（整理版）第九章（A）第六講

1、第九章a 第六講時間：60分鐘總分值：100分一、選擇題(8×540分)1四棱錐成為正四棱錐的一個充分但不必要的條件是()a各側(cè)面是等邊三角形b頂點(diǎn)在底面的射影在底面四邊形的對角線的交點(diǎn)上c各側(cè)面三角形的頂角為45°d各側(cè)面是等腰三角形，且底面是正方形答案：a解析：當(dāng)各側(cè)面為正三角形時，底面為菱形，由側(cè)棱相等，知頂點(diǎn)在底面的射影為底面四邊形的外心，因此菱形又必須成為矩形，因此底面為正方形，但正四棱錐側(cè)面不一定是正三角形，應(yīng)選a.2在斜棱柱的側(cè)面中，矩形最多有幾個()a2b3c4d6答案：a解析：最多2個，假設(shè)有3個，那么底面有三條邊與側(cè)棱垂直，而三邊中至少有兩條相交，即底面

2、一定存在兩相交直線與側(cè)棱垂直，與斜棱柱定義矛盾應(yīng)選a.3(·四川，6)如下圖，六棱錐pabcdef的底面是正六邊形，pa平面abc，pa2ab，那么以下結(jié)論正確的選項是()apbadb平面pab平面pbcc直線bc平面paed直線pd與平面abc所成的角為45°答案：d解析：pb在底面的射影為ab，ab與adbdab，bdpa，bd面pab.但bd不在面pbc內(nèi)，排除b.對于c選項，bdae，bd面pae，bc與面pae不平行，排除c.pd與面abc所成角為pda，又ad2abpa，pda45°，應(yīng)選d.4(·湖北，6)如下圖，在三棱柱abca1b1c1

3、中，acb90°，acc160°，bcc145°，側(cè)棱cc1的長為1，那么該三棱柱的高等于()a. b. c. d.答案：a解析：如圖，作c1o底面abc于點(diǎn)o，作oebc于e，作ofac于f，連結(jié)c1e、c1f.可知c1ffc，c1ebc.根據(jù)條件可得oefccc1.c1e，高c1o.應(yīng)選a.5(·河北邯鄲一模)棱長為a的正四面體中，高為h，斜高為m，相對棱間的距離為d，那么a、m、h、d的大小關(guān)系正確的選項是()aa>m>h>d ba>h>m>dca>h>d>m da>d>h>m

4、答案：a解析：顯然斜高大于高，即m>h，排除b、c、d.應(yīng)選a.6(·鄭州市高中畢業(yè)班第一次質(zhì)量預(yù)測卷)如右圖，在正方體abcda1b1c1d1中，p為棱dc的中點(diǎn)，那么d1p與bc1所在直線所成角的余弦值等于 ()a. b.c. d.答案：b解析：過c1作d1p的平行線交dc的延長線于點(diǎn)f，連結(jié)bf，那么bc1f或其補(bǔ)角等于異面直線d1p與bc1所成的角設(shè)正方體的棱長為1，由p為棱dc的中點(diǎn)，易得bc1，c1f，bf.在bc1f中，cosbc1f，選b.7(·陜西，11)假設(shè)正方體的棱長為，那么以該正方體各個面的中心為頂點(diǎn)的凸多面體的體積為()a. b. c. d.

5、答案：b解析：所求八面體體積只是兩個底面邊長為1，高為的四棱錐的體積和，一個四棱錐體積v1×1×，所以v2×v1.應(yīng)選b.8(·寧夏、海南，9)如下圖，正方體abcda1b1c1d1的棱長為1，線段b1d1上有兩個動點(diǎn)e，f，且ef，那么以下結(jié)論中錯誤的選項是()aacbebef平面abcdc三棱錐abef的體積為定值daef的面積與bef的面積相等答案：d解析：如圖，正方體abcda1b1c1d1中，acbd，acbb1，bdbb1b，ac平面bb1d1d，be平面bb1d1d，acbe，a對ef平面abcd，b對sbef×ef×b

6、b1××1，ao平面bb1d1d，ao，vabef××，三棱錐的體積為定值，c對應(yīng)選d.二、填空題(4×520分)9斜三棱柱abca1b1c1中，側(cè)面bb1c1c的面積為s，aa1到面bcc1b1的距離是a，那么該三棱柱的體積是_答案：解析：將其分割為三棱錐a1abc和四棱錐a1bcc1b1，因為：va1bcc1b1sa.vabca1b1c1va1bcc1b1.10如圖，在直四棱柱abcda1b1c1d1中，底面abcd是菱形，bad60°，aa1ab1，那么截面acc1a1的面積為_，異面直線ad與d1c所成角的余弦值為_答案：解析

7、：截面acc1a1為矩形，aa11，ac，其面積s；bd1，bd1，在bcd1中，bc1，cd1，cosbcd1.那么異面直線ad與d1c所成角的余弦值為.11正三棱柱abca1b1c1的側(cè)棱長與底面邊長相等，那么ab1與側(cè)面acc1a1所成角的正弦值等于_答案：解析：如圖，取a1c1中點(diǎn)為m，那么b1m平面acc1a1，連結(jié)am.b1am為所求角不妨設(shè)棱長為2，那么b1m，ab12，sinb1am.12如圖，在直三棱柱abca1b1c1中，abbc，bb12，abc90°，e、f分別為aa1、c1b1的中點(diǎn)，沿棱柱的外表從e到f兩點(diǎn)的最短路徑的長度為_答案：解析：abbc，abc9

8、0°，ac2側(cè)面展開后如以下圖所示a1eaa11，a1fa1b1b1f，ef.把a(bǔ)1b1c1與側(cè)面a1b1ba展開如右圖所示連結(jié)ef，過e作emb1b，那么emab，fm1，ef，假設(shè)把a(bǔ)1b1c1與側(cè)面a1acc1展開如右圖連結(jié)ef，作emcc1于m，作fdem于d點(diǎn)，那么ed，fd，ef.比擬以上三條路徑，以第三條最小，ef間最短路徑為.三、解答題(4×1040分)13(·陜西，18)如下圖，在直三棱柱abca1b1c1中，ab1，acaa1，abc60°.(1)求證：aba1c；(2)求二面角aa1cb的大小解析：(1)證明：三棱柱abca1b1c

9、1為直三棱柱，abaa1，在abc中，ab1，ac，abc60°，由正弦定理得acb30°，bac90°，即abac.ab平面acc1a1，又a1c平面acc1a1，aba1c.(2)解：如圖，作ada1c交a1c于d點(diǎn)，連結(jié)bd，由三垂線定理知bda1c，adb為二面角aa1cb的平面角在rtaa1c中，ad，在rtbad中，tanadb，adbarctan，即二面角aa1cb的大小為arctan.14如圖，三棱柱abca1b1c1的底面是邊長為a的正三角形，側(cè)面abb1a1是菱形且垂直于底面，a1ab60°，m是a1b1的中點(diǎn)(1)求證：bmac；(

10、2)求二面角bb1c1a1的正切值；(3)求三棱錐ma1cb的體積解析：(1)證明：abb1a1是菱形，a1ab60°a1b1b是正三角形，bm平面a1b1c1.bmac.beb1c1，bem為所求二面角的平面角，a1b1c1中，memb1·sin60°a，rtbmb1中，mbmb1·tan60°a，tanbem2，所求二面角的正切值是2.(3)vma1cbvb1a1cbvaa1cbva1abc××a2·aa3.15(·廣東汕頭一模)如下圖，bcd中，bcd90°，bccd1，ab平面bcd，a

11、db60°，e、f分別是ac、ad上的動點(diǎn)，且(0<<1)(1)求證：不管為何值，總有ef平面abc；(2)假設(shè)，求三棱錐abef的體積解析：(1)證明：ab平面bcd，abcd.又在bcd中，bcd90°，bccd.又abbcb，cd平面abc.又在acd中，e、f分別是ac、ad上的動點(diǎn)，且(0<<1)，不管為何值，都有efcd，ef平面abc.(2)在bcd中，bcd90°，bccd1，bd.又ab平面bcd，abbc，abbd.又在rtabd中，adb60°，abbd·tan60°，由(1)知ef平面a

12、bc，vabefvfabesabe·ef×sabc·ef××1××.故三棱錐abef的體積是.16在四棱錐pabcd中，側(cè)面pdc是邊長為2的正三角形，且與底面垂直，底面abcd是面積為2的菱形，adc為菱形的銳角(1)求證：pacd；(2)求二面角pabd的大??；(3)求棱錐pabcd的側(cè)面積；解析：(1)證明：如下圖，取cd的中點(diǎn)e，由pecd，得pe平面abcd，連結(jié)ac、ae.ad·cd·sinadc2，adcd2，sinadc，即adc60°，adc為正三角形，cdae.cdpa(三垂線定理)(2)解：a