構(gòu)造函數(shù)法在微積分證明中的應用參考論文

1、廣西工學院學士學位論文 構(gòu)造函數(shù)法在數(shù)學證明中的應用一、緒論構(gòu)造函數(shù)思想是數(shù)學的一種重要的思想方法。在數(shù)學中具有廣泛的應用。他屬于數(shù)學思想方法中的構(gòu)造法。所謂構(gòu)造法，就是根據(jù)件或結(jié)論所具有的特征、性質(zhì)，構(gòu)造出滿足條件或結(jié)論的數(shù)學模型，借助于該數(shù)學模型解決數(shù)學問題的方法。它具有兩個顯著的特性：直觀性和可行性，正是這兩個特性，在數(shù)學應用中經(jīng)常運用它。構(gòu)造法的特點是化復雜為簡單、化抽象為直觀。構(gòu)造法思想的核心是根據(jù)題設條件的特征恰當構(gòu)造一種新的形式。對培養(yǎng)學生的數(shù)形結(jié)合的思想、思維能力以及培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力都有很大的幫助。怎樣構(gòu)造呢？當某些數(shù)學問題用通常辦法按定勢思維去解，很難湊效時，應根據(jù)題設條件

2、和結(jié)論的特征、性質(zhì)展開聯(lián)想，常是從一個目標聯(lián)想起我們曾經(jīng)使用過可能達到目的的方法，手段，進而構(gòu)造出解決問題的特殊模式，就是構(gòu)造法解題的思路構(gòu)造法是我們在研究有關(guān)數(shù)學問題時，需要構(gòu)造并解出一個合適的輔助問題，從而用它來求得一條通向表面看來難于接近問題的信道的一種解答問題的方法，其實質(zhì)就是把研究的數(shù)學問題經(jīng)過仔細的觀察，挖掘其隱含條件，再通過豐富的聯(lián)想，把問題化歸為已知的數(shù)學模型，從而使問題得以解答。怎樣去構(gòu)造呢？常常是從一個目標聯(lián)想起我們曾經(jīng)用過的某種方法、手段，借助于這些方法、手段達到目標。因此構(gòu)造法體現(xiàn)了數(shù)學思維的靈活性和創(chuàng)造性，構(gòu)造法并不是獨立的，它的運用需要借助于聯(lián)想法、化歸法等。如果我

3、們能夠掌握了構(gòu)造法并能運用此方法解決數(shù)學問題，那么不但可以培養(yǎng)我們的良好的思維品質(zhì)，而且還可以提高我們的抽象思維能力、發(fā)散思維能力和解題能力。構(gòu)造法的方法很多，技巧性強，使用時沒有固定的模式，須根據(jù)具體問題采用相應的構(gòu)造法。本文通過不同數(shù)學模型的例子介紹構(gòu)造法的應用。二、構(gòu)造函數(shù)在微積分證明中的應用構(gòu)造法是數(shù)學解題的主要方法之一，它的應用極廣。隨著知識的積累和增加，構(gòu)造法就越加突現(xiàn)重要。比如在零點定理的證明和應用上，在微積分學里的中值定理的證明和應用上等。最典型的是拉格朗日中值定理的證明。這個定理的證明是根據(jù)幾何直觀的啟示，構(gòu)造了一個與問題有關(guān)的輔助函數(shù)，才得以運用羅爾定理解決的。這種思想方法

4、在數(shù)學解題中經(jīng)常用到，且往往有效。中值定理特別是拉格朗日中值定理在不等式的證明中有著重要作用，通過對不等式的結(jié)構(gòu)分析，構(gòu)造某特定區(qū)間上的函數(shù)，滿足定理的條件，達到證明目的。其中，在拉格朗日中值定理的證明中利用定理公式構(gòu)造了一個新的函數(shù)，再利用函數(shù)的性質(zhì)和定理合理地證明了拉格朗日中值定理。其他中值定理也如此，都是通過構(gòu)造函數(shù)來證明的。微積分學中的四種中值定理：費馬定理，羅爾中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理。構(gòu)造法都貫穿其中，起到了重要和決定性的作用。（一）構(gòu)造輔助函數(shù)用零點定理證明零點定理 設函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且與 異號（即），那么在開區(qū)間內(nèi)至少有函數(shù)的一個零點，即至少有一點（）使.零

5、點定理的結(jié)論是：存在，使，結(jié)論中并未出現(xiàn)導數(shù)運算.所以不太可能利用中值定理證明.相反，只要可以整理為：“證明存在，使某連續(xù)函數(shù)滿足”這種形式的命題，基本上都可以使用零點定理來證明，而輔助函數(shù)的構(gòu)造更為簡單.證明方法(1)將把要正的等式化為等價的標準形式（所有項均移到等式左邊，使等式右邊為零）.(2)將等式左邊的表達式（將換成）作為輔助函數(shù)即可.例1 設在閉區(qū)間上的非負連續(xù)函數(shù)，并且，證明：對于任意的，都存在，使得.證明：只要證，即可.為此，設.顯然在閉區(qū)間上連續(xù)，并且 ， .（1） 若，則，都滿足方程；（2） 若，則由，及零點定理知，必有，使得；因而，對于任意的，都存在，使得，即.構(gòu)造輔助函數(shù)

6、利用零點定理可以證明根的存在性，下面我們通過例子來驗證：例2 設實數(shù)，.證明方程分別在區(qū)間和有且僅有一個實根.證明：設 ，記；易見，是一個二次函數(shù)，它在內(nèi)連續(xù)，當然在和上都連續(xù)，并且，.所以由零點定理知，必存在與，使得，；然而是一個二次函數(shù)，最多有兩個零點，因此分別在區(qū)間和有且僅有一個實根.另一方面，由于，所以當且僅當，因而也分別在區(qū)間和有且僅有一個實根.（二）構(gòu)造輔助函數(shù)用羅爾定理證明羅爾中值定理 如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),在開區(qū)間內(nèi)可導,且,那么至少存在一點,使得.對于含有抽象函數(shù)及其導數(shù)的方程或關(guān)于的等式，在證明時，應構(gòu)造輔助函數(shù)，用羅爾定理證明。此時構(gòu)造函數(shù)的一般方法是，查找原函數(shù)，其步

7、驟為：1 若證的是含有的等式，先把改為，使等式成為方程；2 把方程看作是以為未知函數(shù)的微分方程，然后解微分方程；3 求出解后，把任意常數(shù)移到一端，另一端即為所要構(gòu)造輔助的函數(shù);4 對于形式簡單的方程或含的等式，則可用觀察法求出輔助函數(shù).下面我們用羅爾定理來證明一些重要的定理：拉格朗日中值定理 設函數(shù)滿足條件：（1）在閉區(qū)間上連續(xù)；（2）在開區(qū)間內(nèi)可導。則至少存在一點 ，使 （1.1）我們要證（1.1）式，即要證，即 .故我們可以從幾何意義上來考慮：拉格朗日中值定理的幾何意義如圖所示，函數(shù)的圖像在區(qū)間上為圖中的弧段 ，上點點存在不與軸平行的切線。那么，結(jié)論是在內(nèi)存在點，使相應于這一點的弧上點處的

8、切線平行于弦。 圖因此在證明拉格朗日中值定理中，故我們想到作輔助函數(shù)我們所做的輔助函數(shù)實際上分兩部分：和，容易驗證，它們在閉區(qū)間連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導，此時易知 容易驗證，在上滿足羅爾定理的條件.因而存在，使=0，即成立.柯西中值定理 設函數(shù)和滿足條件：（1）,均在閉區(qū)間上連續(xù)；（2）, 均在開區(qū)間內(nèi)可導;（3）對 .則存在，使 （2.1）我們要證（2.1）式，即要證 ,也就是 .故我們想到作輔助函數(shù).容易驗證，在上滿足羅爾定理的條件。因而存在，使.因（）故，得 柯西定理證畢.（三）構(gòu)造輔助函數(shù)用拉格朗日中值定理證明證明方法根據(jù)拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理：若函數(shù)滿足下列條件：（I）在閉區(qū)間

9、上連續(xù)；（II）在開區(qū)間內(nèi)可導，則在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點，使得.拉格朗日中值定理反映了函數(shù)或函數(shù)增量和可導函數(shù)的一階導數(shù)符號之間的關(guān)系. 對于常值不等式或函數(shù)不等式，通過恒等變形后，若出現(xiàn)函數(shù)差值與自變量之差之比，符號拉格朗日中值公式的形式，則用拉格朗日中值定理證明之.此時，所要構(gòu)造的輔助函數(shù)可觀察得出.證明步驟為：1輔助函數(shù)，找到相應的區(qū)間；2驗證該函數(shù)在區(qū)間滿足拉格朗日中值定理的條件；3寫出拉格朗日中值公式；4由滿足的不等式，對放大或縮小，從而消去，得到所要證明的不等式.例1 證明：當.分析：所證不等式中的函數(shù)的導數(shù)為 ，即所證不等式中含有函數(shù)及其導數(shù)，因而可用拉格朗日中值定理證之.由于，

10、因此可構(gòu)造函數(shù)的改變量，則相應自變量的改變量為，原不等式等價于：，由不等式中間部分的形式可知，可利用拉格朗日中值定理去證明.證明：構(gòu)造函數(shù)，因在上連續(xù)，在上可導，在上滿足拉格朗日條件，于是存在，使 ，因，所以.即，.適用范圍當所證的不等式中含有函數(shù)值與一階導數(shù)，或函數(shù)增量與一階導數(shù)時，可用拉格朗日中值定理來證明.(四) 構(gòu)造輔助函數(shù)用柯西中值定理證明證明方法根據(jù)柯西中值定理柯西中值定理反映了兩個函數(shù)或兩個函數(shù)增量與它們一階導數(shù)之間的關(guān)系.證明方法構(gòu)造兩個輔助函數(shù)和，并確定它們施用柯西中值定理的區(qū)間；對與在上施用柯西中值定理；利用與的關(guān)系，對柯西公式進行加強不等式.例2：設，證明.分析：原不等式

11、可等價于.可看出不等式左邊可看成是函數(shù)與在區(qū)間上的改變量的商，故可用柯西中值定理證明之.證明：原不等式等價于，可構(gòu)造函數(shù)，,因均在上連續(xù)，在上可導，且，由于，則，所以在上滿足柯西中值條件，于是存在，使得，又因有 ，得到 ,因此,即.適用范圍當不等式含有兩個函數(shù)的函數(shù)值及其一階導數(shù)，或兩個函數(shù)的函數(shù)增量及其一階導數(shù)時，可用柯西中值定理證明.三、構(gòu)造函數(shù)在不等式證明中的應用不等式的證明歷來是數(shù)學證明的難點。不等式的證明方法多種多樣，根據(jù)所給不等式的特征，巧妙的構(gòu)造適當?shù)暮瘮?shù)，然后利用一元二次函數(shù)的判別式、函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、有界性等來證明不等式，統(tǒng)稱為函數(shù)法。本文通過一些具體的例子來探討一下怎樣

12、借助構(gòu)造函數(shù)的方法證明不等式。（一）構(gòu)造函數(shù)利用判別式證明不等式1構(gòu)造函數(shù)正用判別式證明不等式在含有兩個或兩個以上字母的不等式中，若使用其它方法不能解決，可將一邊整理為零，而另一邊為某個字母的二次式，這時可考慮用判別式法.一般對與一元二次函數(shù)有關(guān)或能通過等價轉(zhuǎn)化為一元二次方程的，都可考慮使用判別式，但使用時要注意根的取值范圍和題目本身條件的限制.例1. 設：、，證明：成立，并指出等號何時成立.證明：令 因為b、cR，所以0即：，所以恒成立.當0時，此時，所以時，不等式取等號.例2. 已知：且，求證： .證明： 消去c得：，此方程恒成立，所以，即：.同理可求得.2構(gòu)造函數(shù)逆用判別式證明不等式對某

13、些不等式證明，若能根據(jù)其條件和結(jié)論，結(jié)合判別式的結(jié)構(gòu)特征，通過構(gòu)造二項平方和函數(shù)：由，得0，就可以使一些用一般方法處理較繁瑣的問題，獲得簡捷明快的證明.例3. 設且，求證：6.證明：構(gòu)造函數(shù)： 由，得0，即.所以6.例4. 設且，求的最小值.證明：構(gòu)造函數(shù) .因為，由（當且僅當時取等號），得0,即144-4（）0. 所以當時，.（二）構(gòu)造函數(shù)運用函數(shù)有界性、單調(diào)性、奇偶性證明不等式1.構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)有界性證明不等式定義1（函數(shù)的有界性） 設函數(shù)在區(qū)間上有定義，如果，使得對，有，則稱在區(qū)間上有界，否則，稱在區(qū)間上無界.例5. 設1，1，1，求證：-1.證明：令為一次函數(shù).由于0，且0，所以在時

14、恒有0.又因為，所以0，即0評注：考慮式中所給三個變量的有界性，可以視其為單元函數(shù)，轉(zhuǎn)化為.2.構(gòu)造函數(shù)利用單調(diào)性證明不等式函數(shù)單調(diào)性的判別法 設函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)可導.若在內(nèi),則函數(shù)在上單調(diào)增加(減少). 對于形如（或）的函數(shù)不等式，常構(gòu)造輔助函數(shù)（或）用單調(diào)性證之，其步驟為：1 構(gòu)造輔助函數(shù)；2證（或）得出單調(diào)性；3求出在區(qū)間端點之一處的函數(shù)值或極限值；4最后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性及區(qū)間端點的函數(shù)值得出所證的不等式.例6. 求證：當0時， .證明：令，因為0，所以 0.又因為在處連續(xù)，所以在上是增函數(shù)，從而，當0時，0，即成立.評注：例6可以看出，在證明這樣一類不等式時，先是將原不等式移項，使一端

15、變?yōu)?，再構(gòu)造輔助函數(shù)，證明在相應的區(qū)間內(nèi)的最大值或最小值為零，從而移項便得所證.利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式和比較大小是常見的方法，特別是在引入導數(shù)后，單調(diào)性的應用將更加普遍。下面我們就用可導函數(shù)的單調(diào)性證明不等式法.證明方法根據(jù)可導函數(shù)的一階導數(shù)符號與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系定理.定理1 若函數(shù)在可導，則在內(nèi)遞增（遞減）的充要條件是：.定理2 設函數(shù)在連續(xù)，在內(nèi)可導，如果在內(nèi)（或），那么在上嚴格單調(diào)增加（或嚴格單調(diào)減少）.定理3 設函數(shù)在內(nèi)可導，若（或），則在內(nèi)嚴格遞增（或嚴格遞減）.上述定理反映了可導函數(shù)的一階導數(shù)符號與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，因此可用一階導數(shù)研究函數(shù)在所討論區(qū)間上的單調(diào)性.證明方法（1）構(gòu)

16、造輔助函數(shù)，取定閉區(qū)間；利用不等式兩邊之差構(gòu)造輔助函數(shù)（見例2）；利用不等式兩邊相同“形式”的特征構(gòu)造輔助函數(shù)（見例3）；若所證的不等式涉及到冪指數(shù)函數(shù)，則可通過適當?shù)淖冃危ㄈ羧?shù)）將其化為易于證明的形式，再如前面所講那樣，根據(jù)不等式的特點，構(gòu)造輔助函數(shù)（見例4）.（2）研究在上的單調(diào)性，從而證明不等式.例2：證明不等式：.分析：利用差式構(gòu)造輔助函數(shù)，則將要證明的結(jié)論轉(zhuǎn)化為要證，而，因而只要證明.證明：令，易知在上連續(xù)，且有，由定理二可知在上嚴格單調(diào)增加，所以由單調(diào)性定義可知，即.因此.例3：求證：.分析：不等式兩邊有相同的“形式”: ：試構(gòu)造輔助函數(shù).利用定理二與在上的單調(diào)性證明不等式.證

17、明：設輔助函數(shù).易知在上連續(xù)，且有.則由定理二可知在上嚴格單調(diào)增加.由，有，得到，所以原不等式成立.例4：證明：當時，.分析：此不等式為冪指數(shù)函數(shù)不等式，若直接利用差式構(gòu)造輔助函數(shù)將很難求其導數(shù)，更很難判斷其在上的單調(diào)性，可對不等式兩邊分別取對數(shù)得到，化簡得，在此基礎(chǔ)上可利用差式構(gòu)造輔助函數(shù)，且，因而只要證明即可.證明：分別對不等式得兩邊取對數(shù)，有，化簡有：.設輔助函數(shù)，易知在上連續(xù)，也在上連續(xù)，因，根據(jù)定理二，得在上嚴格單調(diào)增加，所以.又由在上連續(xù)，且，根據(jù)定理二可知在上嚴格單調(diào)增加，所以，即，因此，即.適用范圍利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式，不等式兩邊的函數(shù)必須可導；對所構(gòu)造的輔助函數(shù)應在某閉區(qū)

18、間上連續(xù)，開區(qū)間內(nèi)可導，且在閉區(qū)間的某端點處的值為0，然后通過在開區(qū)間內(nèi)的符號來判斷在閉區(qū)間上的單調(diào)性.3.構(gòu)造函數(shù)利用奇偶性證明不等式定義2（函數(shù)的奇偶性） 設函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，（即若，則必有），如果，有成立，則稱為偶函數(shù)，如果，有成立，則稱為奇函數(shù).例7. 求證：.證明：設-，.所以是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對稱.當0時，0，故0；當0時，依圖象關(guān)于軸對稱知0.故當時，恒有0，即.評注：這里實質(zhì)上是根據(jù)函數(shù)奇偶性來證明的，如何構(gòu)造恰當?shù)暮瘮?shù)充分利用其性質(zhì)是關(guān)健.（三）構(gòu)造函數(shù)運用函數(shù)的極值與最大、最小值證明不等式極值的第一充分條件 設在連續(xù)，在內(nèi)可導，（i）若當時，,當時，,則在取得極

19、大值;(ii) 若當時，,當時，,則在取得極小值.極值的第二充分條件設在的某領(lǐng)域內(nèi)一階可導，在處二階可導，且，,(i)若，則在取得極大值；(ii)若，則在取得極小值.極值和最值是兩個不同的概念.極值僅是在某點的鄰域內(nèi)考慮，而最值是在某個區(qū)間上考慮.若函數(shù)在一個區(qū)間的內(nèi)部取得最值，則此最值也是極值.極值的充分條件定理反映了可導函數(shù)的一階導數(shù)符號或二階導數(shù)在可疑點上的導數(shù)符號與函數(shù)極值的關(guān)系.證明方法構(gòu)造輔助函數(shù)，并取定區(qū)間.當不等式兩邊均含有未知數(shù)時，可利用不等式兩邊之差構(gòu)造輔助函數(shù)（見例5）；當不等式兩邊含有相同的“形式”時，可利用此形式構(gòu)造輔助函數(shù)（見例6）；當不等式形如（或）（為常數(shù)）時，

20、可設為輔助函數(shù)（見例7）.例5：證明：當時有.分析：利用差式構(gòu)造輔助函數(shù)，這與前面利用函數(shù)單調(diào)性定義證明不等式中所構(gòu)造輔助函數(shù)的方法相同，但由于在上不是單調(diào)函數(shù),（因?qū)θ我?，不能判斷的符號?所以不能用可導函數(shù)的單調(diào)性證明此不等式，則可采用函數(shù)的極值方法試之.函數(shù)的單調(diào)性證明此不等式，則可采用函數(shù)的極值方法試之證明：構(gòu)造輔助函數(shù)，則有令，解得，其中只有在區(qū)間內(nèi)，由，有在點連續(xù)因當時，則在上為減函數(shù)；當時，則在上為增函數(shù)；由極值的第二充分條件(ii)可知，在處取得極小值，即為區(qū)間上的最小值，所以當時，有故即例6：設，則分析：此不等式兩邊含有相同的“形式”：，可將不等式變形為，可構(gòu)造輔助函數(shù)證明：

21、將不等式變形為，構(gòu)造輔助函數(shù)，則有，令，則有當時，所以單調(diào)遞減；當時，則單調(diào)遞增因此，由極值的第二充分條件(ii)可知在時取得極小值，即最小值所以當，有，即例7：證明：若，則對于中的任意有： 分析：顯然設輔助函數(shù)，若設，由，故很難用函數(shù)單調(diào)性的定義去證明考慮到，不難看到不等式，即為與其端點處的函數(shù)值的大小比較問題，因而可想到用最值方法試之證明：設輔助函數(shù)為，則時，有令得,解之得穩(wěn)定點,因函數(shù)在閉區(qū)間0,1上連續(xù),因而在0,1上有最大值和最小值.已知 .有 因此對一切時，有所以原不等式得證.適用范圍（1）所設函數(shù)在某閉區(qū)間上連續(xù)，開區(qū)間內(nèi)可導，但在所討論的區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)時；（2）只能證不嚴格

22、的不等式而不能證出嚴格的不等式.（四）構(gòu)造函數(shù)運用凹凸性證明不等式定義1（凹凸性）設在區(qū)間I上連續(xù),如果對I上任意兩點,恒有那么就稱在區(qū)間I上的圖形是凹的（或凹?。?如果恒有那么就稱在區(qū)間I上的圖形是凸的（或凸?。?凹凸性的判定方法定理1 設在上連續(xù),在內(nèi)二階可導,那么 若在內(nèi),則曲線在上是凹的. 若在內(nèi),則曲線在上是凸的.證明方法根據(jù)凹凸函數(shù)定義及其定理和詹森不等式.定義2：設為定義在區(qū)間I上的函數(shù)，若對于I上任意兩點和實數(shù)，總有,則稱為I上的凸函數(shù)，若總有,則稱為I上的凹函數(shù). 定理2：設為I上的二階可導函數(shù)，則為I上的凸函數(shù)（或凹函數(shù)）的充要條件是在I上 .詹森不等式 若在上為凸函數(shù)，對

23、任意的且,則.該命題可用數(shù)學歸納法證明.函數(shù)的凹凸性定理反映了二階可導函數(shù)的二階導數(shù)符號與凹凸函數(shù)之間的關(guān)系.證明方法：定義證明法：將不等式寫成定義的形式，構(gòu)造輔助函數(shù)，并討論在所給區(qū)間上的凹凸性.詹森不等式法：對一些函數(shù)值的不等式，構(gòu)造凸函數(shù)，應用詹森不等式能快速證此類不等式.例10：證明：當時, .分析：不等式等價于：.不等式兩邊含有相同“形式”：,可設輔助函數(shù).因此原不等式可化為要證.只要證明在上為凸函數(shù)，即證在內(nèi)即可.證明（定義證明法）：設.有.則在為凸函數(shù).對任意，有(取).(要使與的系數(shù)相同，當且僅當時成立，即).因此.例11：若A,B,C是的三內(nèi)角，則.分析：不等式左邊為的函數(shù)的

24、和，考慮構(gòu)造凸函數(shù).證明（詹森不等式）：令，則.則是上的凸函數(shù), ,取，由，得到.由詹森不等式結(jié)論得,因是的三內(nèi)角，則 ，可得 .即 .適用范圍當不等式可寫成凹凸函數(shù)定義的形式或?qū)σ恍┖瘮?shù)值和且能夠構(gòu)造凸函數(shù)的不等式.（五）構(gòu)造函數(shù)運用定積分理論來證明不等式證明方法根據(jù)定積分的性質(zhì)和變上限輔助函數(shù)理論.定積分性質(zhì)之一：設與為定義在上的兩格可積函數(shù)，若,則.微積分學基本定理：若函數(shù)在上連續(xù)，則由變動上限積分，定義的函數(shù)在上可導，而且.也就是說，函數(shù)是被積函數(shù)在上的一個原函數(shù).微積分學基本定理溝通了導數(shù)和定積分這兩個從表面看去似不相干的概念之間的內(nèi)在聯(lián)系.證明方法構(gòu)造變上限輔助函數(shù)證明不等式法：對

25、于含有定積分的不等式，可把常數(shù)變?yōu)樽償?shù)構(gòu)造輔助函數(shù)，利用變上限積分及函數(shù)的單調(diào)性解決此類不等式（見例15）.例15：設在上連續(xù)，且單調(diào)遞增，試證明.分析：可將此定積分不等式看成是數(shù)值不等式，并將常數(shù)變?yōu)樽償?shù)，利用差式構(gòu)造輔助函數(shù)：，則要證.證明：（利用構(gòu)造變上限輔助函數(shù)）設輔助函數(shù).顯然對， 因為單調(diào)遞增，則，則單調(diào)遞增，所以.因此.適用范圍當不等式含有定積分（或被積函數(shù)時），可用定積分的性質(zhì)來證明或構(gòu)造上限輔助函數(shù)來證明.（六）構(gòu)造函數(shù)引入?yún)?shù)證明不等式證明方法根據(jù)將對數(shù)值不等式的證明轉(zhuǎn)化為對函數(shù)不等式的證明，用微積分理論研究函數(shù)的性質(zhì)，從而證明不等式.證明方法引入?yún)?shù)，構(gòu)造輔助函數(shù)，得到關(guān)

26、于的二次多項式，利用判別式來證明不等式.例16：設在區(qū)間上連續(xù)，證明：（柯西許瓦茨不等式）.分析：欲證不等式是函數(shù)，以及的積分不等式，引入?yún)?shù)，考慮輔助函數(shù)在區(qū)間上的積分.證明：利用定積分的性質(zhì)易知，即.這是關(guān)于的二次多項式不等式，因此，判別式：，即：適用范圍當積分式含有平方項，或的情形.四、條件極值與拉格朗日乘數(shù)法（一）條件極值了解拉格朗日乘數(shù)法，學會用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值條件極值；拉格朗日乘數(shù)法(1)了解拉格朗日乘數(shù)法的證明，掌握用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值的方法;(2) 用條件極值的方法證明或構(gòu)造不等式;(3) 多個條件的的條件極值問題，計算量較大.; (4) 在解決很多問題中，用條件

27、極值的方法證明或構(gòu)造不等式，是個好方法 在許多極值問題中，函數(shù)的自變量往往要受到一些條件的限制，比如，要設計一個容積為的長方體形開口水箱，確定長、寬和高, 使水箱的表面積最小. 設水箱的長、寬、高分別為 ， 則水箱容積焊制水箱用去的鋼板面積為這實際上是求函數(shù) 在 限制下的最小值問題.這類附有條件限制的極值問題稱為條件極值問題， 其一般形式是在條件 限制下，求函數(shù) 的極值.條件極值與無條件極值的區(qū)別:條件極值是限制在一個子流形上的極值，條件極值存在時無條件極值不一定存在，即使存在二者也不一定相等.例如，求馬鞍面 被平面 平面所截的曲線上的最低點.請看這個問題的幾何圖形（x31馬鞍面）.從其幾何圖

28、形可以看出整個馬鞍面沒有極值點，但限制在馬鞍面被平面 平面所截的曲線上，有極小值 1，這個極小值就稱為條件極值.1.何謂條件極值在討論極值問題時，往往會遇到這樣一種情形，就是函數(shù)的自變量要受到某些條件的限制.決定一給定點到一曲面的最短距離問題，就是這種情形.我們知道點到點的距離為.現(xiàn)在的問題是要求出曲面上的點使F為最小.即，問題歸化為求函數(shù)在條件下的最小值問題.又如，在總和為C的幾個正數(shù)的數(shù)組中，求一數(shù)組，使函數(shù)值為最小，這是在條件 的限制下，求函數(shù)的極小值問題.這類問題叫做限制極值問題（條件極值問題）.例1. 求函數(shù) 在條件下的極值.解 令 得 （1）又 （2） （3）由（1）得 ， 當時得

29、 ， 故得，代入（2）（3）式得 解得穩(wěn)定點，. 由對稱性得，也是穩(wěn)定點.2.條件極值點的必要條件 設在約束條件之下求函數(shù)的極值 . 當滿足約束條件的點是函數(shù)的條件極值點 , 且在該點函數(shù)滿足隱函數(shù)存在條件時, 由方程決定隱函數(shù), 于是點就是一元函數(shù)的極限點 , 有 ,代入 , 就有 , ( 以下、均表示相應偏導數(shù)在點的值 .) 即 , 亦即 ( , ) ,) .可見向量( , )與向量 , )正交. 注意到向量 , )也與向量 ,)正交, 即得向量( , )與向量 , )線性相關(guān),即存在實數(shù), 使 (, ) + ,).亦即 3.限制極值的必要條件設在約束條件之下求函數(shù)的極值.當滿足約束條件的

30、點是函數(shù)的條件極值點 ,且在該點函數(shù)滿足隱函數(shù)存在條件時,由方程決定隱函數(shù),于是點就是一元函數(shù)的極限點 , 有.代入 , 就有, ( 以下、均表示相應偏導數(shù)在點的值 .)即 ,亦即 (, ),) .可見向量(, )與向量,)正交.注意到向量,)也與向量,)正交,即得向量(, )與向量,)線性相關(guān),即存在實數(shù),使(, )+,).亦即 （二） Lagrange乘數(shù)法 :由上述討論可見 , 函數(shù)在約束條件之下的條件極值點應是方程組 （1）的解. 引進所謂Lagrange函數(shù):,( 稱其中的實數(shù)為Lagrange乘數(shù) )則上述方程組即為方程組 因此，解決條件極值通常有兩種方法:（1）直接的方法是從方程

31、組(1)中解出 并將其表示為 .代入 消去 成為變量為 的函數(shù) 將問題化為函數(shù) 的無條件極值問題；（2）在一般情形下，要從方程組（1）中解出 來是困難的，甚至是不可能的，因此上面求解方法往往是行不通的。通常采用的拉格朗日乘數(shù)法，是免去解方程組（1）的困難，將求 的條件極值問題化為求下面拉格朗日函數(shù) 在條件極值問題中 滿足條件 下，去尋求函數(shù) 的極值. 對三變量函數(shù) 聯(lián)立方程式 求得的解 (x, y) 就成為極值的候補.這種引入輔助函數(shù)，將條件極值問題化為無條件極值問題的方法.以三元函數(shù) , 兩個約束條件為例介紹Lagrange乘數(shù)法的一般情況 .例1 求函數(shù) 在條件下的極值.解：令 得 （1）

32、又 （2） （3）由（1）得 ， 當時 得 ，故得，代入（2）（3）式得 解得穩(wěn)定點，. 由對稱性得，也是穩(wěn)定點.這樣求極值的方法就叫做拉格朗日乘數(shù)法、叫做拉格朗日乘數(shù).（三） 用Lagrange乘數(shù)法解應用問題舉例 例1 某公司生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品，其產(chǎn)量為x,y,公司的利潤函數(shù)為，若公司最大設備生產(chǎn)能力為小，求：（1） 最大利潤；（2）估算設備生產(chǎn)能力擴大一個單位對于利潤的效應.解： 公司最大設備生產(chǎn)能力就是約束條件，本題就是求條件極值，用拉格朗日乘數(shù)法求.（1）引人拉格朗日函數(shù)令 得穩(wěn)定點 所以，（5，7）就是利潤函數(shù)的穩(wěn)定點。又因為實際問題有最大值，故當，時，公司可獲得最大利潤 （2）因

33、為，故設備生產(chǎn)能力擴大一個單位時，將使利潤增加53.例2求橢圓 的面積.解：此橢圓的中心在原點，其長、短半軸分別為橢圓上的點到原點距離的最大、最小值。因此，問題化為求的極值問題，以目標函數(shù)，作輔助函數(shù).令, . 式乘以加上式乘以，得 （是極值）。又兩式是，的線性齊次方程組，在橢圓上，故不為，即齊次方程有非零解得. 得 恰有兩個根，正好對應著目標函數(shù)的最大與最小值.由于橢圓面積，而故 .例3 將長度為的鐵絲分成三段，用此三段分別作成圓、正方形和等邊三角形.問如何分法，才能使這三個圖形的面積之和最小.解 設分別為圓之半徑、正方形邊長、等邊三角形邊長.于是總面積 滿足約束 ， 令 解得 .約束集為有

34、界閉集，故在其上必有最小值.在邊界上，即解下列三個條件極值問題： 穩(wěn)定點分別是 函數(shù)值分別是 , , .又 ， .比較上述7個函數(shù)值得，最小值為 料最省.五、小結(jié)構(gòu)造函數(shù)法在數(shù)學證明中的應用非常廣泛，比如方程根的存在性的證明，中值定理的證明，不等式的證明等都可以用構(gòu)造函數(shù)發(fā)來證明，隨著知識的積累和增加，構(gòu)造函數(shù)法就越加突現(xiàn)重要。不等式的證明歷來都是數(shù)學證明中的難點，不等式的證明方法多種多樣。因此用構(gòu)造函數(shù)法證明不等式時，要根據(jù)所給不等式的特征，巧妙的構(gòu)造適當?shù)暮瘮?shù)來證明：有時利用差式構(gòu)造函數(shù)，但有時應用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性證明不等式，有時應用導數(shù)研究函數(shù)極值證明不等式，而有時應用拉格朗日中值定理

35、或柯西中值定理證明不等式.三者有何區(qū)別：若所證不等式含有函數(shù)值及其導數(shù)，宜用中值定理；若所證不等式，其兩端函數(shù)均可導，且或有一為0時，宜用函數(shù)的單調(diào)性.若所證不等式的兩端函數(shù)有不可導時，不能用函數(shù)單調(diào)性證明，宜用中值定理.若所證不等式，兩端函數(shù)均可導，但不是單調(diào)的函數(shù)時，宜用函數(shù)的極值來證明.因此能否順利地構(gòu)造函數(shù)利用其函數(shù)性質(zhì)和使用數(shù)學思想來證明不等式，最重要的是要有扎實的基本功和多種思維品質(zhì)，敢于打破常規(guī)，創(chuàng)造性地思維，才能獨辟蹊徑，使問題獲得妙解。結(jié)束語構(gòu)造法是我們在研究有關(guān)數(shù)學問題時，需要構(gòu)造并解出一個合適的輔助問題，從而用它來求得一條通向表面看來難于接近問題的信道的一種解答問題的方法

36、，其實質(zhì)就是把研究的數(shù)學問題經(jīng)過仔細的觀察，挖掘其隱含條件，再通過豐富的聯(lián)想，把問題化歸為已知的數(shù)學模型，從而使問題得以解答。如果我們能夠掌握了構(gòu)造法并能運用此方法解決數(shù)學問題，那么不但可以培養(yǎng)我們的良好的思維品質(zhì)，而且還可以提高我們的抽象思維能力、發(fā)散思維能力和解題能力。構(gòu)造法的方法很多，技巧性強，使用時沒有固定的模式，須根據(jù)具體問題采用相應的構(gòu)造法。相信上面的講述能給大家一定的幫助。致 謝本次畢業(yè)論文是在郭艷鳳老師的悉心督促下完成的，從選題、課題資料的查找、收集、信息的提供，到論文的撰寫和論文修改都得到了郭老師的精心指導，本人也從中吸取到了不少的經(jīng)驗。郭老師對待工作認真負責，熱心幫助我完成

37、了論文，每當我遇到困難和疑惑的時候，她總會在百忙之中抽出時間耐心的幫助我解決問題。在此向郭艷鳳老師致以忠心的感謝！同時也非常感謝幫助我的同學，在寫論文的這段時間里，我們一起學習，一起討論交流，互相幫助。特別是在為論文煩惱的時候，得到同學的安慰和鼓舞。在這里我倍受感動，祝愿大家都能找到稱心如意的好工作，也祝福大家在以后的工作學習中萬事如意，心想事成！最后由衷的感謝各位審稿老師的指導，感謝您們能閱讀完我的論文，您們辛苦了，謝謝！參考文獻1 龔冬保、武忠祥.大學數(shù)學教程第1卷第1冊. 西安： 西安交通大學出版社 2000.2 龔冬保、魏平.大學數(shù)學教程第2卷第2冊. 西安： 西安交通大學出版社 2001.3 汪生實.構(gòu)造函數(shù)法解不等式例談 2007年 12期 青海教育 ：44-44.4 李富強、王東霞.淺談構(gòu)造函數(shù)法在高等數(shù)學解題中的應用 2005年 8卷 5期 高等數(shù)學研究 ：9-12.5華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析. 第三版.上冊. 北京：高等教育出版社 2001.6華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析. 第三版.下冊. 北京：高等教育出版社 2001.7 張慧芬.淺談微分中值定理證明中