-行-列-式---試驗(yàn)教學(xué)示范中心

1、第一章 行 列 式課題】第 1 講 排列及其逆序數(shù)、n 階行列式的定義學(xué)時(shí)數(shù)】2教學(xué)目的】1.理解排列及其逆序數(shù)的概念；2.熟練掌握二、三階行列式的計(jì)算教學(xué)重點(diǎn)】二、三階行列式的 計(jì)算教學(xué)難點(diǎn)】三階行列式的展開式教學(xué)過程】§1.1 排列及其逆序數(shù)一、 排列與逆序的概念1、排列問：現(xiàn)在給 1,2,3,4 ,四個(gè)數(shù)字, 能夠組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？ 4! 24個(gè), 4231 就是一個(gè),且是一個(gè)排列, 1234稱為標(biāo)準(zhǔn)排列下面一般的給出定義定義 1.1.1 由 1,2, , n 這 n 個(gè)數(shù)組成的一個(gè)有序數(shù)組稱為一個(gè) n 階排列 ,記為 p1p2 pn,其中排列12 n稱為標(biāo)準(zhǔn)排列

2、.1,2, ,n 的 n 階排列共有 n n 1 n 2 L 2 1 n! 個(gè).2、逆序數(shù)定義 1.1.2逆序 在一個(gè) n 階排列中, 當(dāng)某二個(gè)數(shù), 較大的排在較小的前面, 那么稱這兩個(gè)數(shù)有一個(gè) 逆序 ,逆序數(shù) 這個(gè)n階排列中所有逆序的總數(shù)稱為該排列的逆序數(shù).排列 p1 p2 pn 的逆序數(shù)記為p1 p2 pn偶排列 當(dāng)逆序數(shù)為偶數(shù)時(shí),稱這個(gè)排列為 偶排列 ,奇排列 當(dāng)逆序數(shù)為奇數(shù)時(shí),稱這個(gè)排列為 奇排列 .假設(shè) pi i 2,3, ,n 的前面有 ti 個(gè) 比它大的數(shù), 就說 pi 的逆序數(shù)是 ti . 那么排 列np1 p2pn 的逆序數(shù)為：t2t3tnti .i2例1 423151130

3、5,是奇排列；5341211338,是偶排列；問： 123450是偶排列 .12 n0是偶排列 .標(biāo)準(zhǔn)排列的逆序數(shù)為 0二、 對(duì)換及性質(zhì)對(duì)換 在排列中 , 對(duì)調(diào)任意兩個(gè)元素 , 其余元素位置不變 , 而得到新排列的做法叫做 對(duì) 換,相鄰兩個(gè)元素的對(duì)換 , 叫做相鄰對(duì)換 .現(xiàn)看 423151 1 305413251 1 2 04 為偶排列為奇排列5341211 3 3854312123 39性質(zhì)1 一個(gè)排列中,任意對(duì)換兩數(shù),那么排列改變奇偶性 證見書略性質(zhì)2 偶排列變成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為偶數(shù),奇排列變成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為奇數(shù)例如321541,3對(duì)換5,4對(duì)換1235412345證可略 由于標(biāo)

4、準(zhǔn)排列的逆序數(shù)為 0,是偶數(shù),再由定理 1.1.1知對(duì)換一次,奇偶 性改變一次,從而偶排列變?yōu)榕寂帕?其對(duì)換次數(shù)應(yīng)為偶數(shù),奇排列變?yōu)榕寂帕? 其對(duì)換次數(shù)為奇數(shù)1.2n階行列式的定義、二階與三階行列式1、二階行列式用消元法解二元一次方程組a11x1a?1 Xa12X2d,a?2 X2b?.(1)為消去未知數(shù)X2,以第一個(gè)方程乘以a22減去第二個(gè)方程乘以a12,得811822玄12玄21Xa22匕2玄12,類似地可消去X1,得ana22當(dāng) a1a22a2a210 時(shí),求得b1 a 22b2 a12X1aa22 a 12 a21為了便于記憶,引入下面定義.定義1.2.1*12*21 X2b： a1b

5、 a：1 ,X2b： a1ba21aa22a2 a 21a21由四個(gè)數(shù)an,a12,a21,a22,排成二行二列橫排為行,豎排為列12所確定的表達(dá)式a11a22a22&2a21稱為二階行列式,記為a11a12a21a22a11 a22a2a21的數(shù)表1,2; j 1,2稱為行列式3的元素,第一個(gè)下標(biāo)i稱為行標(biāo),第二個(gè)下標(biāo)j其中數(shù)aij i 稱為列標(biāo),數(shù)aij表示是位于行列式的第i,第j列的元素.如圖1.1中an至a22的實(shí)聯(lián)線稱為主對(duì)角線,a12至a?1虛聯(lián)線稱為副對(duì)角線,于是二階行列式的值等于主對(duì)角線上兩個(gè)元素的乘積減去副對(duì)角線上二個(gè)元素的乘積,這種計(jì)算方圖1.1法稱為二階行列式的對(duì)

6、角線法那么.例1計(jì)算二階行列式=154 =19.312b|322a2 b?,b23nb|321b2322假設(shè)記D311厲2,D1b1312,D2311321322b2322321可寫成ai2b1 b2利用行列式的定義,式中的分子也可寫成二階行列式,即1tha21b2XiDia22a11 a12X2bib2a11a21,那么式,即方程組的解b1b2a11 a12a21 a22a21 a22注意,這里的分母D是方程組1中的未知數(shù)的系數(shù)按原次序排列而成的二階行列式,D1是用常數(shù)項(xiàng)b1,b2替換D中X1的相應(yīng)系數(shù)311.321而得到的二階行列式,D2是用常 數(shù)項(xiàng)b1,b2替換D中X2的相應(yīng)系數(shù)a12月

7、22而得到的二階行列式.例2解二元一次方程組3%2%X24x25,6.a31a32a33解由于所以D1D214X11412201,18X210D2D14 0;14;28;282.14F面類似的定義三階行列式2、三階行列式定義1.2.2由329個(gè)數(shù)排成三行三列的數(shù)表a11311312313321322323331332333a12a13并記a21a22a23&1&22933&3&21&32&2&23&31&13&22&31&2&21&33&11&23直2那么式稱為數(shù)表所

8、確定的三階行列式.三階行列式所含6項(xiàng)的元素及符號(hào)可按圖 1.2記憶,即三階行列式的值等于各實(shí)線上三 個(gè)元素乘積之和減去各虛線上三個(gè)元素乘積之和.這種計(jì)算方法稱為三階行列式的對(duì)角線法那么.圖1.2例3 計(jì)算三階行列式1 2 3D 04 524 100 12 0 0261 0 6從三階行列式的展開式中,我們看出有如下的規(guī)律現(xiàn)只用三階行列式說明：1 三階行列式是一個(gè)數(shù),它為3 ！ =6項(xiàng)的代數(shù)和.2每一項(xiàng)都是三個(gè)元素的乘積,這三個(gè)元素是取自不同行及不同列的元素,且每行 每列只能有一個(gè)元素.3 對(duì)于項(xiàng)a1p1a2p2a3p3,其中P1P2P3為數(shù)1,2,3的一個(gè)全排列,當(dāng)P1 P2 P3為偶數(shù)時(shí)a1P

9、1 a2P2a3P3前面取正號(hào)；當(dāng)P1P2P3為奇數(shù)時(shí)a1P1 a2P2a3P3前面取負(fù)號(hào)；這樣三階行列式的每一項(xiàng)可以寫成所以,三階行列式可寫成“ P1P2P31a1P1a2P2a3P3.a12a22a32a13a23a33.P1P2P31a1 P1 a2 P2 a3a11a21a31二、n階行列式的定義定義1.2.3由n2個(gè)數(shù),排成n行n列的數(shù)表ana12na21a22a2nan1an2a nn并記3i13i2L31 nD321322L32nMMM3n13n2L3nn.(PiP2L Pn),1a1pia2p2L anpn .稱此式為上述n行n列的數(shù)表所確定的n階行列式.其中p1 p2 pn為

10、1,2, ,n的一個(gè)排列, 表示對(duì)一切n階排列求和；6式右邊的和 式稱為n階行列式D的展開式；顯然D的展開式中共有n!項(xiàng),其中每一項(xiàng)都是取自 D的不 同行、不同列的 n個(gè)元素的乘積,而且每個(gè)乘積項(xiàng)前面所帶符號(hào)的規(guī)律為：當(dāng)逆序數(shù)P1P2Pn為偶數(shù)時(shí)取正號(hào),而當(dāng)逆序數(shù)P1P2Pn為奇數(shù)時(shí)取負(fù)號(hào)行列式有時(shí)簡記為 D det 3ij , 3ij i 1,2,n; j 1,2, ,n表示行列式 D中第i行第j列的元素特別的,當(dāng)n 1時(shí),311主對(duì)角線以下上的元素都為例4證實(shí)下三角行列式an稱為一階行列式,注意不要與絕對(duì)值記號(hào)相混淆0的行列式叫做上下三角行列式311321322331332a3331132

11、23nn 3n1an2an33nn證由行列式定義,其展開式的一般項(xiàng)為3npn,第二行中,只有321 , 322可能不為 所以321不能取與311同列,故只能取322,即P22 ；這樣繼續(xù)下0的項(xiàng)只有一項(xiàng)在D中,第一行只有an可能不為0,那么取0,而a11已經(jīng)取了,去,D中可能不為又由于 12n 0為偶數(shù),D符號(hào)取正,311322例如同理有上三角行列式類似可推得311031232231p132p2P11 ；12 n311322所以得3 nn .2?4?3?531331n323a2n3 nn120313223nn3nn由上(下)三角行列式計(jì)主對(duì)角線以上和以下的元素都為從n階行列式定義知,其任一項(xiàng)由

12、列標(biāo)的排列P1 P2 Pn經(jīng)過k次對(duì)換變成標(biāo)準(zhǔn)排列 12 也經(jīng)過k次的對(duì)換后變成S1S2 Sn,即有n個(gè)元素相乘構(gòu)成,而乘積有交換律.如果把該項(xiàng)的n.這時(shí)其相應(yīng)的行標(biāo)排列 12 n00000a1n0000a2,n 1a2n000a3,n2a3,n 1a3n0an 1,2an 1,3an 1,n2an 1, n 1an 1,nan 1an2an3an ,n2an,n 1annana12a13a1n 1a1na21a22a23a2n 10n(n 1)an 11an 12000(1)2 a1n a2nan10000D0的行列式叫做對(duì)角行列式1a3n 2 an1 -算方法,可直接得又由定理1.1.2知

13、p1 p2Pn與S1S2Sn有著相同的奇偶性,那么有(1)(P1P2Pn)a1P1 a2p22刁nPn(1)(S|S2Sn )asjaaSnn這樣,可以給出n階行列式的另一-個(gè)定義定義1.2.3 ' n階行列式定義為a11a12a1nDa21a22a2n(1)(s1s2Sn )an1an2annn as11as22asnn .anpn 一 aS| 1aS2 2a1p1 a2p2小結(jié)：本次課我們學(xué)習(xí)了排列及其逆序數(shù)的概念及的定義,重點(diǎn)要掌握二階和三階行列式 的計(jì)算.作業(yè)：P2425習(xí)題一 1、3、5(1)(5)【課題】第2講行列式的性質(zhì)【學(xué)時(shí)數(shù)】【教學(xué)目的】1理解掌握行列式的性質(zhì);【教學(xué)

14、重點(diǎn)】【教學(xué)難點(diǎn)】【教學(xué)過程】2. 熟練應(yīng)用行列式的性質(zhì)計(jì)算行列式 應(yīng)用行列式的性質(zhì)計(jì)算行列式 行列式的性質(zhì)的靈活運(yùn)用§ 1.3行列式的性質(zhì)本節(jié)介紹當(dāng)n階行列式的n較大時(shí),用行列式的定義計(jì)算其值是很麻煩的,計(jì)算量大 用行列式的性質(zhì),可以把復(fù)雜的行列式化為簡單的行列式進(jìn)行計(jì)算.現(xiàn)看什么是轉(zhuǎn)置行列式160125例如D23421 120 8457 ,貝y D630507047那么稱D為D的轉(zhuǎn)置行列式.D .=21 + 120 84= 57行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等,即D性質(zhì)1 證略這個(gè)性質(zhì)說明了, 在行列式中行和列所處的地位是相同的 對(duì)列也同樣成立；反之亦然.交換行列式的兩行列6,因而但凡

15、對(duì)行成立的性質(zhì),性質(zhì),行列式的值變號(hào)D12112084841202157,交換D的1.2兩行得57,a11a12a1n設(shè)n階行列式Da21a22a2n5an1an2annD的行變成相應(yīng)的列后得到的行列式記為厲1a21an1dta12a22an2a1 na2nann將如果行列式中有兩行列的對(duì)應(yīng)元素相同,那么這行列式的值為零推論證 現(xiàn)將行列式D中元素相同的兩行互換,那么仍為D ;但由性質(zhì)2這時(shí)其值為k乘以此行列式.即推論外面推論Oiiai2ainaiiai2ainDikaiikai2kainkaiiai2ainanian2annanian2annnDikaiPianpai Pi a2P2i) (

16、Pi P2 Pn)如果行列式的某行kD .iPP2L Pnapa2p2L ai L列的所有元素有公因子,那么公因子可以提到行列式符號(hào)anpnkD.假設(shè)行列式有兩行列的對(duì)應(yīng)元素成比例,那么行列式的值等于零即 D = D,所以 DO.性質(zhì)3用數(shù)k乘以行列式的某一行列的所有元素,等于以數(shù)這是由于由推論i,先把行列式的成比例的兩行的比例系數(shù)提到行列式符號(hào)外面后,那么 行列式的這兩行的對(duì)應(yīng)元素相同,再由性質(zhì)2的推論可知這個(gè)行列式的值等于零 性質(zhì)4如果行列式D中的某一行列的每一個(gè)元素都由二個(gè)數(shù)之和組成,那么即假設(shè)成為兩個(gè)行列式之和,aiiai2ainbi ciibi 2ci2bin Cinanian2an

17、naiiai2ainaiiai2ainDibiibi2bin,D2ciiG2Cinbnibn2bnnbnibn2bnn那么DDiD2 .證D(i) (P1P2 Pn)a a(1丿apa2p2(biPiCiPi )anPn(i) ( pi p2 Pn)a a(l)ai pi a2 p2bPianPn(i)(PP2 Pn)aa(1丿aipa2p2CiPianPnDi D2.iOi 0 2例 計(jì)算 D i02 i 4i03 i 610102D1021410316100 1 0 21002141003161001001001 0 210011402001 1 6列式的值不變即a11a12La1 nMM

18、Mai1ai2LainDMMLaj1aj2LajnMMLan1an2Lan2證由行列式性質(zhì)4以及性質(zhì)3a11a12a1 rai1ai2ainD1aj1aj2a jnan1an2a na11a12La1 nMMMai1kaj1ai2kaj2Lain kajnMMMD1aj1aj2LajnMMMan1an 2Lann的推論2可得到a11a12a1 nkaj1kaj2ka jnD 0D .a j1aj2ajna n1an2a nn性質(zhì)5行列式的某一行列的所有元素加上另一行列的對(duì)應(yīng)元素的k倍,那么行為了表達(dá)行列式運(yùn)算過程中要用到的三種運(yùn)算,現(xiàn)用以下符號(hào)來表示:1、 用rirj表示行列式的互換第i行與第

19、j行；2、 k *表示行列式的第i行的每個(gè)元素乘以數(shù) k,稱為用數(shù)k乘以第i行；3、 ri krj表示行列式第i行的各元素加上第j行對(duì)應(yīng)元素的k倍,稱為第i行加上第j 行的k倍；冋理gCj ；kci ； Cikcj分別表示行列式互換第i列與第1213140提出21120321203511320351000第i列的各元素加上第例1計(jì)算132 2 D1 21 1j列對(duì)應(yīng)元素的k倍.列；數(shù)k乘以第i 列;3 124 321 1 144713121312r2r320111D 4r220111 204324500160447000112( 1)( 1)( 1)1122123412341234234122

20、101273D012701234101230004121200220022練習(xí)計(jì)算1234(8) 8例3 計(jì)算xaDaxaaxxxr2, r3rn都減 r10 x an1aan1axn1aaa0x00x aa0aa20 a2練習(xí)計(jì)算Dn 1000111a00匚0a20C2C3C2類推c000123例4計(jì)算2n階行列式行列式的空白處為零00000000.n/1 ca2an n 1an0nn 1anan11D2nC1C2nD C2C2n 1bba ba baabbabbabaCnCn 1a ba brn 1rnnn22、n(a b) (a b) (a b )小結(jié)：本次課我們學(xué)習(xí)了行列式的性質(zhì),重點(diǎn)

21、要掌握如何靈活應(yīng)用行列式的性質(zhì)來計(jì)算行列式.作業(yè)：P2425 習(xí)題一 5(6)(9)、6(1)(3)【課題】第3講 行列式按行列展開【學(xué)時(shí)數(shù)】 2【教學(xué)目的】1理解行列式的余子式和代數(shù)余子式的概念；2熟練掌握按某行列展開行列式來計(jì)算行列式；3熟練掌握按k行列展開行列式來計(jì)算行列式【教學(xué)重點(diǎn)】按某行列展開行列式來計(jì)算行列式【教學(xué)難點(diǎn)】按某行列展開行列式來計(jì)算行列式【教學(xué)過程】§ 1.4行列式按行列展開上一節(jié),用行列式的性質(zhì),把行列式化為三角或下三角行列式的方法計(jì)算行列式的值,下面要介紹的內(nèi)容就是如何把高階行列式化為低階行列式來計(jì)算的方法現(xiàn)看三階行列式a11a22a333|3a21a32

22、a12a23a31£1|3&22直1£1|2&2£33&11&23&32a31a32a33a11a22a33a23a32a2 a21a33a23a31a22a23a21a23a21a22a11a32a33a12a31a33a13a31a32aiiai2ai3a22a23a13 a21a32a22 a31a21一、行列式的余子式和代數(shù)余子式定義1.4.1在n階行列式中,把元素 aj所在的第i行和第j列劃去后,由剩下的元素 按原有的次序構(gòu)成的 n 1階行列式稱為aj的余子式,記為 令Mj.例如a22a23a21a23a21 a2

23、2a11a123a32a33a31a33a31a321i jMj,稱為元素aj的代數(shù)余子式a22a23a32類似是an的余子式,其代數(shù)余子式為1 1a22a23a22a23a32a33a32a33a2121 1A11a12的代數(shù)余子式為A盹的代數(shù)余子式為 A311a21a23a22a21a23a21 a22a31a32a31a32anai2ai3所以 Da2ia22a23aii Aiiai2A12913A13a3ia32a33二、行列式按某行列展開定理1.4.1 n階行列式 D det訐 數(shù)余子式乘積的和,即D aiiAi ai2Ai2 LD aij Ai j a2 j A2j L等于它的任意

24、一行列的各元素與其對(duì)應(yīng)的代a An, a nj Anj , (j(i 1,2,L , n).1,2,L ,n).定理1.4.2 n階行列式Ddetajj的代數(shù)余子式乘積的和等于零,即的某一行的元素與另一行列對(duì)應(yīng)元素ain Akn anj Anki k, j k.證 作一個(gè)行列式Di,使Di的第i行與第k行的對(duì)應(yīng)元素相同,即ai1 Akiai 2Ak2aij Aik a2 j A2k0,0,DiaiiMai1Mai1Man1ai2Mai nMai2Mai2Man2ainMainMan2400,再將Di按第k行展開,就有k,k,aii Aki 同理可證a1j A1k綜合上面兩個(gè)定理的結(jié)論,對(duì)行而言

25、對(duì)列而言D,(ik),0,(ik).D,(jk),0,(jk).naij Akj j 1naij Aik1例1計(jì)算4階行列式按D展開311251115134 Ci2C3111312011C4C001015335530511511按C31111bri60“ 1 36 22155550550iD1 3 3 1由行列式性質(zhì)2推論知D1ai 2Ak2ain Akn0,ia2 j A2kanj Ank0,j得到代數(shù)余子式的重要性質(zhì)：例2計(jì)算4階行列式D42解 d4 aa0baaaaaba ca c a按1展開bb2b2(ac2)a2b2c2.例3證實(shí)范德蒙德(Van derm onde)行列式這里DnX

26、12X1Mn 1X(XiX22X2Mn 1X2Xj)X32X3Mn 1X3(X2Xn2XnMn 1Xn(XiXj)證用數(shù)學(xué)歸納法:(1)當(dāng) n = 2 時(shí),D2X2(X3 X2)L(Xn X1)(XnX2)L L L L L(XnXn 1).X1 .所以,命題成立.X1X2(2)假設(shè)對(duì)于n1階范德蒙德行列式結(jié)論成立,即對(duì)Dn從第n行起,各行減去前一行的X1倍,得到11110(X2Xj(X3xj(XnX1)Dn0X2(X2X1)X3(X3X1)Xn(XnX1)0x； 2(X2X1)n 2/X3 (X3X1)n 2 /Xn (XnX1)Dn1 1j1(X £)現(xiàn)證實(shí)對(duì)于n階行列式也成立按

27、c1展開,并提取各列的公因子x2X1X3X1XnXiX2X3nX2n 2X3n 2Xn由假設(shè)(X2 xj% xJL(Xn xj?Xj) 1(xXj)成立例4計(jì)算n階行列式二、行列式按k行列定義1.4.2 在n階行列式D中,任意選定k行及k列1 叉處的k2個(gè)元素,按原來順序構(gòu)成一個(gè)展開行,k列后,余下的元素按原來的順序構(gòu)成一個(gè) 式；假定N所在的行的序數(shù)是k階行列式N,稱為 n k階行列式i1 ,i2, ,ik,所在的列的序數(shù)是1i1, i2 L ik j1 j2 L jk mk n,D的一個(gè)M,叫做k階子式N的余子J1, J2, Jk '那么位于這些行及列交k階子式劃去這k123n111

28、13亠332亠22123n123n555各列提4412535nn !12434n公因子'2n 1c2n 12n 1Mn 2c2n 22n 2123n123ni2 J2 In1 jDn假設(shè)在n階行列式D中,取定某k行1 k n,那么這k行 D .證實(shí)略解取定第一、二行,3N1且不為零的二階子式只有233個(gè),即1其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式分別為A ( 1)1因而有16 ,N210,1)12D N1A1 N2A2 N3A316A20105,N3(1)10,123030.12 ,0 100叫做k階子式N的代數(shù)余子式定理1.4.3拉普拉斯定理的元素組成的所有k階子式分別與它們的代數(shù)余子式的乘積之和等于例

29、4 利用拉普拉斯定理計(jì)算四階行列式DDd0ana1kbnbmDD1U,其中D1,DCD23k13kkbn1bnn證實(shí)：D Di D2.將D按前k行展開,由于前k行的k階子式除Di外全為零,而Di的代數(shù)余子式是r 1 rD2 D2 ,所以,由拉普拉斯定理得D Di D 2.(1)142010012100例6求D012002613530924小結(jié)：本次課我們學(xué)習(xí)了按某行列展開行列式和按k行列展開行列式來計(jì)算行列式.作業(yè)：P2425習(xí)題一 714【課題】第4講克萊姆法那么【學(xué)時(shí)數(shù)】1【教學(xué)目的】1熟練掌握用克萊姆法那么解線性方程組；2.熟練掌握用克萊姆法那么解齊次線性方程組【教學(xué)重點(diǎn)】用克萊姆法那么

30、解線性方程組【教學(xué)難點(diǎn)】用克萊姆法那么解線性方程組【教學(xué)過程】§ 1.5克萊姆法那么現(xiàn)在,我們應(yīng)用n階行列式來解含有n個(gè)未知量的n個(gè)線性方程的方程組、克萊姆Cramer法那么定理1.5.1克萊姆法那么假設(shè)線性方程組a11x1a12X2La1nXn821X1822X2La2n Xnb2,LL L L LLL L Lan1x1an2X2Lann Xnbn -的系數(shù)行列式D那么方程組有且僅有唯一解ana12a1na21a22a2nan1an2ann0.Xi,X2D2D,Xn這里Di是把D的第i列元素aii,a2i,ani換成方程組1的常數(shù)項(xiàng)bi ,b2,bn得到的行Dx1a1 xa12a1

31、n821X1a22a2nann可類似推得當(dāng)D豐0時(shí),有Xic1x jcja1 Xa21 Xai2X2*22X2(j 2,3,n)an1 X1an2X2b1a12b：a 22bnan2DxiDi ,(ianlX1an2D1D2DnD,X2 D, ,Xn Da1nXna2n Xn32a22Cna2nannXnan2anna1 na2nD1.ann2丄,n,(2)這就證實(shí)了 ：線性方程組1當(dāng)D工0時(shí),如果有解,那么就只是2式現(xiàn)在驗(yàn)證2式是方程組1的解,也就是要證實(shí)D1D2ai1ai2DD即ai1D1ai2D2考慮有兩行相同的n1階行列式ain-Dbi, (i 1,2,n),ainDn bDbi3i1Lba11Lb?a?1LM Mbn