14度量空間的列緊性與緊性

1、1.4度量空間的列緊性與緊性度量空間的緊性 Compactness在微積分中，閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)具有最大值、最小值、一致連續(xù)等，這些性質(zhì)的成立基于一個重要的事實：R的緊性，即有界數(shù)列必有收斂子列但這一事實在度量空間中卻未必成立.例1.4.1 設(shè)XL1 2, f |(L)| f(x)|2dx，對于 f,gX，定義12od(f, g) (| f (x) g(x) | dx),令fn (x)sin nx,證明由于那么fn(X)是有界的發(fā)散點列.1d(fn,0)(| fn(x)0|2dX)'1(sin nx)2dx)"2dx1cos2nx 2dx2所以 fn (X)為有界點列對于任意

2、的n,mN，有1d (fn, fm)(| sin nx sinmx | dx)22cos 2n . n m x sin x212 2dx1 cos(n m)xcos(n m)xdx(12(3) 列緊集必是有界集，反之不真.證明 、易證.下面僅證(3).假設(shè)A X是列緊集，但 A無界取Xi A固定，則存在X2 A，使得d(Xi,xO 1 .對于 XX，必存在X3 A，使得d(Xi,X3) 1、d(X2, X3) 1 .由于A是無界集，可依此類推得到X的點列Xn滿足：只要i j，就有d(X,Xj) 1 .顯然點列Xn無收斂子列，從而 A不是列緊集 導致矛盾，故 A是有界集.反過來，A是有界集，A未

3、必列緊.反例：空間 X L2,上的閉球B O(o,.、)有界， 而不是列緊集(見例1.1) .注2: R中的開區(qū)間(0,1)是列緊集，卻不是緊集.(由于R中的有界數(shù)列必有收斂子列， 所以(0,1)中的數(shù)列必有收斂子列，但(0,1)不是閉集，故列緊不緊.)注3:自然數(shù)N=1,2,L, n,L不是列緊集.(N無界)推論(1)緊空間是有界空間；(2)緊空間是完備空間.證明(1)若X為緊空間，那么X本身為列緊集，而列緊集有界，故X為有界空間.(2)若X為緊空間，即它的任何點列有收斂子列， 從而知X中的基本列有收斂子列， 根據(jù) 基本列的性質(zhì)(若基本列含有收斂子列， 則該基本列收斂，且收斂到子列的極限 )

4、，可得X中的 基本列收斂，因此 X為完備的空間.口關(guān)于n維毆氏空間Rn中的列緊集、緊集的特性有如下定理.定理設(shè)A Rn , Rn是n維毆氏空間，那么(1) A是列緊集當且僅當 A是有界集；(2) A是緊集當且僅當 A是有界閉集.證明(1)必要性顯然成立；利用閉球套定理可以證明：如果A是有界的無限集，則 A具有極限點，從而可證充分性.(2)由(1)易得.口注4:由于R中的非空緊集A就是有界閉集，定義A上的連續(xù)函數(shù)具有最大與最小值，這一事實在度量(距離)空間中依然成立.首先說明連續(xù)映射將緊集映射為緊集.弓I理設(shè)f是從度量空間(X,d)到(Y,)上的連續(xù)映射(稱為算子)，A是X中的緊集， 那么f (

5、A)是丫中的緊集.證明 設(shè)E f(A),首先證明E是丫中的列緊集.yn E , Xn A，使得yn f(«) , n 1,2,L .由于A是緊集，所以點列 Xn存在 收斂的子列XnJ，且XnkXo A，又知f是X上的連續(xù)映射，于是lim ynk lim f 他)f (x。) E .kk即yn有收斂于E的子列ynk，因此E為丫中的列緊集.再證E是閉集.設(shè)yn E , ynyo(n)，根據(jù)A的緊性和連續(xù)映射f可得，對應(yīng)的點列(yn f(Xn)存在收斂的子列Xnk , XnkXo A .從而y° nim yn kim ynk kim f(Xnk) f(X。) E ,即E是閉集.口

6、定理最值定理設(shè)A是度量空間X中的緊集，f是定義在X上的實值連續(xù)函數(shù)(泛函)，即f：X R，那 么f在A上取得最大值與最小值.證明 設(shè)E f(A)，由上述引理知 E是R中的緊集.所以E是R中的有界集，于是上、 下確界存在，設(shè)M supf(x)|x A , m inf f(x)|x A.下證M是f在A上取得的最大值，同理可證m是f在A上取得的最小值.由確界性的定義知，n ,xnA，使得f(Xn)M -n，即可得M-f(xJ nMM-n再由A為緊集知存在xnk) Xn,使得乂氐x*A(k),于F是Mf(X% ) nkM M1 nk令k，有 f (x*)M ,因此M是f在A上取得的最大值.度量空間中的

7、全有界性刻畫列緊性的重要概念之一是全有界性，通過以下的討論可知：(1)度量空間中的列緊集必是全有界集；(2)在完備度量空間中，列緊集和全有界集二者等價.定義網(wǎng)設(shè)X是度量空間，A,B X，給定 0 .如果對于A中任何點x,必存在B中點x'，使得d(x,x')，則稱B是A的一個網(wǎng)即AUO(x,)x B(X,d)BA圖4.1 B是A的一個 網(wǎng)示意圖例如：全體整數(shù)集是全體有理數(shù)的0.6網(wǎng)；平面上坐標為整數(shù)的點集是R2的0.8網(wǎng).定義全有界集設(shè)X是度量空間，A X，如果對于任給的0, A總存在 有限的 網(wǎng),則稱A是X中的全有界集注5 :根據(jù)定義可知A是X中的全有界集等價于0, 為必丄x

8、X ,使得nA U°（x,），其中O（x,）表示以x中心，以 為半徑的開鄰域.1引理1.4.2A是度量空間X的全有界集當且僅當0 ,X1,X2 ,L ,XnA,使得nA UO(X,).i 1證明當A是全有界集時，0， X1,X2,L ,XnX ,使得nA UO(X,)1 2.不妨設(shè)1 i n有 O(Xi,：2)l A,選取 y O(x, )I A2,顯然y, y2,l ,ynY以及O(xi, 2)O（y,），因此AnnUO(x) UO(y,).12i 1注6:在Rn中，不難證明全有界集與有界集等價，那么在一般的度量空間中這樣的結(jié)論 成立嗎？還是只在完備的度量空間中成立？下面給出有界集

9、和全有界集的關(guān)系.定理全有界集的特性設(shè)X是度量空間，A X，若A是全有界集，則（1） A是有界集；（2） A是可分集.證明（1）設(shè)A是全有界集，取1，由定義知，n N及Xi*,L ,斗 X ,使得nA U°（X，1） 1現(xiàn)令M 1 max d（X1, x），則易知A O（X1, M），可見A是有界集.2 i n（2）設(shè)A是全有界集，下證A有可列的稠密子集.1,使得由引理知對于n n （ n 1,2,L ），存在Bn 嬌卅）,L ,xk：） AknA UO（n）,_），下面證明UQ是A的稠密子集. i 1nXn°Bn0UBn，i 1110 ,存在n0N，使得一 ，由于Bn。是

10、A的一網(wǎng)，故nn°使 d(X,Xn。)n°，從而，心O（x,），即UBn在A中稠密，顯然UBn是可列集,i 1i 1分.口，定是全有界集.注7:由上述定理知全有界集一定是有界集，然而有界集卻不例如全體實數(shù)對應(yīng)的離散度量空間（R,d0）中的子集N =1,2 ,3丄是有界集，卻不是全有界集.定理全有界的充要條件設(shè)X是度量空間，A X ,則A是全有界集當且僅當 A中的任何點列必有基本子列. 證明（1）充分性 ：反證法.若A不是全有界集，則存在° 0 , A沒有有限的°網(wǎng),取x A，再取x2 A，使d(x，x2)o ,(這樣的x，存在，否則x1為A的0網(wǎng)).再取

11、x3 A ,使d(Xi,X3)o , d(X,X3)o (這樣的X3存在，否則Xi,X,為A的°網(wǎng)).以此類推，可得xnA，而xn沒有基本子列，產(chǎn)生矛盾，故A是全有界集.1(2)必要性 ：設(shè)Xn是A的任一點列，取k - , k 1,2,L，因為A是全有界集，故A存 k在有限k網(wǎng)，記為Bk .以有限集B-的各點為中心，以-為半徑作開球，那么這有限個開球覆蓋了A，從而覆蓋了 Xn，于是至少有一個開球(記為S)中含有X.的一個子列xk-) S .同樣以有限集B,的各點為中心，以2為半徑作開球，那么這有限個開球覆蓋了X&，于是至少有一個開球(記為S2)中含有xk的一個子列xk2) S

12、2 .依次可得一系列點列：xk-) : x；1),x21),x31),L ,xk-),L .xk2) : x-2),x22),x32)丄，xk2)丄.L丄丄丄.xk。 : x；i),x2i),x(),L ,x,L .且每一個點列是前一個點列的子列，取對角線元素作為X.的子列，即xkk) x-),x22),x33)丄，妒,L是Xn的子列.下證Xkk)是基本列.10 ,取K ,使得K -，那么當k, p K時，不妨設(shè)p k，則有xpp) £，記開K 2球Sk的中心為xk，那么有d(xPP),xkk) d(x(pp),x；)+d(x；,xkk)k k 2 k ,故xkk)是Xn的基本子列.

13、口推論豪斯道夫(Hausdorff)定理 設(shè)X是度量空間，A X .(1) 若A是列緊集，則 A是全有界集；(2) 若X是完備的度量空間，則A是列緊集當且僅當 A是全有界集.證明(1)因為列緊集中的任何點列都有收斂子列，故它必是基本子列，由上述定理145知A是全有界集；(2)必要性：由(1)知，度量空間中的列緊集一定是全有界集.充分性 ：X. A，因為A是全有界集，所以Xn含有基本子列Xnk，又知X完備， 于是Xnk在X中收斂，可見A的任何點列都有收斂 X的子列，即A是列緊集.口注9:對于一般的度量空間：列緊集是全有界集；全有界集是有界集，有界集卻不一定是 全有界集，全有界集卻不一定是列緊集.

14、例如：讓X表示0,1上的有理數(shù)全體，在歐氏距離定義下，由于lim-(1 -)n -，所以Xn 3 n 3不是完備的度量空間、X不是列緊集.由于 0 ,存在正整數(shù) n，使得1 ，那么1 2 n 10,-,-,L ,1是X的 網(wǎng)，所以X是全有界.n n n綜上所述，緊集、列緊集、全有界集及有界集、可分集有如下的關(guān)系：有界集緊集 列緊集 全有界集可分集緊集、列緊集宀全有界集閉完備定理146 Ca,b中點集列緊的的充要條件設(shè)A Ca,b，則A是列緊集的充要條件為以下兩條成立.(1) A 一致有界：M 0, x A，對任何t a,b有x(t) M成立；(2) A等度連續(xù)：0,0(與t及x無關(guān))，當t!,

15、t2 a,b及1 t2時，x A有 x(t1) x(t2)注意區(qū)別等度連續(xù)與映射的一致連續(xù)兩個概念.推論143 阿爾采拉(Arzela)引理 設(shè)F £ £ Ca,b,i 1是Ca,b的一致有界且等 度連續(xù)的函數(shù)族，則從 F中必可選出在C a, b上一致連續(xù)的子序列fn (t).定理147 設(shè)A lp(p 1)，則A是列緊集的充要條件為以下兩條成立.1(1) A 一致有界：M 0, x (為必,L ,xk ,L ) A，有(& 于 M ；k 11(2) A 等度連續(xù)：0 , N , x (xK ,L，人,L ) A,有(Xk 于 .k N 1例設(shè)(X,d。)為離散的度

16、量空間，A X，證明：A是緊集的充要條件為 A是有限點集. (2-18)證明(1)充分性 ：設(shè)A是有限點集，則 A必為閉集，又無點列，故為緊集.必要性：反證法假設(shè) A為無限點集，則必有可列子集A A，且A種元素各不相同，不妨設(shè)為A xx, L ,x. ,L xn，當m n時，根據(jù)離散度量空間中距離的定義知d°(Xm,Xn) 1，從而Xn無收斂子列，這與 A的緊性矛盾，故 A必為有限集口例設(shè)X為緊的度量空間， M是X的閉子集，證明 M是緊集.(2-21)證明1由于M是閉子集，所以只需證明M是列緊集.設(shè)人是M的一個點列，顯然Xn X，又知X是緊的度量空間，于是xn存在收斂于X的子列xnk，即M是列緊集.口證明2由于X是列緊集，且列緊集的子集是列緊集，所以M是列緊集又知 M是閉子集，因此M是緊集.口注10 :在離散的度量空間中，A是緊集A是有限點集在n維歐氏空間Rn中，A是緊集 A是有界閉集.在完備度量空間中,A是緊集A是全有界閉集.緊的度量空間的閉子集是緊集.完備的度量空間的閉子集是完備的.12cos(n m)x) (1 cos(n m)x)dx因此 fn (x)不是基本列，當然不是收斂列.口定義 列緊集、緊集與緊空