第10章_常微分方程初值問題的數(shù)值方法

1、數(shù)值計算方法2021-12-221第十章第十章 常微分方程初值問題的數(shù)值解法常微分方程初值問題的數(shù)值解法第一節(jié)第一節(jié) 求解初值問題數(shù)值方法的基本原理求解初值問題數(shù)值方法的基本原理第二節(jié)第二節(jié) 高精度的單步法高精度的單步法 第三節(jié)第三節(jié) 線性多步法線性多步法第四節(jié)第四節(jié) 一階微分方程組的解法一階微分方程組的解法第五節(jié)第五節(jié) 邊值問題的打靶法和差分法邊值問題的打靶法和差分法數(shù)值計算方法2021-12-222考慮一階常微分方程的初值問題考慮一階常微分方程的初值問題 /* Initial-Value Problem */: 0)(,),(yaybaxyxfdxdy只要只要 f (x, y) 在在a,

2、b R1 上連續(xù)，且關(guān)于上連續(xù)，且關(guān)于 y 滿足滿足 Lipschitz 條條件件，即存在與，即存在與 x, y 無關(guān)的常數(shù)無關(guān)的常數(shù) L 使使對任意定義在對任意定義在 a, b 上的上的 y1(x) 和和 y2(x) 都成立，則上述都成立，則上述IVP存存在唯一解。在唯一解。| ),(),(|2121yyLyxfyxf 第一節(jié)第一節(jié) 求解初值問題數(shù)值方法的基本原理求解初值問題數(shù)值方法的基本原理(10-1)(10-1)一、一、初值問題的數(shù)值解初值問題的數(shù)值解數(shù)值計算方法2021-12-223要計算出解函數(shù)要計算出解函數(shù) y(x) 在一系列節(jié)點在一系列節(jié)點 a = x0 x10,使得使得),(h

3、yxhQyynnnn 111()()pO hp (, )nnQ xyh( , , )( , , )Q x y hQ x y hL yy對一切對一切 成立成立,則該方法收斂則該方法收斂,且有且有 yy和和)(pnhOe 由該定理可知整體截斷誤差總比局部截斷誤差低一階由該定理可知整體截斷誤差總比局部截斷誤差低一階 對改進(jìn)的對改進(jìn)的Euler法法, ),(,(),(),(yxhfyhxfyxfhyxQ 21數(shù)值計算方法2021-12-2217于是有于是有 1( , , )( , , )( , )( , )2(,( , )(,( , )Q x y hQ x y hf x yf x yf xh yhf

4、x yf xh yhf x y設(shè)設(shè)L為為f關(guān)于關(guān)于y的的Lipschitz常數(shù)常數(shù),則由上式可得則由上式可得( , , )( , , )(1/2)Q x y hQ x y hLhyy限定限定h即可知即可知Q滿足滿足Lipschitz條件條件,故而改進(jìn)的故而改進(jìn)的Euler法收斂法收斂.數(shù)值計算方法2021-12-2218例：例：考察初值問題考察初值問題 在區(qū)間在區(qū)間0, 0.5上的解。上的解。分別用歐拉顯、隱式格式和改進(jìn)的歐拉格式計算數(shù)值解。分別用歐拉顯、隱式格式和改進(jìn)的歐拉格式計算數(shù)值解。 1)0()(30)(yxyxy0.00.10.20.30.40.5精確解精確解改進(jìn)歐拉法改進(jìn)歐拉法 歐

5、拉隱式歐拉隱式歐拉顯式歐拉顯式 節(jié)點節(jié)點 xixey30 1.0000 2.0000 4.0000 8.0000 1.6000 101 3.2000 101 1.00002.5000 10 1 6.2500 10 21.5625 10 23.9063 10 39.7656 10 41.00002.50006.25001.5626 1013.9063 1019.7656 1011.00004.9787 10 22.4788 10 31.2341 10 46.1442 10 63.0590 10 73. 穩(wěn)定性穩(wěn)定性數(shù)值計算方法2021-12-2219定義定義若某算法在計算過程中任一步產(chǎn)生的誤差在

6、以后的計若某算法在計算過程中任一步產(chǎn)生的誤差在以后的計算中都算中都逐步衰減逐步衰減，則稱該算法是，則稱該算法是絕對穩(wěn)定的絕對穩(wěn)定的 /*absolutely stable */。一般分析時為簡單起見，只考慮一般分析時為簡單起見，只考慮試驗方程試驗方程 /* test equation */yy 常數(shù)，可以是復(fù)數(shù)常數(shù)，可以是復(fù)數(shù)當(dāng)步長取為當(dāng)步長取為 h 時，將某算法應(yīng)用于上式，并假設(shè)只在初值時，將某算法應(yīng)用于上式，并假設(shè)只在初值產(chǎn)生誤差產(chǎn)生誤差 ，則若此誤差以后逐步衰減，就稱該，則若此誤差以后逐步衰減，就稱該算法相對于算法相對于 絕對穩(wěn)定絕對穩(wěn)定， 的全體構(gòu)成的全體構(gòu)成絕對穩(wěn)定區(qū)域絕對穩(wěn)定區(qū)域。

7、我們稱我們稱算法算法A 比算法比算法B 穩(wěn)定穩(wěn)定，就是指，就是指 A 的絕對穩(wěn)定區(qū)域比的絕對穩(wěn)定區(qū)域比 B 的的大大。000yy h h h數(shù)值計算方法2021-12-2220例：例：考察顯式歐拉法考察顯式歐拉法110(1)nnnnyyhyhy 000yy 110(1)nnyhy 11110(1)nnnnyyh 由此可見，要保證初始誤差由此可見，要保證初始誤差 0 以后逐步衰減，以后逐步衰減，必須滿足：必須滿足：hh 1|1| h0-1-2ReImg數(shù)值計算方法2021-12-2221例：例：考察隱式歐拉法考察隱式歐拉法11nnnyyh y 111nnyyh 11011nnh 可見絕對穩(wěn)定區(qū)域

8、為：可見絕對穩(wěn)定區(qū)域為：1|1| h210ReImg注：注：一般來說，隱式歐拉法的絕對穩(wěn)定性比同階的顯式一般來說，隱式歐拉法的絕對穩(wěn)定性比同階的顯式法的好。法的好。數(shù)值計算方法2021-12-222212()11()()()()()( )2!()(,),()(,)(,)(), ,nppnnnnnnxypTaylory xhhyy xy xhyxyxyxPyxfx yyxfx yfx y fx y 若若用用 階階多多項項式式近近似似函函數(shù)數(shù)有有：其其中中。但但由由于于公公式式中中各各階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)計計算算復(fù)復(fù)雜雜，不不實實用用。第二節(jié)第二節(jié) 高精度的單步法高精度的單步法 在高精度的單步法中在高

9、精度的單步法中, ,應(yīng)用最廣泛的是應(yīng)用最廣泛的是Runge-Runge-KuttaKutta( (龍格龍格- -庫塔庫塔) )方法方法一、一、Runge-Kutta法的基本思想（法的基本思想（1）數(shù)值計算方法2021-12-2223( 0 )( 0 )( 0 )( 1 )( 1 )( 1 )( 2 )(2 )(2 )()(1 ); ;2 , 3 ,jjjjyffffyffxyffyffxyffyffjxy 一一 般般 地地 有有數(shù)值計算方法2021-12-2224111112121 (,)11()22(,)(, )nnnnnnnnnnE ulerE uleryyhKE ulerKfxyyyhK

10、KE ulerKfxyKfxhyhK 如如 果果 將將公公 式式 與與 改改 進(jìn)進(jìn)公公 式式 寫寫 成成 下下 列列 形形 式式 ：公公 式式 改改 進(jìn)進(jìn)公公 式式Runge-Kutta法的基本思想（法的基本思想（2）數(shù)值計算方法2021-12-222511(,)()(,)(,) nnfxyyxyfxyfxy 以以 上上 兩兩 組組 公公 式式 都都 使使 用用 函函 數(shù)數(shù)在在 某某 些些 點點 上上 的的值值 的的 線線 性性 組組 合合 來來 計計 算算的的 近近 似似 值值。E E u u l l e e r r 公公 式式 ： 每每 步步 計計 算算 一一 次次的的 值值 ， 為為 一

11、一 階階 方方 法法 。改改 進(jìn)進(jìn) E E u u l l e e r r 公公 式式 ： 需需 計計 算算 兩兩 次次的的 值值 ， 二二 階階 方方 法法 。數(shù)值計算方法2021-12-2226Runge-Kutta法的基本思想（法的基本思想（3）( ,)(,)( ) nnnf x yxyTaylory xxTaylor于于是是可可考考慮慮用用函函數(shù)數(shù)在在若若干干點點上上的的函函數(shù)數(shù)值值的的線線性性組組合合來來構(gòu)構(gòu)造造近近似似公公式式，構(gòu)構(gòu)造造是是要要求求近近似似公公式式在在處處的的展展開開式式與與解解在在處處的的展展開開式式的的前前面面幾幾項項重重合合，從從而而使使近近似似公公式式達(dá)達(dá)到

12、到所所需需要要的的階階數(shù)數(shù)。即即避避免免求求偏偏導(dǎo)導(dǎo)，又又提提高高了了方方法法的的精精度度，此此為為R RK K方方法法的的基基本本思思想想。11111(,)(,)(2, 3,)pnniiinniininijjjyyhc KKfxyKfxa h yhb Kip 數(shù)值計算方法2021-12-2227二、二階龍格庫塔方法二、二階龍格庫塔方法11111RK(,)(,)(2,3,),(,)()pnniiinniininijjjiijinnnyyhc KKfxyKfxa h yhb KipabcxyTaylory xxTaylor 一一般般地地，方方法法設(shè)設(shè)近近似似公公式式為為其其中中，都都是是參參數(shù)數(shù)

13、，確確定定它它們們的的原原則則是是使使近近似似公公式式在在處處的的展展開開式式與與在在處處的的展展開開式式的的前前面面項項盡盡可可能能多多地地重重合合。數(shù)值計算方法2021-12-222811122122211()2(,)(,)nnnnnnyyh c Kc KKf xyKf xa h yhb K 當(dāng)p時，近似公式為 當(dāng)p時，近似公式為 112221122321(,)(,)(,(,)(,) (,)(,)(,) (,)()nnnnnnnnnnnnnnnxnnynnnnxyTayloryyh c f xyc f xa h yhb f xyyh c f xycf xya hfxyhb fxyf xyO

14、 h 上式在處的展開式為上式在處的展開式為數(shù)值計算方法2021-12-222912232221()(,)(,)(,)(,)()nnnxnnynnnnyccf xyhc a fxybfxyf xyhO h 123123()()()()()()2(,)(,)(,)(,)()2nnnnnnnnnxnnynnnny xxTaylorhy xy xhyxyxO hyfxyhhfxyfxyfxyO h 在在處處 的的展展 開開 式式 為為數(shù)值計算方法2021-12-223012222211 1 / 2 1 / 2 ),ccc ac bO 3 3有有 無無 窮窮 多多 組組 解解 ， 每每 一一 組組 解解

15、 得得 一一近近 似似 公公 式式 ， 局局 部部 截截 斷斷 誤誤 差差 均均 為為( (h h這這 些些 方方 法法 統(tǒng)統(tǒng) 稱稱 二二 階階 方方 法法 。122211121211,1,2() / 2(,)(,)nnnnnnccabE uleryyh KKKfxyKfxhyhK 取取此此 為為 改改 進(jìn)進(jìn)公公 式式 。近近 似似 公公 式式 為為 122211212110,1,2(,)(2,2)nnnnnnccabyyhKKfxyKfxhyhK 取取此此 為為 常常 用用 的的 二二 階階 公公 式式 ，稱稱 為為 中中 點點 公公 式式 。 數(shù)值計算方法2021-12-2231三、三階龍

16、格庫塔方法三、三階龍格庫塔方法11231213123 (4)6(,)( ,)22(,2)nnnnnnnnpRKRKhyyKKKKf xyhhKf xyKKf xh yhKhK 類類似似地地，對對，即即三三個個點點，通通過過更更復(fù)復(fù)雜雜的的計計算算，可可導(dǎo)導(dǎo)出出三三階階公公式式。常常用用的的三三階階公公式式為為：數(shù)值計算方法2021-12-2232四、四階龍格庫塔方法四、四階龍格庫塔方法1123412132434 (22)6(,)(,)2 2(,)22(,)nnnnnnnnnnpRKRKhyyKKKKKf xyhhKf xyKhhKf xyKKf xh yhK 對對，即即四四個個點點，可可導(dǎo)導(dǎo)出

17、出四四階階公公式式。常常用用的的四四 階階公公式式為為： 數(shù)值計算方法2021-12-2233 h = 0 .2 ,x= 0 x= 12(01 );(0 )1 .xyyxyy 設(shè)設(shè) 取取 步步 長長從從直直 到到用用 四四 階階 龍龍 格格 庫庫 塔塔方方 法法 求求 解解 初初 值值 問問 題題例例 ：數(shù)值計算方法2021-12-2234112341211322433(22);62;2;222;222().nnnnnnnnnnnnnnhyyKKKKxKyyxhhKyKhyKxhhKyKhyKxhKyhKyhK 由由 經(jīng)經(jīng) 典典 的的 四四 階階 龍龍 格格 庫庫 塔塔解解公公 式式 得得：數(shù)

18、值計算方法2021-12-22352RK RKRK RK）方方法法的的導(dǎo)導(dǎo)出出基基于于T Ta ay yl lo or r展展開開，故故要要求求所所求求問問題題的的解解具具有有較較高高的的光光滑滑度度。當(dāng)當(dāng)解解充充分分光光滑滑時時，四四階階方方法法確確實實優(yōu)優(yōu)于于改改進(jìn)進(jìn)E Eu ul le er r法法。對對一一般般實實際際問問題題，四四階階方方法法一一般般可可達(dá)達(dá)到到精精度度要要求求。如如果果解解的的光光滑滑性性差差，則則用用四四階階方方法法解解的的效效果果不不如如改改進(jìn)進(jìn)E Eu ul le er r法法。兩點說明兩點說明:1RKRK46RK5）當(dāng)當(dāng)p=1,2,3,4p=1,2,3,4時

19、時，公公式式的的最最高高階階數(shù)數(shù)恰恰好好是是p,p,當(dāng)當(dāng)p4p4時時，公公式式的的最最高高階階數(shù)數(shù)不不是是p p，如如p=5p=5時時仍仍為為 ，p=p= 時時公公式式的的最最高高階階數(shù)數(shù)為為 。數(shù)值計算方法2021-12-2236五、變步長的龍格五、變步長的龍格庫塔方法庫塔方法()1()51115(2)15(2)11(2)11()11,(),2,2()2,2()1.()16hnhnnnnhnhnnhnnhnnhyy xychhxxhychy xycy xyy xy n n以以經(jīng)經(jīng)典典四四階階龍龍格格庫庫塔塔公公式式為為例例。從從節(jié)節(jié)點點x x 出出發(fā)發(fā)，以以 為為步步長長求求一一近近似似值值

20、將將步步長長折折半半，即即取取為為步步長長從從跨跨兩兩步步到到，求求一一近近似似值值每每跨跨一一步步的的截截斷斷誤誤差差是是因因此此有有由由上上兩兩式式 (2)(2)()11111().15hhhnnnny xyyy 數(shù)值計算方法2021-12-2237R-K方法的絕對穩(wěn)定區(qū)域/2121233223443 11 ,22111 )22411 )24 ( , ) () K()()()()()nnnnnnnRKhhhhf x yyhhyyyyhKKyyhhKKhyyhhhKK 代入公式：代入公式：將將234112341 2)6111 12624(2()()()nnnhyyKKKKyhhh 數(shù)值計算方

21、法2021-12-2238234111112624()()()nnhhhh 則則234111 112624()()()hhhh 絕絕對對穩(wěn)穩(wěn)定定區(qū)區(qū)域域： 2 1 -3 -2 -1 0 -1 -2 數(shù)值計算方法2021-12-223911-r1RK,nnnnnnyyyyyy 單單步步法法在在計計算算時時，只只用用到到前前一一步步的的信信息息 。為為提提高高精精度度，需需重重新新計計算算多多個個點點處處的的函函數(shù)數(shù)值值，如如方方法法，計計算算量量較較大大。如如何何通通過過較較多多地地利利用用前前面面的的已已知知信信息息，如如 ，來來構(gòu)構(gòu)造造高高精精度度的的算算法法計計算算，這這就就是是多多步步法

22、法的的基基本本思思想想。第三節(jié)第三節(jié) 線性多步法線性多步法數(shù)值計算方法2021-12-224011110111(,),(,) ,(,) (1,)00 T a y lo nnnrnnnrnrrrniniiniiiiikkkyyyfxyfxyyyhfffxyknnnr 多多 步步 法法 中中 最最 常常 用用 的的 是是 線線 性性 多多 步步 法法 ， 它它 的的 計計 算算 公公 式式 中中 只只出出 現(xiàn)現(xiàn)，及及的的 一一 次次項項 ， 其其 一一 般般 形形 式式 為為其其 中中均均 為為 常常 數(shù)數(shù) ，。若若， 顯顯 式式 ；， 隱隱 式式 。構(gòu)構(gòu) 造造 線線 性性 多多 步步 公公 式式

23、 常常 用用r展展 開開 和和 數(shù)數(shù) 值值 積積 分分 方方 法法 。數(shù)值計算方法2021-12-2241一、線性多步公式的導(dǎo)出一、線性多步公式的導(dǎo)出nnTaylorxTaylor) xTaylor,ii n n+ +1 1利利用用展展開開導(dǎo)導(dǎo)出出的的基基本本方方法法是是：將將線線性性多多步步公公式式在在處處進(jìn)進(jìn)行行展展開開，然然后后與與y y( (x x在在處處的的展展開開式式相相比比較較，要要求求它它們們前前面面的的項項重重合合，由由此此確確定定參參數(shù)數(shù)。1011110111( ) ( ) nnnnnnry xyyyhfff 以以為為例例：設(shè)設(shè)初初值值問問題題的的解解充充分分光光滑滑，待待

24、定定的的兩兩步步公公式式為為數(shù)值計算方法2021-12-2242( )( )()21()(1,2,),( )( )()()()2!()kknnnppnnnnnnnpnyyxky xxTayloryyy xyyxxxxxxpOxx 記則在處的展開為記則在處的展開為(),()(,)(),iiiiinyy xy xf xyin 假設(shè)前 步計算結(jié)果都是準(zhǔn)確的，即假設(shè)前 步計算結(jié)果都是準(zhǔn)確的，即則有則有數(shù)值計算方法2021-12-2243231( 4 )( 5 )45( 6 )21111 ()2 !3 ! ()4 !5 ! (,)()2 ! nnnnnnnnnnnnnnnyyyyxhyy hhhyyhh

25、Ohyffxyyxyy hh ( 4 )( 5 )34( 5 )21111( 4 )( 5 )34( 5 )()3 !4 ! (,) (,)()2 ! ()3 !4 !nnnnnnnnnnnnnnnyyhhOhffxyyyffxyyxyy hhyyhhOh 數(shù)值計算方法2021-12-2244211011101113(4)4111111(5)56111()()()2()()6222466()()1202424nnnnnnnyyy hy hy hy hy hO h 將將以以上上各各公公式式代代入入并并整整理理，得得數(shù)值計算方法2021-12-22451(5)2561()()() 2!5!p+1

26、nnnnnnnpy xxTayloryyy xyy hhhO h 為使上式有 階精度，只須使其與在處的為使上式有 階精度，只須使其與在處的展開式展開式的前項重合。的前項重合。數(shù)值計算方法2021-12-22460101011111111111111221111622611112 4662 4aaaaaa 5,5,1iiP 個個參參數(shù)數(shù) 只只須須 個個條條件件。由由推推導(dǎo)導(dǎo)知知，如如果果選選取取參參數(shù)數(shù)，使使其其滿滿足足前前個個方方程程（p p= =1 1, ,2 2, ,3 3, ,4 4) )，則則近近似似公公式式為為p p階階公公式式。數(shù)值計算方法2021-12-224711011111,

27、0,02 ()2nnnnhyyff 0 0如如滿滿足足方方程程組組前前三三個個方方程程，故故公公式式此此為為二二階階公公式式。01110140,1,33 又又如如：解解上上面面方方程程組組得得相相應(yīng)應(yīng)的的線線性性二二步步四四階階公公式式（S Si im mp ps so on n公公式式) )為為數(shù)值計算方法2021-12-224811115(5)61 (4)31 ()90nnnnnnnhyyfffRh yO h 其截斷誤差為其截斷誤差為由此可知，線性二步公式至多是四階公式。由此可知，線性二步公式至多是四階公式。123( )nnnrxT a y lo ryxxT a y lo r 一一 般般

28、地地 ， 線線 性性 多多 步步 公公 式式 中中 有有個個 待待 定定 參參 數(shù)數(shù) ， 如如 令令 其其右右 端端 在在處處 的的展展 開開 式式 與與在在處處 的的展展 開開 式式的的 前前 p p + + 1 1 項項 系系 數(shù)數(shù) 對對 應(yīng)應(yīng) 相相 等等 ， 可可 得得 方方 程程 組組數(shù)值計算方法2021-12-2249010111(1)11121()()1(1,2,) 1()(1)()(1)! ()riirrkkiiiiprrpppniiniipikikpphRipiypO h 其解所對應(yīng)的公式具有 階精度，局部截斷誤差為其解所對應(yīng)的公式具有 階精度，局部截斷誤差為顯然，線性多步公式

29、至多可達(dá)到2r+2階精度。顯然，線性多步公式至多可達(dá)到2r+2階精度。數(shù)值計算方法2021-12-2250二、常用的線性多步公式二、常用的線性多步公式1231010100123 r=30,1()()1(1, 2, 3 4)5559379= 1,242(Ada424m s)4 2riirrkkiiiiikik 取取， 并并 令令由由 方方 程程 組組，可可 解解 得得，（ 一一 ） 阿阿 達(dá)達(dá) 姆姆 斯斯公公 式式數(shù)值計算方法2021-12-225111231(5559379)24=0Adamsnnnnnnhyyffff 相應(yīng)的線性多步公式為相應(yīng)的線性多步公式為因，此式稱為顯式公式，是四階公式.

30、因，此式稱為顯式公式，是四階公式.53354( 5 )61115( 5 )6 1()5()()5 !2 5 1()7 2 0niiniinhRiiyOhhyOh 局局部部截截斷斷誤誤差差為為數(shù)值計算方法2021-12-225212330101211125( 5 )610,91951 =1,24242424(9195)24A dam s19()720nnnnnnnnhyyffffRhyO h 如如 果果 令令由由 方方 程程 組組 可可 解解 得得，相相 應(yīng)應(yīng) 的的 線線 性性 多多 步步 公公 式式 為為稱稱 其其 為為 四四 階階隱隱 式式 公公 式式 ， 其其 局局 部部 截截 斷斷 誤誤

31、 差差 為為數(shù)值計算方法2021-12-2253利用數(shù)值積分方法求線性多步公式利用數(shù)值積分方法求線性多步公式1111+11 ()()(,() (),()()(),1nnnnxnnxxxnnnrnnnry xy xfx y xdxFx dxxxxxxxFxxFxr r r基基 本本 思思 想想 是是 首首 先先 將將 初初 值值 問問 題題 化化 成成 等等 價價 的的積積 分分 形形 式式用用 過過 節(jié)節(jié) 點點或或的的的的 r r次次 插插 值值 多多 項項 式式代代 替替求求 積積 分分即即 得得階階 的的 線線 性性 多多 步步 公公 式式 。數(shù)值計算方法2021-12-225412333

32、0123303,( ) ( )( )()()()()()( )(0,1,2,3)()()nnnnin iinnnnin in injjj irxxxxF xL xl x F xxxxxxxxxl xixxxx 例如時，過節(jié)點的三次例如時，過節(jié)點的三次插值多項式為插值多項式為其中其中數(shù)值計算方法2021-12-22551111131301233231313233()()( )( ) ()()()()()6()()()()2()()()()2()()nnnnnnnnnnxxnnin ixxixnnnnxxnnnnxxnnnnxnny xy xL x dxl x dx F xxxxxxxF xdxh

33、xxxxxxF xdxhxxxxxxF xdxhxxxF x 1123123)()655()59()37()9()24nnxnnxnnnnxxxdxhhF xF xF xF x 數(shù)值計算方法2021-12-22561111233,(),(),(,)()(,() (,1,2,3),(5559379)24,nnnnkkkkkknnnnnnnnyyy xy xfxyFxfxy xkn nnnhyyffffAdam sxxAdam s 對對 上上 式式 用用代代 替替用用代代 替替則則 得得這這 就就 是是 四四 階階顯顯 式式 公公 式式 。 由由 于于 積積 分分 區(qū)區(qū) 間間 在在 插插 值值區(qū)區(qū)

34、 間間外外 面面 ， 又又 稱稱 為為 四四 階階外外 插插 公公 式式 。11(4)(5)33100 ()()()()!4 4!nnnnxxxxnn jn jxxjjFyRxxdxxxdx 由由插插值值余余項項公公式式可可得得其其局局部部截截斷斷誤誤差差為為數(shù)值計算方法2021-12-2257131(5)35(5)10,),( )251()( )4!720nnnnxnnjxjxxyRxxdxh y 由積分中值定理，存在（使得由積分中值定理，存在（使得112231,() ()()( )nnnniniixxxxFxLxlxFx 同同 樣樣 ， 如如 果果 過過 節(jié)節(jié) 點點的的三三 次次 插插 值

35、值 多多項項 式式 為為數(shù)值計算方法2021-12-22581123111125(5)121()()()()( )(1,0,1,2)()()( ) (9195)2419( )720nnnnin in injjj innnnnnnnnnxxxxxxxxlxixxxxF xAdamshyyffffRh yxx 其其中中代代替替求求積積分分，即即得得四四階階隱隱式式公公式式其其局局部部截截斷斷誤誤差差為為 由由于于積積分分區(qū)區(qū)間間在在插插21,nnxxAdamsAdams 值值區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)，故故隱隱式式公公式式又又稱稱為為內(nèi)內(nèi)插插公公式式數(shù)值計算方法2021-12-22591213012313125

36、(5)61 0,8481,0,333 4 (22)314 ()4 ()5 nnnnnnnyyhfffMMilineRh yO hMiliineinle 0 0 取取r r= =3 3，并并令令由由方方程程組組可可解解出出相相應(yīng)應(yīng)的的線線性性多多步步式式稱稱為為公公式式，其其局局部部截截斷斷誤誤差差為為（二二）米米爾爾尼尼公公式式公公式式是是四四階階四四步步顯顯式式公公式式。數(shù)值計算方法2021-12-22601212115(5)61 0,min13 (9)(2)881 (m()in40nnnnnnnnHamgyyyh ffHamRhO hgfy （三三）哈哈明明 取取r r= =2 2，并并令

37、令可可得得到到公公式式其其局局部部截截斷斷誤誤差差為為H Ha am mm mi in ng g公公式式是是四四階階三三公公式式步步隱隱式式公公式式。數(shù)值計算方法2021-12-226111 , ),) nny n n+ +1 1n n+ +1 1n n+ +1 1一一般般地地，同同階階的的隱隱式式法法比比顯顯式式法法精精確確，而而且且數(shù)數(shù)值值穩(wěn)穩(wěn)定定性性也也好好。但但在在隱隱式式公公式式中中，通通常常很很難難解解出出y y需需要要用用迭迭代代法法求求解解，這這樣樣又又增增加加了了計計算算量量。在在實實際際計計算算中中，很很少少單單獨獨用用顯顯式式公公式式或或隱隱式式公公式式，而而是是將將它它

38、們們聯(lián)聯(lián)合合使使用用：先先用用顯顯式式公公式式求求出出y y( (x x的的預(yù)預(yù)測測值值，記記作作y y再再用用隱隱式式公公式式對對預(yù)預(yù)測測值值進(jìn)進(jìn)行行校校隱隱式式法法與與顯顯式式法法正正，求求出出y y( (x x的的近近似似值值的的比比較較。數(shù)值計算方法2021-12-2262三、預(yù)測三、預(yù)測校正系統(tǒng)校正系統(tǒng) 用顯式公式計算預(yù)測值，然后用隱式公式進(jìn)行校正，用顯式公式計算預(yù)測值，然后用隱式公式進(jìn)行校正，得到近似值得到近似值yn+1這樣一組計算公式稱為預(yù)測這樣一組計算公式稱為預(yù)測校正系統(tǒng)。校正系統(tǒng)。 一般采用同階的隱式公式與顯式公式。常用的預(yù)一般采用同階的隱式公式與顯式公式。常用的預(yù)測測校正系

39、統(tǒng)有兩種：校正系統(tǒng)有兩種：112311112 (5559379) 249 (,)195 24nnnnnnnnnnnnnhyyffffhyyf xyfAdaffms 預(yù)預(yù)測測校校正正校校正正公公式式預(yù)預(yù)測測數(shù)值計算方法2021-12-2263131211211 4(22) 313(9)(,)2) limin88 nnnnnnnnnnnnyyhfffyyyh f xMineHamyffg 預(yù)預(yù)測測校校正正公公式式 (1)RK 3 說說明明：以以上上兩兩種種預(yù)預(yù)測測校校正正公公式式均均為為四四階階公公式式，其其起起步步值值通通常常用用四四階階公公式式計計算算。( (2 2) )有有時時為為提提高高精

40、精度度，校校正正公公式式可可迭迭代代進(jìn)進(jìn)行行多多次次，但但迭迭代代次次數(shù)數(shù)一一般般不不超超過過 次次。數(shù)值計算方法2021-12-2264用局部截斷誤差進(jìn)一步修正預(yù)測校正公式用局部截斷誤差進(jìn)一步修正預(yù)測校正公式5( 5 )6115( 5 )6115( 5 )6115( 5 )1111111251 ()()72019()()720270()720720()270251()()270() nnnnnnnnnnnnnnnnnA dam syxyhyOhyxyhyOhyyhyOhhyyyyxyyyyx 由由公公 式式 的的 局局 部部 截截 斷斷 誤誤 差差 公公 式式兩兩 式式 相相 減減11119

41、()270nnnyyy 數(shù)值計算方法2021-12-2265112311111121111 (5559379) 24251()2709 (,) 195 2419()270 nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnhpyffffmpcphcyf xmfffyAdcmpa sc 多多環(huán)環(huán)節(jié)節(jié)的的預(yù)預(yù)測測由由上上面面就就得得到到預(yù)預(yù)測測改改進(jìn)進(jìn)校校校校正正公公式式正正改改進(jìn)進(jìn)數(shù)值計算方法2021-12-2266131211121111111 4(22) 3112()12113(9) (,)2 ln 88 9()1in21mnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnpyhfffmpcMieHampcy

42、yh f xmffycpgc 完完全全類類似似，可可以以導(dǎo)導(dǎo)出出預(yù)預(yù)測測改改進(jìn)進(jìn)校校多多環(huán)環(huán)節(jié)節(jié)的的預(yù)預(yù)測測校校正正公公式式正正改改進(jìn)進(jìn)數(shù)值計算方法2021-12-226700111111211 1 , ,( , ), (2),1(3) (,) (,)22nnnnnnbaa b f x yN yhxa nNff xyKhKhfKhf xyK 算算法法（ ）輸輸入入置置計計算算231141131123400(,) (,)221(22)6(4)(,)(5)3,1, 3 1,0,0, 6nnnnnnnnnKhhf xyKhf xh yKyyKKKKxanhxynnnnnpc 輸輸出出若若置置返返回回

43、 ；否否則則，置置轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 。數(shù)值計算方法2021-12-226833330321003132111330(6)(,) 4112(22) ()312113(9) ( ,)2889() , )121(7)1,(0,1,2),jjjjjjff xyxxhpyfffmpcpcyyh f x mffyccpx ynNnn xxyyffjxxyypp 計計算算輸輸出出( (若若，置置0,6cc轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) ；否否則則停停機(jī)機(jī)。數(shù)值計算方法2021-12-22691200 (,)(1,2,)()(1,2,)iiNiiyfx yyyiNyxyiN 一一 階階 方方 程程 組組 的的 初初 值值 問問 題題120000120012 y f y(,) ;yf (, y);y(,) ;y()y ;f(,) ;TNTNTNyyyxyyyxfff 若若 對對 和和 采采 用用 向向 量量 的的 記記 號號第四節(jié)第四節(jié) 一階微分方程組的解法一階微分方程組的解法一、一階微分方程組一、一階微分方程組數(shù)值計算方法2021-12-227000n+1n12341n2n13n24n3yf( ,y);y()y ; yy(k2k2kk )6 kf(,y ); kf(,yk );22kf(,yk ); kf(,yk );2