樣本） 隨機(jī)樣本的產(chǎn)生和模擬運(yùn)算次數(shù)的確定：1. 的產(chǎn)生 是服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的一個(gè)隨機(jī)