實(shí)驗(yàn)曲線的繪制

1、用最小二乘法繪制實(shí)驗(yàn)曲線在做各種實(shí)驗(yàn)中，可以獲得大量的數(shù)據(jù)。一般的， 我們都會(huì)在實(shí)驗(yàn)之后，將這些實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行某種處理， 然后用圖形來(lái)描繪實(shí)驗(yàn)結(jié)果。用圖形來(lái)描繪要比提供一大堆枯燥的數(shù)據(jù)直觀明了得多。但是， 因?yàn)閷?shí)驗(yàn)本身會(huì)受到各種具體因素的影響。比如： 實(shí)驗(yàn)儀器設(shè)備的精度、原材料因素、工作人員的水平以及溫度等的影響，使得實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)測(cè)得的數(shù)據(jù)總會(huì)或多或少的帶有誤差。也就是說(shuō)， 這些實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)本身就不精確。所以在繪制實(shí)驗(yàn)曲線的時(shí)候，如果是按點(diǎn)點(diǎn)通過(guò)將這些數(shù)據(jù)點(diǎn)連成曲線，那么這種看起來(lái)似乎很精確的方法恰恰是不符合實(shí)際情況的，因而是不可取的。正確的方法應(yīng)該是用一條光滑的曲線，以適當(dāng)?shù)姆绞絹?lái)逼近這些數(shù)據(jù)點(diǎn)。因?yàn)?/p>

2、曲線并不通過(guò)每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，所以可以彌補(bǔ)由于誤差造成的數(shù)據(jù)點(diǎn)的跳動(dòng)用一系列數(shù)據(jù)點(diǎn)（xi , yi ）（ i=1 ， 2， m），所要繪制的曲線yf ( x) ，用什么樣的表尊來(lái)評(píng)價(jià)這條曲線是否處于較為合理的狀態(tài)呢？通常把數(shù)據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)值與曲線上對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)之差 作為評(píng)判的標(biāo)準(zhǔn)。在這里：i f (xi )yi式中 i 成為殘差；f ( xi ) 為理論值； yi 為相應(yīng)的實(shí)測(cè)值。m常用的評(píng)價(jià)方法是：使殘差的平方和i2 達(dá)到最小。 這也就是常說(shuō)的 “最小二乘法” 。i 1用最小二乘法來(lái)繪制實(shí)驗(yàn)曲線，其實(shí)質(zhì)也就是要找一個(gè)經(jīng)驗(yàn)方程y f (x) 來(lái)描述這些數(shù)據(jù)點(diǎn)，并使每個(gè)點(diǎn)的 f ( xi) 和 yi 之差的

3、平方和為最小。所以，第一步首先要根據(jù)數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布情況進(jìn)行預(yù)測(cè)， 該經(jīng)驗(yàn)方程可能是屬于什么類型。比如說(shuō)是線性函數(shù)， 還是二次函數(shù)或其他階次的多項(xiàng)式曲線。用最小二乘法擬合直線設(shè)有測(cè)得的數(shù)據(jù)點(diǎn) (xi , yi )(i 1,2,m) ，根據(jù)這些數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布情況，預(yù)測(cè)到他們之間呈線性關(guān)系，并設(shè)該線性方程為一般形式y(tǒng) a1 xa2 。于是，我們可以按最小二乘法的原理建立起下面的式子：mm2(a1 xia2yi )2ii 1i 1其中 xi , yi 為測(cè)得的已知數(shù)據(jù)點(diǎn)的值，故這個(gè)方程可以看成是關(guān)于a1 和 a2 的函數(shù)，即有兩個(gè)未知數(shù) a1 和 a2 。這兩個(gè)未知數(shù)也就是我們預(yù)測(cè)的線性方程中的系數(shù)和常數(shù)

4、項(xiàng)。于是，上式可改寫成函數(shù)形式為：f (a1 , a2 )( a1 xia2 yi ) 2mi2 達(dá)到最小值。也就是要求根據(jù)最小二乘法的要求，要使a1 和 a2 為何值時(shí)，該函i 1數(shù) f (a1 , a2 ) 能取得極小值。這是一個(gè)二元函數(shù)求極小值的條件的問題，其條件為：f (a1, a2 )0a1f (a1, a2 )0a22 (a1 xia2yi ) 0即：2 (a1 xia2yi ) xi0展開整理后的：a1xi a2 myia1xi2a2xixi yi上式寫成矩陣形式為：xima1yixi2xia2xi yi可以看出， 現(xiàn)行方程組可以有唯一解。這樣，求解該方程組可的未知系數(shù)a1 和

5、a2 的值，從而使得線性函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)a1 xa2 唯一確定，并可根據(jù)該表達(dá)式繪出圖形。用最小二乘法擬合二次以上多項(xiàng)式曲線設(shè)有二次多項(xiàng)式為：ya1 x2a2 xa3 ，那么，我們可以類似的建立起一個(gè)多項(xiàng)式的線性方程組如下：xi2xima1yixi3xi2xia2yi xixi4xi3xi2a3yi xi2對(duì)于 n 次多項(xiàng)式： ya1 x na2 x n 1an xan 1可以相應(yīng)地建立起線性方程組為：xinxin 1xma1yixin 1xinxi2x a2yi xixi2 nxi2 n 1xin 1xinanyi xin由上式表示的線性方程組中，系數(shù)矩陣為（ n+1 ）× (n+1)

6、 的方陣，有 n+1 個(gè)未知數(shù)，即 ai (i 1,2, , n 1)，常數(shù)項(xiàng)由n+1 個(gè)，所以線性方程組有唯一解。我們可以用高斯校園法求解除方程組中的全部未知數(shù)：a1 , a2 , an 1 。從而使得所設(shè)知n 次多項(xiàng)式為已知。然后可以根據(jù)該多項(xiàng)式，使用差值的方法計(jì)算出繪圖用數(shù)據(jù)點(diǎn)。對(duì)于階次 n 的取值，一般不要超過(guò) 7。過(guò)高的階次不僅會(huì)增加運(yùn)算工作量，并且還會(huì)使曲線產(chǎn)生不必要的抖動(dòng)。具體的取值可以根據(jù)實(shí)際情況而定，以擬合處最為理想的曲線為準(zhǔn)則。解題過(guò)程下面，我們總結(jié)歸納一下最小二乘法解題編成的思路和步驟。1給出全部數(shù)據(jù)點(diǎn) ( xi , yi )(i 1,2,m) ，并確定所需階次n。2按照

7、下式，建立系數(shù)增廣矩陣：xinxin 1ximyixin 1xinxi2xiyi xixi2nxi2 n 1xin 1xinyi xin設(shè)該增廣矩陣為P ，它是一個(gè)（ n+1 ）×(n+2) 的矩陣，其中每個(gè)元素的賦值式為：xinj k( j 1,2, , n1; k1,2, n 1)p j ,kj1 yi( j 1,2,n1; kn 2)xi3用高斯消元法解線性方程組將增廣矩陣 P 化為上三角矩陣Q ，使對(duì)角線上元素全為11q1,2q1, 3q1,nq1,n1q1,n201q2, 3q2 ,nq2,n1q2, n20011qn,n1qn, n21qn 1,n2然后用追趕法解出全部未知