閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)的教學非常好學習教案

1、會計學1閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)的教學非常好閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)的教學非常好第一頁，編輯于星期日：二十二點 四十分。設f (x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù)，則(i) f (x)在a, b上為單調(diào)函數(shù)時 aObxyaObxyOab xyOabxy第1頁/共20頁第二頁，編輯于星期日：二十二點 四十分。此時，函數(shù) f (x)恰好在 a, b的端點a和b取到最大值和最小值.y=f (x)a, b, 則y=f (x)a, b, 則第2頁/共20頁第三頁，編輯于星期日：二十二點 四十分。(ii) y = f (x) 為一般的連續(xù)函數(shù)時，如圖中所示，xya a1a2a3a4a5a6bma1mama2ma3ma

2、4ma5ma6mby = f (x)第3頁/共20頁第四頁，編輯于星期日：二十二點 四十分。注意注意: :1.若區(qū)間是開區(qū)間若區(qū)間是開區(qū)間, 定理不一定成立定理不一定成立; 2.若區(qū)間內(nèi)有間斷點若區(qū)間內(nèi)有間斷點, 定理不一定成立定理不一定成立.xyo( )yf x211xyo2 ( )yf x第4頁/共20頁第五頁，編輯于星期日：二十二點 四十分。定理定理2 設設 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 上連續(xù)，則上連續(xù)，則 在在 上上有界有界. )(xf,ba)(xf,ba函數(shù)函數(shù) 在在 上無上界上無上界： )(xf,ba2 2、有界性定理、有界性定理第5頁/共20頁第六頁，編輯于星期日：二十二點 四十分。 f

3、(x)在 a, b上可取到它的最大值M和最小值m，證：證： f (x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù)故 m f (x) M xa, b| f (x)| M* xa, b令 M* = max |m|, |M|, 則即 f (x)在a, b上有界.第6頁/共20頁第七頁，編輯于星期日：二十二點 四十分。定理3：設 f (x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù)，且f (a) f (b)0，則至少存在一點(a, b)，使得 f ( )0.axyy=f (x)f (a)bf (b)O幾何解釋幾何解釋:第7頁/共20頁第八頁，編輯于星期日：二十二點 四十分。定理4：設 f (x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù)，f (a)A, f (

4、b)B, 且AB, 則對于A，B之間的任意一個數(shù)C，至少存在一點(a, b)，使得 f ()=C定理4：設 f (x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù)，則存在最大值最大值M和最小值m，對于M和最m之間的任意一個數(shù)C，至少存在一點(a, b)，使得 f ()=C第8頁/共20頁第九頁，編輯于星期日：二十二點 四十分。證證：令 (x)=f (x)C 故, 由根存在定理，至少存在一點(a, b)使則 (x)C(a, b) . C在A，B之間 (a) (b) = (f (a)C)(f (b) C)(AC)(BC)0 (x)= 0，即 f (x) = C .yBCAO abx第9頁/共20頁第十頁，編輯于星期日：

5、二十二點 四十分。：設 f (x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù)，則f (x)取得介于其在a, b 上的最大值M和最小值m之間的任何值就是說，mCM, 則必存在a, b, 使得f ()=C.例例1：設 f (x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù)， a x1 x2 xn b , 證明: 至少存在一點x1 , xn ，使得第10頁/共20頁第十一頁，編輯于星期日：二十二點 四十分。證：證： f (x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù).有從而由介值定理，至少存在一點x1 , xn ，使綜上所述，命題獲證.mf (xi) M.第11頁/共20頁第十二頁，編輯于星期日：二十二點 四十分。例例2: 證明方程x53x =1, 在x=1

6、與x=2之間至少有一根.證：證： 令 f (x)= x53x1，x1, 2則 f (x)在閉區(qū)間1, 2上連續(xù)又 f (1)= 3， f (2)= 25，即 f (1) f (2) 0即 方程在x=1與 x=2之間至少有一根.故 至少存在一個(1, 2)，使得 f ( )=0,第12頁/共20頁第十三頁，編輯于星期日：二十二點 四十分。例例3 3證證由零點定理由零點定理,第13頁/共20頁第十四頁，編輯于星期日：二十二點 四十分。而 f (0)=0a sin0b = b 0, b 0)至少有一個不超過a+b的正根.證：證：問題歸結(jié)為在0, a+b上求方程的根的問題.第14頁/共20頁第十五頁，

7、編輯于星期日：二十二點 四十分。1) 如果 f (a+ b)0，則= a+ b 就是方程的根. 綜上所述，方程在0, a+b上至少有一個根, 即至少有一個不超過a+b的正根.2) 如果 f (a+ b) 0, 則f (0) f (a+b)0，由根存在定理, 至少存在一個(0, a+b)，使得 f ()=0.第15頁/共20頁第十六頁，編輯于星期日：二十二點 四十分。例5證明討論:第16頁/共20頁第十七頁，編輯于星期日：二十二點 四十分。由零點定理知,綜上,第17頁/共20頁第十八頁，編輯于星期日：二十二點 四十分。第18頁/共20頁第十九頁，編輯于星期日：二十二點 四十分。左右連續(xù)在區(qū)間a,b上連續(xù)連續(xù)函數(shù)的