阿基米德螺旋線

1、(1.M)正文§1.平面§1.1 .阿基米譙螺旋線的介紹在普通平面物處標(biāo)中，定義關(guān)系式: r-aO圖中O為極坐標(biāo)原點，籃包的線為根據(jù)阿基米德螂嫉我方科，二出出的舞旋線. 其中有平面上任意一點A (r.O),連結(jié)AO (圖中黑嬪，艱段人。與/* = 。曲線,火點 中離A最近的交點為A'(r',®).§1.2 .建立新坐標(biāo)系對于這行螂線,我們可以基于它建立一個坐標(biāo)系.對于平面上的任意一個點A,連 結(jié)AO.今稅收入O與場旋或離川最近的一個支點為A (如田所示).我們用點4與 點A或立映射關(guān)系.這樣，平面上的點都可以用阿從米德蟋旋線上的點去示，而

2、何從米獨蛛就級滿足 = ”6(1.101),所以平面上的點就與實效集建立了多對一的映射關(guān)系，我們用了表示 這種映射關(guān)系。談公在極坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(匚0),按照上面的思路，我們可以在阿縣米德螺線上 面芋憑焉的標(biāo)上刻段來表示螺拱上每個點的坐標(biāo)，根據(jù)極坐標(biāo)中曲戰(zhàn)長度/的計算公式 我們有：/=隨而而=W(汾+a 21)又因為r = 0(LI ().l)所以：/ = J J/ +。,(10 ln(0 + J.。+0,) + /(r +02(1.2.2)1122我們現(xiàn)靠列，(1.2.2)式過于警城,JL：(12.3)所以我們考慮直拄使用夕對該螺旋線上的點進(jìn)行搭逑，即時塔線上每一點(廠。)用一個實數(shù)。2來表

3、示.對平面上任意一點A (小a)這里04av2;r ,都可以得到前之提到的.第一個交點A'坐標(biāo)為(匕0),其中A(r,a)、A，(r'C)滿足關(guān)系:L = 0 = 2/r1 + a(1.2.4)u27r«從而：«2=(2lJ + rr)2(1.2.5)Ina這樣便可以通過。2表示點A ,干是我們發(fā)明了用一個實數(shù)相咯的和示平面上所有點的 方法。在這種方法中，每個實效表示一條長為的戲段，如圖所示，性中綠色殘段長 為2允a ：我們籽這種新建立的坐標(biāo)系起名為珂基米座場線坐標(biāo)女.下文中簡稱'【類坐標(biāo)系. 片中的點用(小)表示.§13徑向誤差的計算在N

4、I坐標(biāo)系中，一個實效裝示長為2不。的線段上面的所布,點,所以良示平面上的 點時必然會產(chǎn)生徑向誤差：Ar = 2萬"(1.3.1)這個誤差的存在是用一個實效我示一個二維平面所不可避免的，但可以通過 (11.0.1)的a的選擇把4*控制在可按受的范圍之內(nèi).對某一個確定的點八(廠,a).在N1中為A(0),因為有：(1.2.5)(13.1)0?=(2足工+ "- InaAr = 2/ra所以有：伊=(2加二 + a)2(13.2)Ar為7減小4.必須要用更大的數(shù)值02未描繪點A.§14 NI中的兩點間距離公式及距離誤差分析對于平面中任意兩點A. B,在極生標(biāo)中有4 (%

5、)、A(%a«),在NI中有A ), B (琉),如圖.我們可以用： r *r(1.2.4)=0 = 2( + aa2兀“尋使用：(13.5)2rr朵表示6勺極限漢星,A/表示d的極限誤潼.表示人和月的距離.根據(jù)誤是合成的公式：對多元擊散：y = /(4 巧廣"，/)(13.6)紳=之4乂(1.3.7)I ex.岸中Ax, Ay表示相應(yīng)數(shù)值的法星°在NI處標(biāo)系中,、/表示用度時沒本議差.表示長度時久和%可能有2江的誤£故： />2M = "： |0、- g cqs(O, -0$ )| + |仇 - 0、cos(?.t -。8 )|(13.

6、8)將，4(U.O.l)代人得到：« =寧。F cos(Q0/十匕一口 cos© - )|(13.9)注意到：d = rx rH cos(, )|(1.3.10)同理：d 之鼠 jcos(Z"")|(13.11)代人上式有:AJ4 47T”(1.3.12)當(dāng)JL僅當(dāng)/一%=A區(qū)伏wZ),即A、B、O共線時等號成立，誤差救大.其中Ad與“正相關(guān).又由于r=，所以Ar/與，黃相關(guān).我們便可以得出“住 用更大的球?qū)τ邳c老什描述可以減小誤是Ad”,這樣我們就把在§131中“為了減小 Ar ,必須要用我大的數(shù)值少女描繪點人”推廣到任意/V.我們就得出了通

7、過減小N【 坐標(biāo)系中的"的值.增大湍繪點的小的值，減小誤差.并可以由上面的公式進(jìn)行定量的 計算,并討論了誤差了大小的大況.§1.5.原點設(shè)置與誤笄分析由于注息到，不同的原點設(shè)置對于NI生標(biāo)系中的點的徑向誤是 /和兩點問的極限 法差A(yù)d也都會有影響.為了方便法差的討論.我們淮備洋NI坐標(biāo)系放入平面直角坐標(biāo) 系之中，并從商單的彤勢到復(fù)雜的彩式進(jìn)行計算.在式(131.1)中，我們存知在向誤差為定值，即無論原點設(shè)置在什么地方都無法迎 免由4，= 2打產(chǎn)生的最大徑向誤差.對于多個點的情況,我們可以用各個點產(chǎn)生最大徑向誤甚的和表貓述產(chǎn)生誤差的人 小.如果我們命名個點為A，4,A,&qu

8、ot;其中，二123,.各個點產(chǎn)生的最大誤差為，4、勺,A/,即總最大誤差之和力：.£紂=n - In a(1.5.1)式(】.5 . 1)在原點設(shè)置在平面任一位五時都成立.我們發(fā)現(xiàn),如果儀僅使用徑向深差林速由NI坐標(biāo)系原點設(shè)五所市表的俁爰并不直§2.球面§2.1 .球面螺旋線介紹在研究完NI生標(biāo)系后，我們自然而然的聯(lián)想到，在球面上是否也存在若像阿基米 他蛛旋畿一樣的可以用來描繪整個球面的戲呢？通過阿基米便螺旋線的表達(dá)式我們非 常自然的聯(lián)枳到可以從經(jīng)度、緯度的軌念出發(fā).利用類似的表達(dá)式、來構(gòu)造這樣的曲線 從而建立新的坐標(biāo)系,就像在§1中建立坐標(biāo)案基于的平

9、面極坐標(biāo)系.q,正向度表示北緯,負(fù)緯度如上圖，我們準(zhǔn)各基于該種坐標(biāo)系來也立我們自己的球面坐標(biāo)系。該球面上每一個 點都可以用經(jīng)緯坐標(biāo)（a.。）來描述、其中。表示經(jīng)度，是圖中的/BOC,尸表示緯度, 即為圖中的/AOB.我們可以用奧似§ 1.1中（l.l.l ），= a®的參數(shù)方程來柏述我們建 立坐標(biāo)系的基阻線.如下：a = a/3（2.1.1）關(guān)中“為常致，用于描述螺正戰(zhàn)間距高的大??； 衣示南瑋.我們均另得到.如果用任意一個經(jīng)線截到院線所得相鄰兩個更點緯度角相差.事實上，如果設(shè)兩點坐標(biāo)為（a./“，（a + 2m/4）,由螺旋線方程得到：a ="什a + 2乃=af

10、lz2n兩式機(jī)減有：兒-八二十（2.1.2）所以我們知道,在定義場發(fā)線如果使用的。越大則、爆發(fā)線越塞，反之a(chǎn)越小， 如厚旋線越焦.§2.2 .建立球面螺旋坐標(biāo)系對于球面上任意一點（a,。）,a e o,2;r卜我們用孩點所在的經(jīng)線9煤貨線曷該點it近的文點表現(xiàn)略進(jìn)行柘紛，這樣.珞會線上一點.將代我一小段經(jīng)淺 上的氟這樣，球面上的點標(biāo)可以用該好貨線上的點表示.而螺發(fā)線上的點用它的緯度/?來 A示，我們便可以得到新的史標(biāo)系Nlh為了與N1坐標(biāo)系統(tǒng)一，我們使用（0）來柏繪球 而上的所有的點.。大小與前文中經(jīng)緯坐標(biāo).條中的緯度”相等.對于球面上任意一點 （a. 口）按里前五敘述0應(yīng)淹足：。=

11、 a + 2k八,k eZ萬汗(a+2&k).Q n .“代人得到：P一一<-</? + ,XreZ.(2.2 J)(2.2.2)afl-a +乃Ina + 27r0 =a/i-a + rtIn(2.2.3)(224)U這洋我們就得到了 Nil坐標(biāo)系與球面經(jīng)注止標(biāo)系的檸拽公式，相應(yīng)地，在Nil生標(biāo)系中 的，表示經(jīng)緯度滿足：a = u0 - 2萬(2.2.5)(2.2.6)的所有點.§23 球面坐標(biāo)中的距離公式為了計算在NTI坐標(biāo)系中的兩點距離，我們準(zhǔn)備先知出在經(jīng)紂，生標(biāo)系中球面兩點距 點公式.設(shè)經(jīng)緯坐標(biāo)系中有兩點從%J4），如圖:ON =r為球半役.設(shè) OA

12、9; = g , ON = 0則：OA = rcos Ai £ + rsin q-e3， OB = rcos/A e2 +rsin i2 -e3cos(23.1)=(cos A % + sin fi Cj>(cos fl2 -e2 + sin fl2 /) = sin fl sin p2 + cos 仰 cos ft cos(a2 一1)由弧長公式得距離：d = rarccosfsin e sin"： + cos p cos p： cos(a2 - a) (2.3.2)相應(yīng)地，在Nil史標(biāo)系中已知兩點人“),(。2),可得到距離:d = r, arccos sin 0

13、 sin 02 4- cosQ cos 02 cos(a02 - uOj(2.3.3)§24誤差分析當(dāng)我們使用NII坐標(biāo)系表示里面上的點的緯度時會產(chǎn)生誤差，根據(jù)公式(2.2.6):rrjr0一一"< +二，可以得到誤差為： aaAz/ = ±-(2.4.1)(2.4.2)所以當(dāng)誤差要求5時需要4 > -根據(jù)(1.3.7)Av = 9 At可以得到:_ 刀.|cos 4 sin 0y - sin 0l cos 仇 cos(a02 a0l )| 4 |cos % sin 耳-sin % cos q cos(a02 af)x )|事實上.我們關(guān)心的是距離的放

14、大俁差.這可以通過幾何關(guān)系簡單地求出，如上圖 兩點是螺我段上的點，它實際表示的點可能在A到4和閩到8,的劣弧上.A 8'分 別為弧兀兀、麻上任意兩點，顯然有如下不等式成立：|cos| sin 3. - sin 6l cos02 cos(o02)|+|cos sin - sin 8sq cos(幽-仇)| |A因5、/ / 、yjr /'A'8WA8 + A'A+8BVA8 + (2.4.4)a當(dāng)且僅當(dāng)A、B在同一掙線上時等號成立.同理：而 N 贏-0-后 2AB-(2.4.5)a/y所以在NII坐標(biāo)系中計算距離時最大誤差為土里.這個結(jié)果與式(2.4.1)一致。a

15、如果我們對距離誤差的要求為±5,則需要空43,即型， (2.4.6) ab§25 NH坐標(biāo)與經(jīng)緯坐標(biāo)在計算機(jī)中表示所需位數(shù)比較我們雖然建立了只用一個實數(shù)描述一個球面的Nil坐標(biāo)系，但它與舊有的狂結(jié)型標(biāo) 系相比是否其有優(yōu)越性呢？這是有他于討論的，我們基于一個樸素的思想，將在下文子 以分析，我們在經(jīng)他坐標(biāo)系和Nn坐標(biāo)系拈度相同忖，比皎它們描述同一個點所需要的 數(shù)據(jù)占用的位數(shù)來物定兩個坐標(biāo)系在空間更雜度上面的差異.設(shè)在經(jīng)緯坐標(biāo)系中經(jīng)度和結(jié)區(qū)所加有的最小分度值為氣，叫(單位弧度).為達(dá)到分度值G.(7，需要有2個經(jīng)度值，二個緯度值，期需要球面上的點6個數(shù)： % 方« =

16、(2.8.1)C0 4相應(yīng)地在Nn金標(biāo)系中，為了保證精確度杓同,也需要有個實敢與球面上的點梢對應(yīng). 如果把NII坐標(biāo)系中的點表示為(0),。 -py ,則的分度借b2為：在二法制表示中，考慮及示經(jīng)度a所需要的位數(shù)： ±ubcdcfg算中第一位表示正負(fù)，由于kl<g,，卜數(shù)點之前只需安一位，設(shè)小數(shù)點后需要位， 應(yīng)有公式：2"力>/22代2),即總位數(shù)勺=2+-logbJ.同理可以得到緯度 有勺=B+J-loge”位.表示。需要號=2 +一1。4%|位.小<T父代入后有:2斤心=3 +一log? J -log, j + log2 元 5十卜log? j .lo

17、g2bJ Vka +kp相應(yīng)地可以得到原>ka +-20可見,經(jīng)緯坐標(biāo)系在精確位數(shù)上與NII坐標(biāo)系相比并不具有伏勢。特別的，在計算 機(jī)的存毋中.分配給每個數(shù)據(jù)的存儲空間并不由數(shù)據(jù)本身在二進(jìn)制下有效數(shù)字而定,而 是一個給定的空間，實際位用中一般不能占滿,使用Nil坐標(biāo)系可以減少變量數(shù),提高 存毋空間使用效率.§2.6 . 的確立與地球上的的范圍我們在查閱資料以后.發(fā)現(xiàn)一段大城市的面積大小約在100平方公里數(shù)量級左右， 這樣我們就要求我們有10千米左右的精硝度，查友得用地球的平均半徑為6371千米，"一"代人不等式(246)2 位我們可以得到:r = 63713

18、(251) 2絲4先之400302單位千米5這樣我與就估算出了在討論地球上的城市的位行的葉候可以選用的a的取信危困，又由于久(2.4.l) Ad =± »我們可以看出與最大誤差的大小負(fù)相關(guān)。 a這個結(jié)論可以幫助我們在進(jìn)行NH坐標(biāo)系設(shè)計時更好的確定u的信.§2.7 .通用轉(zhuǎn)化程序設(shè)計為了更好地讓Nil球面坐標(biāo)系普及，我們根據(jù)式(2.2.5). (2.2.6萬丈計了球面經(jīng)緯坐標(biāo) 與Nil史標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換程序.藪困如下：在揄人以及球半徑以后，該程序可以進(jìn)行雙向的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換.科序的右手部分是根據(jù)式(2.3.3)編寫的球面距離計算工具，在榆入兩個地&的Nil 坐標(biāo)后，

19、便可以計算出兩地的大致死需，共精確度由左上角的”的取值進(jìn)行調(diào)控.§2.8 .應(yīng)用實例在查閱了也r系大城市經(jīng)委坐標(biāo)以后，根據(jù)經(jīng)緯坐標(biāo)通過式(2.2.4)或使用該程片可以 計算出NII坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，我們?nèi) = 450(k結(jié)果見下表(經(jīng)緯坐標(biāo)以市中心為準(zhǔn)):城市所在國 家(地區(qū))城市名稱經(jīng)緯坐標(biāo)Nil坐標(biāo)中國北京(116°2339°54,)39.86586英國倫敦(-0。7151。30)51.51997德國柏林(13°2552°3r )52.48298俄羅斯莫斯科(37°3755°45')55.76836美國波士偵(-71