有理數(shù)的乘除法

1、1.4有理數(shù)的乘除法新知鏈接1、約分：利用分數(shù)的基本性質(zhì)，把分子分母中的最大公約數(shù)約去，叫做約分。2、分數(shù)乘法法則：分數(shù)乘整數(shù)，用分數(shù)的分子和整數(shù)相乘的積作分子，分母不變。分 數(shù)乘分數(shù)，用分子乘分子作為積的分子，分母乘分母作為積的分母。3、乘法運算律：乘法的交換律：兩個數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積相等。用字母表 示為：ab=ba。 乘法的結(jié)合律：三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，或者先把后兩個數(shù)相乘，積相等。用字 母表示為：（ab） c=a （ bc）。 乘法的分配律：一個數(shù)同兩個數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)分別同這兩個數(shù)相乘，再把積相加。用字母表示為： a（ b+c）=ab+ac .4 、絕對值的意義

2、：一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0。目標導航1 、理解有理數(shù)的乘法法則， 能熟練地進行有理數(shù)的乘法運算，并能運用乘法運算律簡化計算。2、會將有理數(shù)的除法轉(zhuǎn)化成乘法，正確進行有理數(shù)除法的運算。3、會進行有理數(shù)的乘除混合運算?？键c一：有理數(shù)的乘法（必考）考點深度解析1、有理數(shù)乘法法則有理數(shù)乘法法則：（1）兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘；（2）任何數(shù)同0相乘，都得0?！咎貏e提醒】 乘法法則中的“同號得正，異號得負”是專指兩個數(shù)相乘。有理數(shù)乘法的運算步驟 為兩步：先確定積的符號，再確定積的絕對值。 乘法算式中的第一個負因數(shù)可以不帶括號，但是后面的負因

3、數(shù)必須帶括號， 例如一40X（5）不能寫成40X 5。在進行乘法運算時，帶分數(shù)要化成假分數(shù)，以便于約分。2、倒數(shù)的概念倒數(shù)的概念：乘積是 1的兩個數(shù)互為倒數(shù)。0沒有倒數(shù)；若 0,那么a的倒數(shù)是丄。即aa與1互為倒數(shù)。例如：3與1，-與一8互為倒數(shù)。a387 求帶分數(shù)的倒數(shù)時，要先把帶分數(shù)化成假分數(shù)；求一個小數(shù)的倒數(shù)要先把小數(shù)化為分數(shù)。 檢驗所求倒數(shù)的正確性的方法：原數(shù)與其倒數(shù)符號相同，并且二者乘積為1.3、有理數(shù)乘法法則的推廣幾個不是o的數(shù)相乘，積的符號由負因數(shù)的個數(shù)決定，當負因數(shù)的個數(shù)是偶數(shù)時，積是 正數(shù)；當負因數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)時，積是負數(shù)。幾個數(shù)相乘，如果其中有因數(shù)為o，那么積就是0.【典型

4、例題】例題1 (從化月考)計算：1(1) (- 10)x( _)x( 0.1 ) x 6 ;35 4(2) ( 3)x _x( 1 )x( 0.25 );6 5(3) ( 5)x( 8.1 )x 3.14 x 0.解析：幾個不是0的數(shù)相乘，首先確定積的符號，然后把絕對值相乘。因數(shù)是小數(shù)的要化為 分數(shù)，是帶分數(shù)的通?；癁榧俜謹?shù)，以便能約分。幾個數(shù)相乘，有一個因數(shù)為0，積就是0.1解：(1) ( 10)x( -)x( 0.1 )x 631 1=10xx x 6310=2;5 4(2) ( 3)x _x( 1 )x( 0.25 )6 59= 一；8(3) ( 5)x( 8.1 )x 3.14 x 0

5、.=0.9答案：(1) 2;(2) ;(3) 0.84、有理數(shù)的乘法運算律有理數(shù)乘法的運算律： 乘法的交換律：一般的，有理數(shù)乘法中，兩個數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積相等。用字母表示為：ab=ba。 乘法的結(jié)合律：一般的，有理數(shù)乘法中，三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，或者先把后兩個數(shù)相乘，積相等。用字母表示為：(ab) c=a (be)。 乘法的分配律：一般的，有理數(shù)乘法中，一個數(shù)同兩個數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)分別同這兩個數(shù)相乘，再把積相加。用字母表示為：a (b+e) =ab+ae .【特別提醒】1 在用交換律交換因數(shù)的位置時，要連同符號一起交換。例如：10x()x( 0.131x 6=6 x(

6、)x( 0.1 ) x( 10) o31 57 利用分配律計算時，不要漏乘，不要弄錯符號。例如：(1 + 5- 7 )x(- 36)2 6 121 57157=_ (-36) + - (-36)- (-36)，不要寫成一(-36)+ (-36)- 。2 6122612【典型例題】 例題2 (汕頭月考)計算：1(1) 1.25 x(- 0.3 )x 8X(- 3-);31 57(2) ( 1 +5- )X( 36);2 6 12(3) 4X 57+( 4)X 43;(4) 9 20 X 42.21解析：在做有理數(shù)的乘法時，要先觀察算式的特點，靈活運用乘法的運算律，可以使復 雜的問題簡單化。其中第

7、3小題可以逆用乘法的分配律把已知算式變成(一4) X ( 57+ 43).1解：(1) 1.25 X( 0.3 )X 8X( 3-)31 =(1.25 X 8)X( 0.3 X 3 -)3=10X 1=10；1 57(2) ( + -) X( 36)2 6 121 57=(-36)(-36)-(-36)2 612=18+(30)(21)=18 30 + 21=27;(3) 4X 57+( 4)X 43=(4)X( 57+ 43)=(4)X 100=400;(4) 9 20 X 42211=(10) X 42211 =(10 X 42 X 42)21=(420 2)=418 o答案：(1) 10

8、;(2) 27;( 3) 400;(4) 418o考點二：有理數(shù)的除法(必考)考點深度解析1、有理數(shù)除法法則有理數(shù)除法法則：1法則除以一個不等于 0的數(shù)，等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)。用字母表示為：a十b=ax -( b 0) o b法則兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。0除以任何一個不等于 0的數(shù)，都得0o【方法點撥】 如果被除數(shù)和除數(shù)都是整數(shù)，且能整除，一般選用法則進行計算，先確定商的符號，再將兩數(shù)的絕對值相除。 如果被除數(shù)和除數(shù)都是整數(shù)且不能整除，或者被除數(shù)和除數(shù)中有小數(shù)或分數(shù)，一般選用法則進行計算?！镜湫屠}】例題3 (南陽期中)計算：(1)21 +(11 )；36(2)(12)

9、+1( )+ ( 100)122),解析：在進行有理數(shù)的除法運算時，首先確定商的符號，然后將其絕對值相除；對于( 屬于多個有理數(shù)相除，可以按照從左到右的順序依次計算，也可以轉(zhuǎn)化為乘法后計算。11解：(1) 2丄 +( 11 )3 673=2;1(2) ( 12) + ( ) + ( 100)121=(12 十十 100)12=(144 十 100)=1.44.1另解(2)： ( 12) + () + ( 100)121=(12 X 12X-)100=1.44.答案：(1) 2;(2) 1.44.2、有理數(shù)的乘除混合運算有理數(shù)的乘除混合運算往往先將除法化成乘法，然后確定積的符號，最后求出結(jié)果?！?/p>

10、典型例題】 例題4 (銅仁月考)計算：/八 /3/1111(1)()X(3 )+ (1- )+ 3; ( 2)1- +( 3)X o52423解析：進行乘除混合運算時，先將除法化成乘法，把算式化為連乘積的形式。再利用負因數(shù)的個數(shù)確定乘積的符號，同時將小數(shù)化成分數(shù)，把帶分數(shù)化為假分數(shù)進行計算?！?1解: (1)(一 三)x(3- ) +52/37= ()x(-)x523741= xxx -52534-)51425(2)111-+(3)x 2331、 1=x()x 233311=xx -23316答案：(1)141一;(2)256【易混辨識】有理數(shù)的乘除混合運算是同級運算，在運算過程中，應按照從左

11、到右的順序逐一進行，但是部分同學經(jīng)常會忘記這一點，錯誤地認為哪兩個數(shù)比較容易計算就先算哪兩個數(shù)，或錯111誤的約分導致運算結(jié)果錯誤。例如：計算1 ' +( 3) x 時，會出現(xiàn)如下錯誤：1 1十23211111一 一(3)x = 13x = 11=1 。因此在有理數(shù)的混合運算中，一定要注意運算順3 23 22序。分配律的運用使運算簡便、準確，但是分配律對于除法運算并不完全適用。11113-52例如：計算15+()時，正確解答是：15+(-)=15 + =:15+=5353151522511。此題不能使用分配律。但是當被除數(shù)是和的形式時，可以使用。例如：(一)25 311112+ 15=

12、+ 15+ 15= 一 。5375452253、有理數(shù)的四則混合運算1、有理數(shù)的四則混合運算：是指有理數(shù)加減、乘除運算的綜合運用。在運算時注意按照“先算乘除，再做加減”的順序進行；如果有括號指出先做什么運算，則先做括號里面的運算。 同級運算按照從左到右的順序進行。2、計算器的使用不同品牌的計算器操作方法可能有所不同，具體操作方法應當按照計算器的使用說明進行。 另外注意以下幾點：計算器要放置平穩(wěn)，以免按鍵時發(fā)生晃動和滑動； 每次運算時，要按一下清零鍵 ON ;1(1) 1 + 5 +(-)2X( 2) (2)/、11 /11、35(3)X(-)X + 。52114注意負數(shù)的輸入方式?！镜湫屠}】

13、例題5 （遵義月考）計算:81/ 2、1/ 6、113 +(7 )+ +(36 )+ 136136136解析：有理數(shù)的加減乘除混合運算中，如果有括號，通常先算括號里面的；如果無括號，則 按照“先乘除，后加減”的順序進行；同級運算按照從左到右的順序進行。1解：(1) 1 + 5+( ) X(- 2)2=1 + 5X 2X 2=19;/c、81/2、1/61(2) 13+( 7 )+( 36)+ 136136136826=13x 6+( 7 )x 6+( 36 )x 6131313826=(13 736) x 6131313=(30)X6=180;11 / 11、35(3)X(-)X 532114

14、11 /1、34=X()XX561152=。25答案：(1) 19;(2)-180;(3)-25教材答案詳解課本第30頁練習答案：3“、11、 ( 1) 54;( 2) 24 ;( 3) 6;(4) 0;( 5) ；(6)。2 122、 解：5X 60= 300 (元)答：銷售額降低了300元。11333、 解：各數(shù)的倒數(shù)分別為：1; 1; 3; 3;。5522課本第32頁練習答案：1、 解：(1) 24;(2) 120;( 3) 16;(4) 81.2、 解：(1) ( 5)X 8X( 7)X( 0.25 )=(5 X 7)X( 8X 0.25 ) = 35X 2= 70.1解：(1) 3;

15、( 2) 9;(3);( 4) 0 ;( 5) 50; (6) 3.9課本第36頁練習答案:1、解:(1) 8;2;(3)0.3455642、解：(1 -丄；(2);(3)。11215課本第36頁練習答案：解：(1) 2 ;(2) 16;(3)156;(4)25.課本第37頁練習答案：解：(1) 17 ; (2) 6.68 ;(3) 471;(4)-1816.354985課本第37頁習題1.4答案:1、解:(1)(8) X ( 7) =56;(2) 12X ( 5)=一 60 ;(3) 2.9 X(0.4 ) = 1.16 ;(4)30.5 X 0.2=-6.1 ;(5)100 X(0.001

16、 )=0.1; (6)-4.8 X(1.25 )=62117032、解:(1) ;(2);(3)一 -(4)。943719100/ 、453、解:(1)(2)(3) 4 :(4)-;(5);(6)。155仃17274、解:(1)91* 13= 7;(2)56*(14) =4 ;(3) 16*(3)=16(4)3(48)*(16)=3 ;(5)-*(1)=4; (6)0.25 *3 =2。5583115、解:-5,-4,6,5，一，-6, 4.55-2131-5427-66、解:(1)=-3;(2)(3)5(4)-=20.7-3612-84-0.37、解:(1)2 X 3X(4)=2X 3 X

17、4=24 ;(2)6X(5)X( 7) = 6X 5X 7= 210 ;，、5、81 258122(2)( 一)X(-)=-X一。1215231215 2327583/2、小/八(3) ( 1)X()X (-)0 (-1) =0.41523課本第33頁練習答案：解：(1) ( 85)x(25 )X(4) = 85X( 25X 4)91(2)()X 30=30-130 =27-2=25.10 1510157178(3) ( )X15 X( 1-)X _ X 15=15.8787(4) ( 6)X(2)+(6 )X(+ 1Z )=(5353=8500.6.課本第35頁練習答案：i)x(-8Q5 1

18、6(4) 0.1 - ( 0.001 ) - ( 1)=10(3) () X 1.25 X ( 8)亠 X 8X =；25254 53X 1000 X 仁 100；(5)(工)411 (0.25 )X =6X14(6) 6X1(11 2) +21133X =-;14 28(7) ( 7)X( 56)X 0X(13) =0;(8) 9X(11)- 3-(3)=9 X 11 XX _ =33-11。、解：(1)23X( 5)(3)3 =115 + 3 X128 =115+128=13;1283(2)-7X(3 )X(0.5) +(-12)X(2.6 )=7 X 3X 0.5 + 12 X 2.6=

19、-10.5 + 31.2 =20.7;,377、7、7、一 3 77、7 77 x/8、(3)(1 -十(一)+(-(1 _ .)=-)x()48 12884 8124 8 127/7778、1(-)+X()3= 3 。82424732 ,12 ,1 1 ,(4)-1 X 1-1- |1 33233 421 149= 3=.331212、解：(1)(36)X 128-(7462.27 ;(2)6.23 -(0.25 )X 940=23424.80+8(4) 180.65 ( 32) X 47.82.31 - ( 5.315 )0.49 ;9(3)十(一10、解:11、解:4.325 X ( 0

20、.012 )15.5 ) 81.97.:(1) 7500 ;(2) 140;(3) 200;(4) 120.:450+20X 60 12X 120=210 (m)。答：這時直升機所在高度是210m。12、 (1 )< ,<(2)< ,<( 3)>,>(4)=,=13、 解：2, 1, 2, 1. 一個非零有理數(shù)不一定小于它的2倍，因為一個負數(shù)比它的2倍大。14、解：(一2+3) a。15、 解：2, 2, 2. (1) (2)均成立，從它們可以總結(jié)出：分子、分母以及分數(shù)這三者 的符號，改變其中兩個，分數(shù)的值不變。1.5有理數(shù)的乘方新知鏈接1、平方、立方的定義

21、：兩個相同的因數(shù)相乘叫做這個數(shù)的平方。三個相同的因數(shù)相乘叫 做這個數(shù)的立方。2、 小學已經(jīng)學過的運算順序：先算乘除，再做加減，同級運算，從左到右進行；如有 括號，先做括號內(nèi)的運算，按小括號，中括號，大括號依次進行。目標導航指數(shù)考點一：有理數(shù)的乘方（必考）考點深度解析1、有理數(shù)的乘方八底數(shù)求n個相同因數(shù)的積的運算，叫乘方，乘方的結(jié)果叫幕。一般地，a aaa記作an , n個;'讀作a的n次方，當an看作是a的n次方的結(jié)果時，也可以讀作 a的n次幕。在an中，a 叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)?！咎貏e提醒】一個數(shù)可以看做是這個數(shù)本身的一次方，例如：3就是31，a就是a1，指數(shù)1通常省略不寫。乘方的意

22、義：a =a a a a。n個a 乘方與幕不冋，乘方是一種運算，幕是乘方的結(jié)果，乘方與幕的關(guān)系就如冋乘法與積的關(guān)系一樣。例如：34=3 x 3X 3x 3=81，這種運算叫做乘方，運算的結(jié)果81叫做3的4次幕。 在書寫乘方時，如果底數(shù)是負數(shù)或分數(shù)時，應將底數(shù)用括號括起來。例如：（-3）x32222/ 2,(3)x( 3) = ( 3); xxx :=()4.333332、有理數(shù)乘方運算的性質(zhì)有理數(shù)的乘方運算是利用有理數(shù)的乘法運算進行的，根據(jù)有理數(shù)的乘法法則可以得出： 負數(shù)的奇次幕是負數(shù)，負數(shù)的偶次幕是正數(shù)。正數(shù)的任何次幕都是正數(shù)，0的任何正整數(shù)次幕都是0。【特別提醒】先確定幕的符號，然后再計算

23、幕的絕對值。a2是重要的非負數(shù)，即 a2> 0 ;若a2+|b|=0a=0,b=0 ;0.12 0.01據(jù)規(guī)律12 1102 100可得：底數(shù)的小數(shù)點向右（左）移動一位，平方數(shù)的小數(shù)點向右（左）移動兩位【典型例題】例題1 （濱州中考）23等于（）A. 6B. 6 C. 8D. 8解析：23表示23的相反數(shù)。解答:238 .答案:C.練習:(威海月考改編)計算：(1)(-4)3 ；(2) (-2)4 ； (3) -24 ；2 、 32014(4) (- )；( 5) (-1)3解析：有理數(shù)的乘方運算可以轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的乘法運算，再按照有理數(shù)的乘法法則，求出結(jié)果。解：(1)(-4)3=( -4

24、 )x(-4)x(-4)=-64 ； (2) (-2 )4=(-2 )x(-2) x (-2) x (-2 )=16;(3) -24 =- (2X 2X 2X 2) =-16 ;(4) (-2 )3 = (-) x (-2) x (2)=-衛(wèi)3 33327(5) (-1) 2014 =(-1) (-1) (-1)(-1) =1.2014 個(-1)【易混辨識】注意(-2)與-2的區(qū)別，(-2)表示4個(-2 )相乘，而-2表示2的相反數(shù)，底數(shù)是 2而不是-2，兩者意義不同。|3、有理數(shù)的混合運算考點深度解析做有理數(shù)的混合運算時，應注意以下運算順序：(1)先乘方，再乘除，最后加減；(2 )同級運

25、算，從左到右進行；(3)如有括號，先做括號內(nèi)的運算，按小括號，中括號，大括號依次進行?！痉椒c撥】通常把六種基本的代數(shù)運算分成三級：第一級運算是加和減， 第二級運算是乘和除， 第三級運算是乘方和開方(以后會學到)。運算順序的規(guī)定是：先算高級運算，再算低級運算，同級運算在一起，按照從左到右的順序計算。在進行有理數(shù)的混合運算時，除了遵守以上原則外， 還要注意靈活運用運算律，使運算準確而便捷?！镜湫屠}】 例題2 (清遠(1) 5-3 2期中)丄-22計算：1(-)；(2) (-3 )24332 231 3(孑 2 ( -).解析：做有理數(shù)的混合運算時, 使計算簡便。應當按照運算順序逐級進行計算，同

26、時還可以使用運算律,解：(1) 5(-2)323+1643 1=21 20；4 42 - 5327(-3)3 3 ( 3)223 ( 2)3341= -27(二 8)(-)498115=-27-6 -21 。38241答案：(1) 20;(2)2。424練習：(珠海期中)計算：(1)722 (3)2 (6)(1 2-)2 ； ( 2) 131(3)33 0.4 ( 1 )( 2)。3解析：含有分數(shù)、小數(shù)的乘除混合運算，通常把小數(shù)化為分數(shù)，把帶分數(shù)化為假分數(shù)。 當把除法都化為乘積的形式時，應當先確定積的符號。 含有多重括號時，一般應當由內(nèi)向外,即依次去掉小括號、中括號、大括號，計算時嚴格按照運算

27、順序進行計算。1解：(1)722 ( 3)2 ( 6) ( )23=49 2 9 ( 6) 9=49 18 54=85o31(2)1( 3)3 0.4 ( 1 )( 2)2=1273J)(35)(121=127(-)52=1 (27+6)54=24。5答案：(1)-85;(2)24 -。5【方法點撥】做有理數(shù)的混合運算，嚴格按照運算順序：先乘方，再乘除，最后做加減；同級運算， 從左到右進行；如果有括號，先做括號內(nèi)的運算，按照小括號、中括號、大括號依次進行。 括號內(nèi)的運算同樣按照上述運算順序進行。如果能使用運算律，則可利用運算律使計算簡便。注意：不省過程，不跳步驟。考點二： 科學計數(shù)法（必考）考點深度解析把一個大于10的數(shù)表示成ax I0n的形式（其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，即1w|a|v 10,n是正整數(shù)），使用的是科學記數(shù)法。例如236000000=2.36 x 108； -2450000=245 x 106?！練w納拓展】科學計數(shù)法的形式a 10n中，a和n的確定方法：將原數(shù)的小數(shù)點移到第一個不是0的數(shù)字的后面即可得到a的取值；確定n的方法有以下兩種： 一是數(shù)小數(shù)點移動的位數(shù)， 小數(shù)點移動幾位， n 就是幾； 二是數(shù)原數(shù)的整數(shù)位數(shù)， 原數(shù)的