隨機變量的重要分布學習教案

1、會計學1隨機變量的重要隨機變量的重要(zhngyo)分布分布第一頁，共26頁。1|pPmi lnXn此定律說明了頻率的穩(wěn)定性，即此定律說明了頻率的穩(wěn)定性，即n充分充分(chngfn)大時，頻率在概率大時，頻率在概率p的附近的附近擺動，是用頻率作為概率的理論根據(jù)。擺動，是用頻率作為概率的理論根據(jù)。Bernoulli大數(shù)定律大數(shù)定律:當當X是是n次重復獨立試驗中次重復獨立試驗中某事件出現(xiàn)的次數(shù)，某事件出現(xiàn)的次數(shù)，p是該事件出現(xiàn)的概率是該事件出現(xiàn)的概率(gil)時，時，X服從二項分布服從二項分布B（n，p）。）。對于任意給定的正數(shù)對于任意給定的正數(shù)，總有，總有與二項分布有關與二項分布有關(yugun

2、)的結論的結論:第2頁/共26頁第二頁，共26頁。證明：用到證明：用到B(1,p)與與B(m,p)及及B(n,p)的關系。的關系。當當X1、X2、Xm、Xm+1、Xm+2、Xm+n相互相互(xingh)獨立且都服從獨立且都服從B(1,p)時，時，Y=X1+X2+Xm服從服從B(m,p)，Z=Xm+1+Xm+2+Xm+n服從服從B(n,p)，Y與與Z相互相互(xingh)獨立，獨立，Y+Z服從服從B(m+n,p)。B(1,p)與與B(n,p):當當X1、X2、Xn相相互互(xingh)獨立且都服從獨立且都服從B(1,p)時，時，Y=X1+X2+Xn服從服從B(n,p)?？杉有钥杉有?當當Y與與Z

3、相互獨立且依次相互獨立且依次(yc)服從服從B(m,p)及及B(n,p)時，時，Y+Z服從服從B(m+n,p)。第3頁/共26頁第三頁，共26頁。0, exp)(22121 xxp時，稱時，稱X服從服從(fcng)參數(shù)為參數(shù)為的正的正態(tài)分布，態(tài)分布，記作記作XN()。2 及2, 2.一維連續(xù)型隨機變量一維連續(xù)型隨機變量(sujbinlin)的重要分布的重要分布正態(tài)分布正態(tài)分布(fnb)：如果連續(xù)型隨機變量：如果連續(xù)型隨機變量X的分布的分布(fnb)密度密度1, 02 ,)(2221xexpx 當當時稱時稱X服從標準正態(tài)分布，記作服從標準正態(tài)分布，記作XN(0,1)。這時這時X的分布密度的分布密

4、度第4頁/共26頁第四頁，共26頁。X的分布的分布(fnb)函數(shù)函數(shù),)(22211 , 0 xxdxexF為應用方便起見，在統(tǒng)計為應用方便起見，在統(tǒng)計(tngj)用表中有用表中有F0,1(x)的數(shù)值表。的數(shù)值表。xo)(xp分布密度)(xF分布函數(shù)x當當XN(0,1)時，它的分布密度是偶函數(shù)，曲線時，它的分布密度是偶函數(shù)，曲線(qxin)y=p(x)關于關于y軸對稱。軸對稱。第5頁/共26頁第五頁，共26頁。xo)(xp分布密度)(xF分布函數(shù)x在比較簡略在比較簡略(jinl)的統(tǒng)計用表中只有的統(tǒng)計用表中只有x=0至至x=2.99所對應的所對應的F0,1(x)的數(shù)值。的數(shù)值。當當x2.99時

5、，時，F(xiàn)0,1(x)1；當當-x0時，時，F(xiàn)0,1(-x)=1-F0,1(x)。 2,) 1 , 0( NYX當當XN()時，時，第6頁/共26頁第六頁，共26頁。2,當當XN(0,1)時，數(shù)字時，數(shù)字(shz)特征特征;)(,)(2XDXE1)(,0)(XDXE計算計算(jsun)如下如下：;0)()(2221dxexdxxpxXExdxexdxxpxXEx2222122)()(, 10)(22212221dxeedxxx101)()()(222EXXEXD當當XN()時，數(shù)字時，數(shù)字(shz)特征特征第7頁/共26頁第七頁，共26頁。1）背景：當某一隨機變量取值的概率受到很多作用都比）背景

6、：當某一隨機變量取值的概率受到很多作用都比較微小的、獨立的隨機因素的影響時，它的分布較微小的、獨立的隨機因素的影響時，它的分布(fnb)或者是正態(tài)分布或者是正態(tài)分布(fnb)或者與正態(tài)分布或者與正態(tài)分布(fnb)相接近。相接近。2）中心極限定理）中心極限定理:當隨機變量當隨機變量X1、X2、獨立同分布獨立同分布(fnb)，數(shù)學期望為有限數(shù)，數(shù)學期望為有限數(shù)E(X)，方差為非零有限數(shù)，方差為非零有限數(shù)D(X)，E()=nE(X)，D()=nD(X)，且，且時，時，N(nE(X)，nD(X)，標準化隨機變量，標準化隨機變量N(0，1)。iiXiiXn)()(XnDXnEXiiiiX與正態(tài)分布有關與

7、正態(tài)分布有關(yugun)的結論的結論:第8頁/共26頁第八頁，共26頁。3）中心極限定理）中心極限定理:當隨機變量當隨機變量X1、X2、獨立獨立(dl)同分布，數(shù)同分布，數(shù)學期望為有限數(shù)學期望為有限數(shù)E(X)，方差為非零有限數(shù)，方差為非零有限數(shù)D(X)，E()=E(X)，D()=D(X)，且，且時，時，N(E(X)，D(X)，標準化隨機變量，標準化隨機變量N(0，1)。iiXn1n)(1)(1XDnXEXnii與正態(tài)分布有關與正態(tài)分布有關(yugun)的結論的結論:iiXn1iiXn1n1n1第9頁/共26頁第九頁，共26頁。推論推論:當隨機變量當隨機變量X1、X2、相互獨立相互獨立(dl)

8、且都服從且都服從B(1,p)分布，分布，p和和1-p都不太接近于都不太接近于0，E(Xi)=p,D(Xi)=p(1-p),E()=p，D()=p(1-p)，且且時，時，N(p，p(1-p)，標準化隨機變量，標準化隨機變量N(0，1)。iiXn1n)1(11ppnpXnii與正態(tài)分布有關與正態(tài)分布有關(yugun)的結論的結論:iiXn1iiXn1n1n1第10頁/共26頁第十頁，共26頁。1)二維零二維零-壹分布壹分布(fnb)：當二維離散型隨機變量：當二維離散型隨機變量(X1,X2)取取值值(0,0),(1,0)和和(0,1)且且0p11，0p21時，若時，若(X1,X2)的分布的分布(fn

9、b)律為律為(X1,X2)P(0,0)1-(p1+p2)(1,0)p1(0,1)p2則稱則稱(X1,X2)服從參數(shù)為服從參數(shù)為p1和和p2的零的零-壹分布壹分布(fnb)，記作，記作(X1,X2)B(1,p1,p2)。3.二維離散型隨機變量二維離散型隨機變量(sujbinlin)的重要分布的重要分布第11頁/共26頁第十一頁，共26頁。2）三項分布：當二維離散型隨機變量）三項分布：當二維離散型隨機變量(X1,X2)=(k1,k2),k1和和k2為非負整數(shù)且為非負整數(shù)且k1+k2n，0p11，0p21時，若時，若(X1,X2)的分布律為的分布律為P(X1,X2)=(k1,k2)=，式中的式中的=

10、，則稱則稱(X1,X2)服從參數(shù)服從參數(shù)(cnsh)為為p1和和p2的三項分布的三項分布，記作，記作(X1,X2)B(n,p1,p2)?？梢酝瞥鼋Y論：可以推出結論：)!( !2121kknkkn)21()21(1 2211kknppkpkp)!( !2121kknkkn211kknCknC第12頁/共26頁第十二頁，共26頁。可以推出結論：可以推出結論：B(1,p1,p2)與與B(n,p1,p2):當隨機變量當隨機變量(X11,X12)、(X21,X22)、(Xn1,Xn2)相互相互(xingh)獨立且都服從獨立且都服從B(1,p1,p2)時，時，(X11,X12)+(X21,X22)+(Xn

11、1,Xn2)B(n,p1,p2)?？杉有钥杉有?當隨機變量當隨機變量(Y1,Y2)與與(Z1,Z2)相互相互(xingh)獨立且依次服從獨立且依次服從B(m,p1,p2)及及B(n,p1,p2)時，時，(Y1,Y2)+(Z1,Z2)B(m+n,p1,p2)。4.多維離散多維離散(lsn)型隨機變量的重要分布型隨機變量的重要分布1）多維零）多維零-壹分布：壹分布：當多維離散當多維離散(lsn)型隨機變量型隨機變量(X1,X2,Xm)取值取值第13頁/共26頁第十三頁，共26頁。(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)且且0p11，0p21，0pm1時，時，若若(X1,X2,

12、Xm)的分布的分布(fnb)律為律為(X1,X2,Xm)P(0,0,0)1-(p1+p2+pm)(1,0,0)p1(0,1,0)p2(0,0,1)pm則稱則稱(X1,X2,Xm)服從參數(shù)為服從參數(shù)為p1、p2、pm的的零零-壹分布壹分布(fnb)，記作，記作(X1,X2,Xm)B(1,p1,p2,pm)。第14頁/共26頁第十四頁，共26頁。當當n個個m維離散型隨機變量維離散型隨機變量()相互獨立相互獨立且都服從且都服從(fcng)B(1,p1,p2,pm)時，稱時，稱服從服從(fcng)參數(shù)為參數(shù)為p1、p2、pm的多項分布，記的多項分布，記作作B(n,p1,p2,pm)。miiiXXX,2

13、1imiiiXXX),(21imiiiXXX),(21因為因為n個個m維離散型隨機變量維離散型隨機變量()相互相互獨立且都服從獨立且都服從B(1,p1,p2,pm)時，其中時，其中(qzhng)有有k1個取個取(1,0,0)，k2個取個取(0,1,0)，Km個取個取(0,0,1)，n-(k1+k2+km)個取個取(0,0,0)的組合數(shù)為的組合數(shù)為,miiiXXX,21mkmkkknCkknCknC)121(2112）多項分布多項分布(fnb)：第15頁/共26頁第十五頁，共26頁。=式中的式中的k1,k2,km為非負整數(shù)為非負整數(shù)(zhngsh)且且k1+k2+kmn。imiiiXXX),(2

14、1imiiiXXX),(21,)21()21(1 2211mmkkknpppkpkpmkmkkknCkknCknC)121(211所以所以(suy)，的分布律為的分布律為P=(k1,k2,km),)!(!2121mkkknkknmkmkkknCkknCknC)121(211第16頁/共26頁第十六頁，共26頁。正態(tài)分布：當二維連續(xù)型隨機變量正態(tài)分布：當二維連續(xù)型隨機變量(sujbinlin)(X,Y)的的分布密度分布密度p(x,y)=221121 ,2)1(21exp22222112112 yyxx時，稱時，稱(X,Y)服從服從(fcng)參數(shù)參數(shù)為為、及及的正態(tài)分布，記作的正態(tài)分布，記作(X

15、,Y)N()。,0,121 , 11,02 yx,1 2 21 ,2221215.二維連續(xù)型隨機變量二維連續(xù)型隨機變量(sujbinlin)的重要分布的重要分布第17頁/共26頁第十七頁，共26頁。COV(X,Y)=CORR(X,Y)=X的分布密度的分布密度p1(x)=，Y的分布密度的分布密度p2(y)=。這說明二維正態(tài)分布這說明二維正態(tài)分布并不是兩個并不是兩個(lin)一維正態(tài)分布的簡單的合二而一。一維正態(tài)分布的簡單的合二而一。 ,222121,22212121 可以可以(ky)推出結論：推出結論：若若(X,Y)N()，則，則11 ,21 cov(X,Y)=，(X,Y)=211121exp2

16、1 x222221exp21 y第18頁/共26頁第十八頁，共26頁。6.多維連續(xù)型隨機變量的重要分布多維連續(xù)型隨機變量的重要分布正態(tài)分布：正態(tài)分布：當多維連續(xù)型隨機變量當多維連續(xù)型隨機變量X=(X1,X2,Xm)的分布密度的分布密度p(x)=)(1)(21exp)2(212 xxm時，稱時，稱X服從服從m維的正態(tài)分布維的正態(tài)分布),( mN2121 22221121exp yxX與與Y相互獨立的充要條件是第五個參數(shù)相互獨立的充要條件是第五個參數(shù)=0，這時這時(X,Y)的分布密度的分布密度 p(x , y)= = p1(x)p2(y)第19頁/共26頁第十九頁，共26頁。)(1)(21exp)

17、2()(212 xxxpm),(,),(,),(21,21,21mmmXXXCOVxxxx 式中的exp)(22121 xxp221121),( yxp222221121122)1(21exp yyxx第20頁/共26頁第二十頁，共26頁。)(1)(21exp)2()(212 xxxpm,),(,),(,21,21 xxx式中的,22212121時 ),(21XXCOV,)1(1,21)2( , 222221212 mm2222222111211122)1(1 xxxx)(1)( xx第21頁/共26頁第二十一頁，共26頁。22121121),(,2 xxpm時2222222111211122

18、)1 (21exp xxxx)(1)(21exp)2()(212 xxxpm還可以證明：若還可以證明：若(X1,X2,Xm)服從正態(tài)分布，則服從正態(tài)分布，則每一個每一個Xi(i=1至至m)都服從一維正態(tài)分布；都服從一維正態(tài)分布；任意任意(rny)k個個(k=1至至m-1)所組成的所組成的k維隨機變量維隨機變量(X1,X2,Xk)都服從都服從k維正態(tài)分布。維正態(tài)分布。第22頁/共26頁第二十二頁，共26頁。當隨機變量當隨機變量X1、X2、Xn相互相互(xingh)獨立，其分布函獨立，其分布函數(shù)依次為數(shù)依次為F1(x1)、F2(x2)、Fn(xn)時，時，Y=的分的分布函數(shù)布函數(shù)iXni 1max；iinyFyFyFyFyF)()()()()(21maxZ=的分布的分布(fnb)函數(shù)函數(shù)iXni 1min)(1 )(1)(1 1)(21minzFzFz