（整理版）第十三章　選修系列4

1、第十三章選修系列473幾何證明選講(一)相似三角形的判定及有關性質導學目標： 1.了解平行線等分線段定理和平行線分線段成比例定理；2.掌握相似三角形的判定定理及性質定理；3.理解直角三角形射影定理自主梳理1平行線等分線段定理如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在任一條(與這組平行線相交的)直線上截得的線段也相等2平行線分線段成比例定理兩條直線與一組平行線相交，它們被這組平行線截得的對應線段_推論1平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或_)，所得的對應線段_推論2平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊_的直線所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應_推論3三角形的一個內角平分線分對邊所得的兩

2、條線段與這個角的兩邊對應成比例3相似三角形的判定判定定理1對于任意兩個三角形，如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似簡述為：兩角對應_的兩個三角形相似判定定理2對于任意兩個三角形，如果一個三角形的兩邊和另一個三角形的兩邊對應成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似簡述為：兩邊對應成比例且_相等的兩個三角形相似判定定理3對于任意兩個三角形，如果一個三角形的三條邊和另一個三角形的三條邊對應成比例，那么這兩個三角形相似簡述為：三邊對應成比例的兩個三角形相似4相似三角形的性質(1)相似三角形對應高的比、對應中線的比和對應角平分線的比都等于相似比；(2)相似三角形周

3、長的比等于相似比；(3)相似三角形面積的比等于相似比的平方5直角三角形射影定理直角三角形一條直角邊的平方等于該直角邊在_與斜邊的_，斜邊上的高的_等于兩條直角邊在斜邊上的射影的乘積自我檢測1如果梯形的中位線的長為6 cm，上底長為4 cm，那么下底長為_cm.2如圖，在abc中，edbc，efbd，那么以下四個結論正確的選項是(填序號)_；.3如圖，在rtabc中，acb90°，cdab于點d，cd2，bd3，那么ac_.4如下圖，在abc中，ad是bac的平分線，ab5 cm，ac4 cm，bc7 cm，那么bd_cm.第4題圖第5題圖5(·陜西)如圖，bd，aebc，a

4、cd90°，且ab6，ac4，ad12，那么be_.探究點一確定線段的n等分點例1線段pq，在線段pq上求作一點d，使pddq21.變式遷移1abc，d在ac上，addc21，能否在ab上找到一點e，使得線段ec的中點在bd上探究點二平行線分線段成比例定理的應用例2在abc的邊ab、ac上分別取d、e兩點，使bdce，de的延長線交bc的延長線于點f.求證：.變式遷移2 如圖，abcdef，aba，cdb(0<a<b)，aeecmn(0<m<n)，求ef.探究點三相似三角形的判定及性質的應用例3如圖，梯形abcd中，abcd，過d與bc平行的直線交ab于點e，

5、aceabc，求證：ab·ceac·de.變式遷移3 如圖，abcd中，g是dc延長線上一點，ag分別交bd和bc于e、f兩點，證明af·adag·bf.1用添加平行輔助線的方法構造使用平行線等分線段定理與平行線分線段成比例定理的條件特別是在使用平行線分線段成比例定理及推論時，一定要注意對應線段，對應邊2利用平行線等分線段定理將某線段任意等分，需要過線段的一個端點作輔助線，在作圖時要注意保存作圖痕跡3在證明兩個或兩個以上的比例式相等時，需要找第三個比例式與它們都相等，可考慮利用平行線分線段成比例定理或推論，也可以考慮用線段替換及等比定理，由相等的傳遞性得

6、出結論4判定兩個三角形相似，根據題設條件選擇使用三角形相似的判定定理(總分值：75分)一、填空題(每題5分，共40分)1如下圖，l1l2l3，以下比例式正確的有_(填序號)(1)；(2)；(3)；(4).2如下圖，d是abc的邊ab上的一點，過d點作，那么_.3如圖，在四邊形abcd中，efbc，fgad，那么_.4在直角三角形中，斜邊上的高為6，斜邊上的高把斜邊分成兩局部，這兩局部的比為32，那么斜邊上的中線的長為_5(·蘇州模擬)如圖，在梯形abcd中，adbc，bd與ac相交于點o，過點o的直線分別交ab，cd于e，f，且efbc，假設ad12，bc20，那么ef_.6如下圖，

7、在abc中，adbc，ce是中線，dcbe，dgce于g，ec的長為4，那么eg_.7(·天津武清一模)如圖，在abc中，ad平分bac，deac，efbc，ab15，af4，那么de_.8如下圖，bd、ce是abc的中線，p、q分別是bd、ce的中點，那么_.二、解答題(共35分)9(11分)如下圖，在abc中，cab90°，adbc于d，be是abc的平分線，交ad于f，求證：.10(12分)如圖，abc中，d是bc的中點，m是ad上一點，bm、cm的延長線分別交ac、ab于f、e.求證：efbc.11(12分)(·蘇州模擬)如圖，在四邊形abcd中，ac與b

8、d相交于o點，直線l平行于bd且與ab，dc，bc，ad及ac的延長線分別相交于點m，n，r，s和p，求證：pm·pnpr·ps.73幾何證明選講(一)相似三角形的判定及有關性質自主梳理2成比例兩邊的延長線成比例相交成比例3相等夾角5.斜邊上的射影乘積平方自我檢測182.3.解析由射影定理：cd2ad·bd.ad，ac.4.解析，bdcm.54解析ac4，ad12，acd90°，cd2ad2ac2128，cd8.又aebc，bd，abeadc，be4.課堂活動區(qū)例1解題導引利用平行線等分線段定理可對線段任意等分，其作圖步驟為：首先作出輔助射線，然后在射線

9、上依次截取任意相同長度的n條線段，最后過輔助線上的各等分點作平行線，確定所求線段的n等分點解在線段pq上求作點d，使pddq21，就是要作出線段pq上靠近q點的一個三等分點，通過線段pq的一個端點作輔助射線，并取線段的三等分點，利用平行線等分線段定理確定d點的位置作法：作射線pn.在射線pn上截取pb2a，bca.連接cq.過點b作cq的平行線，交pq于d.點d即為所求的點變式遷移1解假設能找到，如圖，設ec交bd于點f，那么f為ec的中點，作egac交bd于g.egac，effc，egfcdf，且egdc，eg綊ad，begbad，e為ab的中點當e為ab的中點時，ec的中點在bd上例2解題

10、導引證明線段成比例問題，一般有平行的條件可考慮用平行線分線段成比例定理或推論，也可以用三角形相似或考慮用線段替換等方法證明作egab交bc于g，如下圖，cegcab，即，又，.變式遷移2 解如圖，過點f作fhec，分別交ba，dc的延長線于點g，h，由efabcd及fhec，知agchef，fgae，fhec.從而fgfhaeecmn.由bgdh，知bgdhfgfhmn.設efx，那么得(xa)(xb)mn.解得x，即ef.例3解題導引有關兩線段的比值的問題，除了應用平行線分線段成比例定理外，也可利用相似三角形的判定和性質求解解題中要注意觀察圖形特點，巧添輔助線，對解題可起到事半功倍的效果證明

11、方法一abcd，即.debc，即.由得，fdcecf，decfec，efcecd.由得，即ab·ceac·de.方法二abcd，debc，bedc是平行四邊形debc.aceabc，eacbac，aecacb.，即ab·ceac·de.變式遷移3 證明因為四邊形abcd為平行四邊形，所以abdc，adbc.所以abfgcf，gcfgda.所以abfgda.從而有，即af·adag·bf.課后練習區(qū)1(4)解析由平行線分線段成比例定理可知(4)正確2.解析由知，故.31解析efbc，又fgad，1.4.解析設斜邊上的兩段的長分別為3t,2t，由直角三角形中的射影定理知：623t·2t，解得t(t>0，舍去負根)，所以斜邊的長為5，故斜邊上的中線的長為.515解析adbc，oead，oead×12，同理可求得ofbc×20，efoeof15.62解析連接de，因為adbc，所以adb是直角三角形，那么deabbedc.又因為dgce于g，所以dg平分ce，故eg2.76解析設dex，deac，解得be.又ad平分bac，解得x6.8.解析連接de，延長qp交ab于n，那么得pqbc.9證明由三角形的內角平分線定理得，在abd中，在abc中，(3分)在rtabc中，由射影定理知，a