小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽真題集錦及解答精編版

1、小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽真題集錦及解答一、填空題1三個(gè)連續(xù)偶數(shù)，中間這個(gè)數(shù)是m，則相鄰兩個(gè)數(shù)分別是 _m-2_和 _m+2_ _ 。2有一種三位數(shù)，它能同時(shí)被2、 3、 7 整除，這樣的三位數(shù)中，最大的一個(gè)是_966_，最小的一個(gè)是 _126_。解題過程： 2×3×7=42；求三位數(shù)中 42 的倍數(shù) 126、168、 9663小麗發(fā)現(xiàn)：小表妹和讀初三哥哥的歲數(shù)是互質(zhì)數(shù)，積是 144，小表妹和讀初三哥哥的歲數(shù)分別是 _9_歲和 _16_歲。解題過程： 144=2× 2× 2× 2× 3× 3；（9、16）=14一個(gè)四位數(shù)，它的第一

2、個(gè)數(shù)字等于這個(gè)數(shù)中數(shù)字0 的個(gè)數(shù)，第二個(gè)數(shù)字表示這個(gè)數(shù)中數(shù)字1 的個(gè)數(shù)，第三個(gè)數(shù)字表示這個(gè)數(shù)中數(shù)字2 的個(gè)數(shù)，第四個(gè)數(shù)字等于這個(gè)數(shù)中數(shù)字3 的個(gè)數(shù)，那么這個(gè)四位數(shù)是 _1210_。5 2310 的所有約數(shù)的和是 _6912_。解題過程： 2310=2×3×5×7×11；約數(shù)和 =（ 1+2）×（ 1+3）×（ 1+5）×（ 1+7）×（ 1+11）6已知 2008 被一些自然數(shù)去除，得到的余數(shù)都是10，這些自然數(shù)共有 _11_個(gè)。3解題過程： 2008-10=1998；1998=2×3 ×37；

3、約數(shù)個(gè)數(shù) =（ 1+1）×（1+3）×（ 1+1）=16（個(gè)）其中小于 10 的約數(shù)共有 1， 2， 3， 6， 9； 16-5=11（個(gè)）7從 1、2、3、 、1998、1999 這些自然數(shù)中，最多可以取多少個(gè)數(shù)，才能使其中每?jī)蓚€(gè)數(shù)的差不等于 4？_ 1000 _。解題過程： 1，5，9，13， 1997（500 個(gè)） 隔 1 個(gè)取 1 個(gè)，共取 250 個(gè)2 ，6，10， 14， 1998（500 個(gè)）隔 1 個(gè)取 1 個(gè)，共取 250 個(gè)3 ，7，11， 15， 1999（500 個(gè)）隔 1 個(gè)取 1 個(gè)，共取 250 個(gè)4 ，8，12， 16， 1996（499 個(gè)

4、）隔 1 個(gè)取 1 個(gè)，共取 250 個(gè)8黑板上寫有從 1 開始的若干個(gè)連續(xù)的奇數(shù)： 1， 3， 5， 7， 9， 11，13 擦去其中的一個(gè)奇數(shù)以后，剩下的所有奇數(shù)之和為 1998，那么擦去的奇數(shù)是 _27_。12解題過程： 1+3+5+（ 2n-1 ） =n ； 45×45=2025；2025-1998=279一個(gè) 1994 位的整數(shù)，各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字都是 3。它除以 13，商的第 200 位（從左往右數(shù)）數(shù)字是 _5_，商的個(gè)位數(shù)字是 _6_，余數(shù)是 _5_。解題過程： 333333333÷13=256410 25641010在小于 5000 的自然數(shù)中，能被11 整

5、除，并且數(shù)字和為13 的數(shù)，共有 _18_個(gè)。解題過程：能被 11 整除的條件是：奇數(shù)位數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)字和相差為11 的倍數(shù)；1位數(shù)不滿足條件； 2 位數(shù)也不滿足條件（各位數(shù)字應(yīng)相等，數(shù)字和不等于13）；應(yīng)為 3 或 4 位數(shù)； 13=12+1；偶數(shù)位數(shù)字和 =1，奇數(shù)位數(shù)字和 =12 時(shí)，共有 14 個(gè)；偶數(shù)位數(shù)字和 =12，奇數(shù)位數(shù)字和 =1 時(shí)，共有 4 個(gè)； 14+4=18（個(gè)）11設(shè) n 是一個(gè)四位數(shù)，它的9 倍恰好是其反序數(shù)（例如：123 的反序數(shù)是321），則 n_1089_。解題過程：千位只能是 1；個(gè)位只能是 9；百位只能是 0 或 1；如百位是 1，則十位必須為 0，但所

6、得數(shù) 1109 不滿足題意；如百位是 0，則十位必須為 8，得數(shù) 1089 滿足題意12555555 的約數(shù)中，最大的三位數(shù)是_555_。解題過程： 555555=3×5× 11×37×91； 3× 5× 37=55513設(shè) a 與 b 是兩個(gè)不相等的自然數(shù)，如果它們的最小公倍數(shù)是72，那么 a 與 b 之和可以有_17_種不同的值。解題過程： 72=2×2×2×3×3；a=72，b=（ 1+3）×（ 1+2） -1=12-1=11 ； a=36， b=8 或 24；a=24，b=9

7、或 18； a=18， b=8；a=9，b=8；11+6=1714小明的兩個(gè)衣服口袋中各有 13 張卡片，每張卡片上分別寫著 1，2，3， ， 13。如果從這兩個(gè)口袋中各拿出一張卡片來計(jì)算它們所寫兩數(shù)的乘積，可以得到許多不相等的乘積，那么，其中能被6 整除的乘積共有 _21_個(gè)。解題過程： 6×1，2，3， 13共 13 個(gè)；12× 7， 8， 9， 13=6×14，16， 18， 26共 7 個(gè)；9×10=6×15共 1 個(gè)； 13+7+1=21 （個(gè)）15一列數(shù) 1，2，4，7，11，16，22，29， 這列數(shù)的組成規(guī)律是第2 個(gè)數(shù)比第 1

8、 個(gè)數(shù)多 1；2第 3 個(gè)數(shù)比第 2 個(gè)數(shù)多 2；第 4 個(gè)數(shù)比第 3 個(gè)數(shù)多 3；依此類推。那么這列數(shù)左起第1992 個(gè)數(shù)除以 5 的余數(shù)是 _2_。2132n-1nnn-1=n-1 ；解題過程： a -a=1； a -a=2； a-a -2=n-2； a -aan-a 1=1+2+3+n-1=n（ n-1 ） /2 ；an= n （ n-1 ）/2+1 ；a1992=1992×（ 1992-1 ） /2+1=996×1991+1=（995+1）×（ 1990+1） +116兩個(gè)自然數(shù)的和是50，它們的最大公約數(shù)是5，則這兩個(gè)數(shù)的差是 _ 20 或 40 _。解

9、題過程：（a、 b） =5；5|a ， 5|b ；a=5，b=45 或 a=15， b=3517將一個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字交換后得到一個(gè)新數(shù)，它與原數(shù)相加，得到的和恰好是某個(gè)自然數(shù)的平方，這個(gè)和是_121_。解題過程：和可能為兩位數(shù)，也可能為三位數(shù)，但肯定是11 的倍數(shù)，即 11 的平方。18100 以內(nèi)所有被 5 除余 1 的自然數(shù)的和是 _970_。解題過程： 1+6+11+16+91+96=（ 1+96）× 20÷ 2=970199 個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，它們都大于80，那么其中質(zhì)數(shù)至多 _4_個(gè)。解題過程： 9 個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，末尾可能是 0-9 ，末尾是 0、2、

10、4、 6、8 的一定被 2 整除，末尾是 5 的一定被 5 整除，每連續(xù) 3 個(gè)自然數(shù)中一定有一個(gè)是 3 的倍數(shù)，只有末尾是 1、 3、7、9 的數(shù)可能是質(zhì)數(shù)于是質(zhì)數(shù)只可能在這 5 個(gè)連續(xù)的奇數(shù)中，所以質(zhì)數(shù)個(gè)數(shù)不能超過 420如果一個(gè)自然數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，我們稱這個(gè)自然數(shù)為“希望數(shù)”，那么， 1000 以內(nèi)最大的“希望數(shù)”是 _961_。解題過程：自然數(shù)的因數(shù)都是成對(duì)出現(xiàn)的，比如1 和本身是一對(duì)，出現(xiàn)奇數(shù)個(gè)因數(shù)的時(shí)候是因?yàn)槠渲杏幸粚?duì)因數(shù)是相等的，即這個(gè)自然數(shù)是完全平方數(shù)。1000 以內(nèi)最大的完2全平方數(shù)是 31 =961，所以這個(gè)希望數(shù)是96121兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是21，最小公倍數(shù)是12

11、6。這兩個(gè)數(shù)的和是 _105 或 147_。解題過程： 126=21×2×3；這兩個(gè)數(shù)是 42 和 63，或 21 和 12622甲數(shù)是 36，甲乙兩數(shù)的最小公倍數(shù)是288，最大公約數(shù)是 4，乙數(shù)應(yīng)該是 _32_。解題過程：4 |364×8=3236÷4=9288÷4÷9=8323一個(gè)三位數(shù)能同時(shí)被2、5、7 整除，這樣的三位數(shù)按由小到大的順序排成一列，中間的一個(gè)是 _560_。解題過程： 2×5×7=70；70× 2， 3， 4， 13，14=140，210，280， 910， 98024有四個(gè)互不相等

12、的自然數(shù)，最大數(shù)與最小數(shù)的差等于4，最小數(shù)與最大數(shù)的積是一個(gè)奇數(shù)，而這四個(gè)數(shù)的和是最小的兩位奇數(shù)，那么這四個(gè)數(shù)的乘積是_30_。解題過程：最小數(shù)、最大數(shù)均為奇數(shù)，中間有一個(gè)偶數(shù)，4 個(gè)數(shù)和為 11，分別為 1、 2、 3、 525兩個(gè)整數(shù)相除得商數(shù)是 12 和余數(shù)是 26，被除數(shù)、除數(shù)、商數(shù)及余數(shù)的和等于 454，除數(shù)是_30_。解題過程：設(shè)除數(shù)是X，則 12X+26+X+12+26=454； X=3026在 1×2×3× × 100 的積的尾部有 _21_個(gè)連續(xù)的零。解題過程：尾數(shù)為5的共 10個(gè)，尾數(shù) 1個(gè)0的 9個(gè)，2個(gè) 0的 1個(gè)，共 21個(gè) 0

13、27有 0、1、4、7、9 五個(gè)數(shù)字，從中選出四個(gè)數(shù)組成一個(gè)四位數(shù)（例如1409），把其中能被 3 整除的這樣的四位數(shù)，從小到大排列起來，第5 個(gè)數(shù)的末位數(shù)字是 _9_。解題過程： 1047、1074、1407、1470、1704、1740、4017、4071、 4107、 41701479、1497、1749、179428一些四位數(shù)，百位數(shù)字都是3，十位數(shù)字都是6，并且他們既能被2 整除又能被 3 整除。甲是這樣四位數(shù)中最大的，乙是最小的，則甲乙兩數(shù)的千位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字（共四個(gè)數(shù)字）的總和是 _18_。解題過程：求 ?36?中能被 3 整除的偶數(shù)；甲為9366，乙為 1362；9+6+1+2

14、=1829把自然數(shù)按由小到大的順序排列起來組成一串?dāng)?shù)：1、2、 3、 、 9、 10、11、12、 ，把這串?dāng)?shù)中兩位以上的數(shù)全部隔開成一位數(shù)字，組成第二串?dāng)?shù)： 1、2、 、 9、1、0、1、 1、1、 2、 1、 3、 。則第一串?dāng)?shù)中 100 的個(gè)位數(shù)字 0 在第二串?dāng)?shù)中是第 _192_個(gè)數(shù)。解題過程： 1-9 （共 9 個(gè)）， 10-99 （共 180 個(gè)），100（共 3 個(gè)）30某個(gè)質(zhì)數(shù)與 6、8、12、14 之和都仍然是質(zhì)數(shù)， 一共有 _1_個(gè)滿足上述條件的質(zhì)數(shù)。解題過程：除 2 和 5 以外，其它質(zhì)數(shù)的個(gè)位都是1，3，7，9；6，8，12， 14 都是偶數(shù)，加上唯一的偶數(shù)質(zhì)數(shù)2 和仍

15、然是偶數(shù)，所以不是2；14 加上任何尾數(shù)是1 的質(zhì)數(shù)，最后的尾數(shù)都是5，一定能被 5 整除； 12 加上任何4尾數(shù)是 3 的質(zhì)數(shù)，尾數(shù)也是 5；8 加上任何尾數(shù)是 7 的質(zhì)數(shù)，尾數(shù)也是 5； 6 加上任何尾數(shù)是 9 的質(zhì)數(shù)，尾數(shù)也是 5；所以，這個(gè)質(zhì)數(shù)的末位一定不是1，3，7，9；只有 5符合31已知 a 與 b 的最大公約數(shù)是12，a 與 c 的最小公倍數(shù)是300，b 與 c 的最小公倍數(shù)也是300。那么滿足上述條件的自然數(shù)a、b、c 共有 _30_組。（例如 a12，b 300，c300，與 a300， b12，c300 是不同的兩個(gè)自然數(shù)組）解題過程：（ a， b） =12， a=12m

16、，b=12n（ m， n=1 或 5 或 25，且（ m，n）=1）； a ，c=300 ，b ，c=300 ， c=25k（k=1，2，3，4，6，12）；當(dāng) m=1，n=1 時(shí)， a=12，b=12，c=25k當(dāng) m=1，n=5 時(shí)， a=12，b=60，c=25k當(dāng) m=1，n=25 時(shí)， a=12， b=300，c=25k當(dāng) m=5，n=1 時(shí)， a=60，b=12，c=25k當(dāng) m=25， n=1 時(shí)， a=300，b=12，c=25k故有 30組32從左向右編號(hào)為1 至 1991 號(hào)的 1991 名同學(xué)排成一行。從左向右1 至 11 報(bào)數(shù)，報(bào)數(shù)為11 的同學(xué)原地不動(dòng)，其余同學(xué)出列；

17、然后留下的同學(xué)再從左向右1 至 11 報(bào)數(shù)，報(bào)數(shù)為 11 的同學(xué)留下，其余同學(xué)出列；留下的同學(xué)第三次從左向右1 至 11 報(bào)數(shù)，報(bào)到 11 的同學(xué)留下，其余同學(xué)出列。那么最后留下的同學(xué)中，從左邊數(shù)第一個(gè)人的最初編號(hào)是_1331_。解題過程： 11× 11×11=133133在 1，9，8，9 后面寫一串這樣的數(shù)字：先計(jì)算原來這 4 個(gè)數(shù)的后兩個(gè)之和 8 9 17，取個(gè)位數(shù)字 7 寫在 1， 9，8，9 的后面成為 1，9，8，9，7；再計(jì)算這 5 個(gè)數(shù)的后兩個(gè)之和 9 716；取個(gè)位數(shù)字 6 寫在 1， 9， 8，9，7 的后面成為 1，9，8，9，7， 6；再計(jì)算這 6

18、個(gè)數(shù)的后兩個(gè)之和 7613，取個(gè)位數(shù)字 3 寫在 1，9，8，9，7，6 的后面成為 1，9，8，9，7，6， 3。繼續(xù)這樣求和，這樣填寫，成為數(shù)串 1， 9， 8， 9， 7， 6， 3， 9， 2，1，3，4 那么這個(gè)數(shù)串的前 398 個(gè)數(shù)字的和是 _1990_。解題過程： 1，9，|8 ， 9， 7， 6， 3， 9， 2， 1， 3， 4，7，1，|8 ，9，7，6，3， 5398-2=396；396÷ 12=33；8+9+7+6+3+9+2+1+3+4+7+1=60； 60×33+10=1990二、判斷題1兩個(gè)連續(xù)整數(shù)中必有一個(gè)奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)。（ ）2偶數(shù)的個(gè)位一定

19、是0、2、4、6 或 8。 （ ）3奇數(shù)的個(gè)位一定是1、3、5、7 或 9。 （ ）4所有的正偶數(shù)均為合數(shù)。（ × ）5奇數(shù)與奇數(shù)的和或差是偶數(shù)。（ ）6偶數(shù)與奇數(shù)的和或差是奇數(shù)。（ ）7奇數(shù)與奇數(shù)的積是奇數(shù)。（ ）8奇數(shù)與偶數(shù)的積是偶數(shù)。（ ）9任何偶數(shù)的平方都能被4 整除。（ ）10任何奇數(shù)的平方被8 除都余 1。 （ ）11相鄰偶數(shù)最大公約數(shù)為2，最小公倍數(shù)為它們乘積的一半。 （ ）12任何一個(gè)自然數(shù)，不是質(zhì)數(shù)就是合數(shù)。（ × ）13互質(zhì)的兩個(gè)數(shù)可以都不是質(zhì)數(shù)。（ ）14如果兩個(gè)數(shù)的積是它們的最小公倍數(shù)，這兩個(gè)數(shù)一定是互質(zhì)數(shù)。（ ）三、計(jì)算題1能不能將（ 1）505；

20、（2）1010 寫成 10 個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和？如果能，把它寫出來；如果不能，說明理由。解題過程： S=n+（n+1）+（n+2）+（n+3）+（ n+4）+（ n+5）+（ n+6）+（ n+7）+（ n+8）+（ n+9）=10n+45（一定是奇數(shù)）（1）505=45+46+47+48+49+50+51+52+53+54（2）1010 是偶數(shù)，不能寫成10 個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和2（1）從 1 到 3998 這 3998 個(gè)自然數(shù)中，有多少個(gè)能被4 整除？6（2）從 1 到 3998 這 3998 個(gè)自然數(shù)中，有多少個(gè)數(shù)的各位數(shù)字之和能被4 整除？解題過程：（1） 3998÷ 4=999

21、（個(gè)） 2（2）考慮個(gè)位，選法有10 種 ; 十位，選法有10 種 ; 百位選法有 10 種; 選定之后個(gè)位、十位、百位數(shù)字之和除以 4 的余數(shù)有 3 種情況，余 0、余 1、余 2、余 3，對(duì)應(yīng)這四種在千位上剛好有一種與之對(duì)應(yīng)，共有 1000 個(gè)； 1000-1=999（個(gè)）3請(qǐng)將 1， 2， 3， ， 99， 100 這一百個(gè)自然數(shù)中既是奇數(shù)又是合數(shù)的自然數(shù)排成一行，使每?jī)蓚€(gè)相鄰的數(shù)都不互質(zhì)（若一行寫不下，可移至第二行接著寫，若第二行仍寫不下，可移至第三行接著寫）。解題過程： 9，15，21，27，33， 39，45，51， 57，63， 69，75，81， 87，93，9915， 25，

22、35，55， 65，85，9521， 35，49，77， 9133， 55，77，9925， 35，55，65， 85，95； 15，9，21，27， 33，39，45， 51，57， 63，69，75，81， 87，93，99； 77，91，494一個(gè)自然數(shù)除以8 得到的商加上這個(gè)數(shù)除以9 的余數(shù)，其和是13。求所有滿足條件的自然數(shù)。解題過程：設(shè)這個(gè)數(shù)為n，除以 9 的余數(shù) r 8，所以除以 8 得到的商 q13-8=5，且 q13n=8q+k=9p+r=>k=9p+r-8p=9p+r-8 ×（ 13-r ）=9×（ p+r ） -104=4q=5， n=8

23、5; 5+4=44q=6， n=8× 6+4=52q=7， n=8× 7+4=60q=8， n=8× 8+4=68q=9， n=8× 9+4=76q=10，n=8×10+4=84q=11，n=8×11+4=92q=12，n=8×12+4=1007q=13，n=8×13+4=1085有紅、黃、藍(lán)、綠四種顏色的卡片，每種顏色的卡片各有 3 張。相同顏色的卡片上寫相同的自然數(shù)，不同顏色的卡片上寫不同的自然數(shù)。老師把這 12 張卡片發(fā)給 6 名同學(xué)，每人得到兩張顏色不同的卡片。然后老師讓學(xué)生分別求出各自兩張卡片上兩個(gè)自然數(shù)

24、的和。六名同學(xué)交上來的答案分別為： 92、125、133、 147、158、191。老師看完 6 名同學(xué)的答案后說，只有一名同學(xué)的答案錯(cuò)了。問：四種顏色卡片上所寫各數(shù)中最小數(shù)是多少？解題過程：設(shè)四張卡片上的數(shù)從小到大分別為A、B、C、D，則六位同學(xué)所計(jì)算的分別為A+B、A+C、A+D、 B+C、B+D、C+D這 6 個(gè)和數(shù)，且最小的兩個(gè)依次為A+B、A+C，最大的兩個(gè)依次為 C+D、B+D。（A+B） +（ C+D）=（A+C）+（B+D）=（A+D） +（ B+C）；而 92+191=283=125+158， 133+147=280283；所以， A+B=92，A+C=125，B+D=158

25、，C+D=191；133、147 中有一個(gè)不正確。若 147 是正確的， 則 B+C=147，A+D=283-147=136。C-B=（A+C）- （A+B）=125-92=33 => C=90 ，B=57，A=92-57=35，D=191-90=101若 133 是正確的， 則 A+D=133，B+C=283-133=150。C-B=（A+C）- （A+B）=125-92=33 => B=50 ，C=83，A=92-50=42，D=191-83=108所以，四種顏色卡片上所寫各數(shù)中最小數(shù)是35 或 42。6有三個(gè)數(shù)字能組成6 個(gè)不同的三位數(shù)，這6 個(gè)三位數(shù)的和是2886，求所有這

26、樣的6 個(gè)三位數(shù)中最小的三位數(shù)。（說明理由）解題過程：設(shè)這三個(gè)數(shù)字從小到大分別為A、 B、C，顯然，它們互不相等且都不等于0。則 222×（ A+B+C） =2886 => A+B+C=2886÷222=13百位數(shù)為 1 是最小的，另兩個(gè)數(shù)分別為3 和 9；所以最小的三位數(shù)為1397求小于 1001 且與 1001 互質(zhì)的所有自然數(shù)的和。解題過程： 10017×11× 1312 1000=（11000）× 1000÷2500500714 21 994（ 7994）× 142÷271071811 22 990（

27、 11990）× 90÷24504513 26 988（ 13988）× 76÷23803877+154+231+924=（77+924）× 12÷2=600691+182+273+910=（91+910）× 10÷2=5005143+286+429+ +858=（ 143+858）× 6÷2=3003500500710714504538038+6006+5005+30033603608三張卡片，在它們上面各寫一個(gè)數(shù)字（如圖）。從中抽出一張、二張、三張，按任意次序排列起來，可以得到不同的一位數(shù)、二位數(shù)、三位數(shù)。請(qǐng)你將其中的質(zhì)數(shù)都寫出來。解題過程： 2、3、13、 23、 319一串?dāng)?shù)排成一行，它們的規(guī)律是這樣的：頭兩個(gè)數(shù)都是 1，從第三個(gè)數(shù)開始，每一個(gè)數(shù)都是前兩個(gè)數(shù)的和，也就是： 1，1，2，3，5，8， 13，21，34，