2018考研數(shù)學(xué)沖刺模擬卷-答案與解析(數(shù)學(xué)一)

1、2021考研數(shù)學(xué)沖刺模擬卷數(shù)學(xué)一答案與解析只有一項(xiàng)符合、選擇題：18小題，每題4分，共32分，以下每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,題目要求的，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上. 學(xué)習(xí)文檔僅供參考1假設(shè)函數(shù)(A) ab14A.lim1 .cosxf(x) ； b, x2ax:0,x0在x 0處連續(xù)，那么(B)ab(C) ab 0(D) ab 2.cosx2axlimx 01 2 -x42ax1 一、f (x)在 x4a0處連續(xù)14a2設(shè)函數(shù)A.f (x)可導(dǎo)，且 f2(x)f'(x) 0,那么Af (1)f( 1)Bf(1) f( 1)C|f(1)f( 1)Df(1)f( 1)f2(x)f

2、(x) 0,號(hào)) 3f3( 1)3f(1) f ( 1),所以選Ao(1,2,0)3設(shè)函數(shù) f (x, y, z)x2y一 1，、fn 1,2,2,那么 v3nA12【答案】D.B6C4D2【解析】gradf(1,2,0)4,1,0一 (1,2,0) ngradf n1 2 24,1,0 一,一 ,一2.3 3 3選D.4甲乙兩人賽跑，計(jì)時(shí)開始時(shí),甲在乙前方10單位:m處，圖中實(shí)線表示甲的速度V2 (t),三塊陰影局部面積的數(shù)值曲線v M(t)單位：m/s，虛線表示乙的速度曲線 V依次為10,20,3,計(jì)時(shí)開始后乙超過上甲的時(shí)刻記為t0單位：s，那么v(m/ s)Ato 1005101520

3、25 30B15 tg 20t(s)Ct025t0 25【答案】D.【解析】從0到t0這段時(shí)間內(nèi)甲乙的位移分別為；v1(t)dt, ：v2(t)dt,那么乙要超過甲，那25時(shí)滿足，應(yīng)選D.t0，、，、. 一、r,0 v2(t) v1(t)dt10,當(dāng) t05設(shè)A 為mxn階矩陣，且r A - m< n ,那么以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是AA的任意m階子式都不等于零BA的任意m個(gè)列向量線性無關(guān)C方程組AX二b一定有無窮多解D矩陣A經(jīng)過初等行變換可化為Em：O【答案】C.【解析】對(duì)于選項(xiàng) C, m=r A <r A <min m,n =m=r A =m、n所以選項(xiàng) C正確，對(duì)于選項(xiàng)A和B

4、, r(A尸m ,由秩的定義可得，存在一個(gè) m階行列式不為零，從而 m階行列 式所在的列向量組線性無關(guān)，所以選項(xiàng)A和B不正確對(duì)于選項(xiàng)D,矩陣A經(jīng)過初等行變換和列變換才可化為Em：O ,所以選項(xiàng)D不正確TTT6設(shè) q=1, 0, 2,c,，電=0, 2, 1, C2,%= 1, 2, 3, C3T羯=1, 0, 1, 0 淇中c i1,2,3為任意實(shí)數(shù)，那么A馬，,%,必線性相關(guān)b,乙,4,%必線性無關(guān)C可,外,%必線性相關(guān)【答案】D.D%尸3,%必線性無關(guān)1011【解析】經(jīng)初等行變換0心0110 C3 一 C1 - C210 00所以r qa2比3&4 s 4,從而選項(xiàng)a和b均不正確r

5、 % 式3至3,從而選項(xiàng)c不正確123利用排除法可得正確答案為 D"1 0、經(jīng)初等行變換 011對(duì)于選項(xiàng)D, 口2&%-，0 0 1、0 0 0>從而可得r %二3二向量的個(gè)數(shù)，所以心心m4必線性無關(guān)7設(shè)二維隨機(jī)變量 X,Y的聯(lián)合分布函數(shù)為 F x,y，邊緣分布函數(shù)分別為 FFY y ,那么 P X > x,Y > y 二A1-Fxx Fy yB11-FxX乩1-Fy y _c2-Fxx -Fy y+F x, yD1-Fxx- Fy y + Fx, y【答案】D.【解析】設(shè)A = X <x , B = Y < y，那么FX x =P X x ,F

6、Y y = PYy,F x, y 二 PX 工 x,Yy 所以P X >x,Y >y = P AB = P A+ B= 1-P A+B= 1-P A -P B +P AB= 1-Fx x -Fy y +F x, y所以正確答案為D8設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(0, 2), X1,，Xn是取自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，其均值、方差分別為 X, S2.那么學(xué)習(xí)文檔僅供參考一2XAX_F(1, nS21)2(n 1)XB 2F(1, nS21)2nX -。丁F(1,【答案】C.【解析】1)F(1, n1)XN 0,(7Jn0,1(7n-1 S2而_2n-1 S2所以2一(7所以正確答案為二、填空

7、題：9(9)函數(shù)f(x)2n (n一2nX仃2.22/ n1 ,且X與S相互獨(dú)立2 j”1n -1 仃 2-n-1 S2彳k廣12nXF 1,n- 1S2C.14小題，每題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫在答題紙,指定位置上.ln(1 2x)的麥克勞林公式中xn項(xiàng)的系數(shù)為2n(n 1)!n!2n(n 1)!(1 2x)nf(n)(0)2n(n 1)!,故xn項(xiàng)的系數(shù)為1)!O(10)微分萬程y 2y 4y0的通解為y【答案】y ex(c1cos、3xq sin J3x),c1,c2為任意常數(shù).【解析】齊次特征方程為21,21、,3i學(xué)習(xí)文檔僅供參考故通解為e x(Gcosj3x 02 sin J3x

8、) , c1,c2 為任意常數(shù)(11)ay dx2 2xydy為某函數(shù)的全微分,那么 a .2x y【答案】a 1.2525解析由題意可得，上4ax,y 2ay_Q4x,y 2y，故ay(2x y ) x(2xy )(12)哥級(jí)數(shù) ( n 21)n 1nxn 1在區(qū)間(1,1)內(nèi)的和函數(shù)S(x) 2x x2(1 x)2n 1 n 1n 1 n【解析】(1) nx ( 1) xn 2n 222x 2x x21 x (1 x)13設(shè)見尸為四維非零的正交向量，且A -叨T ,那么A的所有特征值為 .【答案】0,0,0,0 【解析】設(shè)矩陣 A的特征值為4 ,那么A2的特征值為22由風(fēng)齊為四維非零的正交

9、向量 => / o 0從而A2 =叫下姐T=值/尹儀萬丁二0所以A2的特征值又2 = 0 => A的特征值為0= 0所以4階矩陣A的4個(gè)特征值均為0.14 設(shè)二維隨機(jī)變量 X,Y 服從正態(tài)分布N ”,”;療2戶2;0,那么cov X, XY2 =.【答案】仃2 口2 + *2【解析】X,YN凡/爐產(chǎn)2;0=E X =凡E Y 二 RD X 二b 2,D Y =2,/Y= 0所以QXY =0 = X與Y相互獨(dú)立n X2與Y2相互獨(dú)立，X與Y2相互獨(dú)立E X2 =D X +E X 丁 = /+/同理 E Y2 =/ +2從而cov X,XY2 =E X2Y2 -E X E XY2=E

10、X2 E Y2 -E X E X E Y2二 er2 +*2 2 _必272 + ,小=(72 <72 +答題紙指定位置上.解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟 15此題總分值10分設(shè)函數(shù)f U在0,內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且z f Jx2 y2滿足等式2 yz x xz y一y2z,假設(shè)f 00, f 01,求函數(shù)f u的表達(dá)式.【解析】(I)由于題目是驗(yàn)證，只要將二階偏導(dǎo)數(shù)求出來代入題目中給的等式就可以了2x22x yz;f x2y2Jy丁 22 x2 X y 22；x_y22x y同理2z2 y2z2y2x22x y2y22x y122x y2y22 3 2x y2 x2 32 y2z,

11、即 f (u) f (u):那么對(duì)應(yīng)的特征方程為故 f(u) C1e2x C2ex.y2),2f(u).r2 r 2 0 , r1 1,r22,一111 院一由f0 0,f 01,得 C1,C2,即 f(u) e -ex333316此題總分值n k ln n k In n10 分求 lim 2n k in1【答案】-.4【解析】原limnn k 2 ln(1k 1 n1o xln(1 x)dx1 1212 1-0 1n(1 x)dx -(ln(1 x) x 01x21 1 dx)x17此題總分值10分設(shè)函數(shù)fx連續(xù)，且xtf 3x t dt0【arccotx： 2:2. f3求 f x dx的

12、值.2【解析】令u 3x t,那么t 3x u ,所以dtxtf 3x t dt02x(3x u) f u du3xx12du代入 tf 3x t dt arccotx023x2 (3x u) f u du3x3xf2xdu3xuf u2xdu1arccotx 23x將等式3x2x3x化簡(jiǎn)得u du3xf2xuf u du2x12 一-arccotx兩邊對(duì)x求尋得 2du 3M3 f (3x) 2f(2x) 3xf (3x) 3 2xf (2x)2x1 x43xf2xx du 2xf (2x) i1 x31令x 1得，3 f u du 2f (2),，化簡(jiǎn)得2113f u du218此題總分值

13、10分設(shè)y f (x)是區(qū)間0,1上的任一非負(fù)連續(xù)函數(shù)，f(x)在區(qū)間2 f (x)一 1 一(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f (x)，試證明在(0,1)內(nèi)，xf (x) f (t)dt 0存在唯一頭根xx11【解析】(1)要證 x0 (0,1)，使 x0 f (5)f(x)dx;令(x) xf (x) f (t)dt ,要證x)xx0 (0,1)，使(x0) 0 .可以對(duì)(x)的原函數(shù) (x)(t)dt使用羅爾定理:(0) 0,又由理,(2)中的1(1)0分部f (x)在0,1連續(xù)11 1(x)dx 0xf(x)dx0( x f(t)dt)dx1xf01(x)dx xxf(t)dt(x)在0,1連續(xù),

14、10xf(x)dx 0,(x)在0,1連續(xù)，在(0,1)可導(dǎo).根據(jù)羅爾定x (0,1)，使()(%) 0.由(x) xf (x) f(x) f (x) xf(x)2 f (x)0,知(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)增，故(1)x0是唯一的.19此題總分值10分計(jì)算曲面積分1,-dS,其中 z是球面22、，一一za被平面z h(0 ha)截出的頂部。【答案】2 alna h【解析】由題意可知,1dS za-22dxdy, Dd a x y(x, y)22ia h dxdy y2a2 h2 ra d00a2dr r,aaln .h20此題總分值11分設(shè)生產(chǎn)2，叮3,叮4,#均為四維列向量,A-b1產(chǎn)2,4

15、,% ,非齊次線性方程組AX =廣的通解為k -1, 2, 0, 3+ 2, -3,1,(I)求方程組/，電，%X一用的通解;(n)求方程組 /,%,%,%+/，X一用的通解.【解析】(I )由AX 的通解為k -1,2, 0,T 3+2, -3,1,一1可得 r A =r A|二3,A0,A-3q,肛 火, 生r-r20、3,2、-31、5,二一比1 + 2鼠 2 + 34 = 0 =2岡一3%+13+54 =力所以可由 %,a3,a4線性表出， 戶可由%,%,%,火線性表出即 用可由線性表出從而 r 紇，% % 二r %, %,%,尸=3所以方程組 %,%,% X -只有唯一解+2X 得

16、£二% +4+11%所以程組 &,%,% X一的唯一解為X =1,1,11 T；可由線性表出。2,13,。4234（ 八一120=03(n)由(I)可得。1可由。243,口4線性表出, 1234經(jīng)初等行變換從而 %,%,%必,%+6,0T002M3,%,0,0所以 r /%,%+#/ =r。2,4,町=3<5所以齊次線性方程組的 q,%,%,%,%+ X=0根底解系中有2個(gè)線性無關(guān)的解向量,非齊次線性房出租q,%,%,%+尸X -#有無窮多解由（I）中的 % +2%+3% =0= aaaaap2q 34+%+5%=f即2、-32跖-3% +% + 5。4 一A =00

17、%,6,%,%,%+/1 =0611所以線性無關(guān)且用%+ X0的根底解系為410由 %,%&4,%+B0 =B-1/ 2 '-3可得 /，%,%,%,%+川X 一戶的一個(gè)特解為刀二15<0/所以4,%+-X尸的通解為:ki20 +k23k2是任意常數(shù)）6x2x321此題總分值 11 分設(shè)二次型 f x1,x2,x3, =5x12 + ax22 + 3x32 -2x1 x2 + 6x1 x3的1 0 0、矩陣合同于 010.10 0 0 ）（i）求常數(shù)a ；（n）用正交變換法化二次型 f x1, x2, x3為標(biāo)準(zhǔn)形.5 -1 3、【解析】（i）此二次型對(duì)應(yīng)的實(shí)對(duì)稱矩陣 A

18、 = -1 a -3、3 -3 3?1 0 0、因?yàn)閷?shí)對(duì)稱矩陣A與0 1 0合同<0 0 0,所以|a| = 0而 A=6 a 5 = 0,解得 a = 55-冗 -13（n） A -Ae = 1 5一3 二2 4北幺一9二03-3 3 一 冗解得矩陣A的特征值為 4=04=4 4= 91， 2， 3當(dāng)4二0時(shí)，解齊次線性方程組 AX =0，5a 二 r<35一3經(jīng)初等行變換3)10-1 12 -1001解得4 =o對(duì)應(yīng)的一個(gè)線性無關(guān)的特征向量為%二i、2 ，當(dāng)4 =4時(shí)，解解齊次線性方程組 A 4E X = 0IA -4E =-1經(jīng)初等行變換1-3-0 0(003、10，I解得A

19、2 =4對(duì)應(yīng)的一個(gè)線性無關(guān)的特征向量為% = 1。當(dāng)4 =9時(shí)，解解齊次線性方程組 A-9E X = 01A-9E =-1<3經(jīng)初等行變換-3->0 1-1Jj 1,解得2 =9對(duì)應(yīng)的一個(gè)線性無關(guān)的特征向量為以3二 一133因?yàn)榫仃嘇有三個(gè)不同的特征值，所以三個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量均正交將，&2, %單位化得 , , ,/116Q26)111不1加0從而正交變換矩陣1 、61.62J6121721 、 不 _ 1 一國122在正交變換X = QY ,使得f 4y2十9y3 .22此題總分值11分將三封信隨機(jī)地投入編號(hào)為1 ,2,3,4的四個(gè)郵筒.記X為1號(hào)郵筒內(nèi)信的數(shù)目，Y

20、為有信的郵筒數(shù)目.求：I（X,Y）的聯(lián)合概率分布；nY的邊緣分布；出在X 0條件下，關(guān)于Y的條件分布.【解析】IX的所有可能取值為0,1,2,3 ;Y的所有可能取值為1,2,3從而（X,Y）的所有可能取值為0,1，0,2，0,3，1,1，1,21,32,12,22,33,13,23,3P X =0,Y =1P X =0,Y =2P X =0,Y =3C3_ 3C4c4c464C32C3c2 _ 18 _ 9C；C；c46432P3_ 6 . 3C4c4c464 32P X =1,Y =1 =0P X =1,Y =2P X =1,Y =3c3c3c4c4 c496412c3 只2 _ 18_ 9

21、c4c4c46432P X =2,Y =1 =0P X =2,Y =2c32c3 _ 9c4c；c：64P X =2,Y = 3 二 0 所以（X ,Y）的聯(lián)合概率分布為7一12303/649/323/32109/649/32209/64031/6400nY的所有可能取值為1,2,3由（X,Y）的聯(lián)合分布律得P Y =1=P X =0,Y=1 +P X =1,Y = 1 +P X =2,Y = 1 +P X = 3,Y = 1= 4 = 164 16P Y =2=P X= 0,Y= 2 + P X = 1,Y = 2 +P X=2,Y = 2 +P X =3,Y =2二 36 二264 16P Y =3=P X = 0,Y = 3 + P X = 1,Y = 3 +P X =2,Y =3 +P X =3,Y =3= 24 = 364 8二 2764所以Y的邊緣分布Y123P Y k1/169/163/8出Y的所有可能取值為1,2,3P X 二0 二P X = 0,Y = 1 +P X = 0,Y = 2 +P X = 0,Y = 3從而P Y T X 0P X -0,Y-11P X -09P Y =2 X =