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1、第一節(jié)第一節(jié) 簡單不等式及其解法簡單不等式及其解法一、選擇題1.安徽卷理以下選項中,p 是 q 的必要不充分條件的是 a.p:acb+d , q:ab 且 cd b.p:a1,b1 q:( )(01)xf xab aa,且的圖像不過第二象限 c.p: x=1, q:2xx d.p:a1, q: ( )log(01)af xx aa,且在(0,)上為增函數(shù) 答案 a解析 由ab 且 cdacb+d,而由acb+d ab 且 cd,可舉反例。選a。2.安徽卷文 “是“且的 a. 必要不充分條件 b. 充分不必要條件 c. 充分必要條件 d. 既不充分也不必要條件答案 a解析 易得abcd 且 且時

2、必有acbd .假設(shè)acbd 時,那么可能有adcb 且 且,選 a。3.四川卷文a,b,c,d為實數(shù),且cd.那么“ab是“acbd的 a. 充分而不必要條件 b. 必要而不充分條件 c. 充要條件 d. 既不充分也不必要條件答案 b 解析 顯然,充分性不成立.又,假設(shè)acbd和cd都成立,那么同向不等式相加得ab 即由“acbd“ab4.天津卷理ab 10,假設(shè)關(guān)于 x 的不等式2()xb2()ax的解集中的整數(shù)恰有 3個,那么a.01 a b.10 a c.31 a d.63 a答案 c5.四川卷理, , ,a b c d為實數(shù),且cd。那么“ab是“acbd的a. 充分而不必要條件 b

3、. 必要而不充分條件 c充要條件 d. 既不充分也不必要條件 【考點定位】本小題考查不等式的性質(zhì)、簡單邏輯,根底題。 同文 7答案 b解析 ba 推不出acbd;但bdcbadbca ,應(yīng)選擇 b。解析 2:令2,1,3,5abcd ,那么13( 5)8acbd ;由acbd可得,()abcd因為cd,那么0cd,所以ab。故“ab是“acbd的必要而不充分條件。6.重慶卷理不等式2313xxaa對任意實數(shù)x恒成立,那么實數(shù)a的取值范圍為 a(, 14,) b(, 25,) c1,2 d(,12,)答案 a解析 因為24314313xxxxaa 對對任意 x 恒成立,所以22343041aaa

4、aaa 即,解得或二、填空題7.上海卷理假設(shè)行列式417 5 x x 3 8 9中,元素 4 的代數(shù)余子式大于 0,那么 x 滿足的條件是_ . 答案 83x 解析 依題意,得: (-1)2(9x-24)0,解得:83x 三、解答題8.江蘇卷(本小題總分值 16 分) 按照某學(xué)者的理論,假設(shè)一個人生產(chǎn)某產(chǎn)品單件本錢為a元,如果他賣出該產(chǎn)品的單價為m元,那么他的滿意度為mma;如果他買進(jìn)該產(chǎn)品的單價為n元,那么他的滿意度為nna.如果一個人對兩種交易(賣出或買進(jìn))的滿意度分別為1h和2h,那么他對這兩種交易的綜合滿意度為1 2hh. 現(xiàn)假設(shè)甲生產(chǎn) a、b 兩種產(chǎn)品的單件本錢分別為 12 元和 5

5、 元,乙生產(chǎn) a、b 兩種產(chǎn)品的單件本錢分別為 3 元和 20 元,設(shè)產(chǎn)品 a、b 的單價分別為am元和bm元,甲買進(jìn) a 與賣出 b 的綜合滿意度為h且,乙賣出 a 與買進(jìn) b 的綜合滿意度為h且(1)求h且和h且關(guān)于am、bm的表達(dá)式;當(dāng)35abmm時,求證:h且=h且; (2)設(shè)35abmm,當(dāng)am、bm分別為多少時,甲、乙兩人的綜合滿意度均最大?最大的綜合滿意度為多少? (3)記(2)中最大的綜合滿意度為0h,試問能否適中選取am、bm的值,使得0hh且和0hh且同時成立,但等號不同時成立?試說明理由。 解析 本小題主要考查函數(shù)的概念、根本不等式等根底知識,考查數(shù)學(xué)建模能力、抽象概括能

6、力以及數(shù)學(xué)閱讀能力??偡种?16 分。(1)當(dāng)35abmm時,23535(20)(5)125bbbbbbbmmmhmmmm甲,235320(5)(20)35bbbbbbbmmmhmmmm乙, h且=h且 2當(dāng)35abmm時,2211=,20511(20)(5)(1)(1)100()251bbbbbbbmhmmmmmm甲由1115,20, 20 5bbmm得,故當(dāng)1120bm即20,12bamm時, 甲乙兩人同時取到最大的綜合滿意度為105。3 方法一由2知:0h=105由010=1255ababmmhhmm甲得:12552ababmmmm, 令35,abxymm那么1 ,14xy、,即:5(1

7、4 )(1)2xy。同理,由0105hh乙得:5(1)(14 )2xy另一方面,1 ,14xy、141xx5、1+4y 2, 5 ,、1+y , 2 ,255(1 4 )(1),(1)(1 4 ),22xyxy當(dāng)且僅當(dāng)14xy,即am=bm時,取等號。所以不能否適中選取am、bm的值,使得0hh且和0hh且同時成立,但等號不同時成立。 第二節(jié)第二節(jié) 根本不等式根本不等式一、選擇題 1.天津卷理設(shè)0,0.ab假設(shè)11333abab是與的等比中項,則的最小值為 a . 8 b . 4 c. 1 d. 14考點定位 本小題考查指數(shù)式和對數(shù)式的互化,以及均值不等式求最值的運用,考查了變通能力。答案 c

8、解析 因為333 ba,所以1 ba,4222)11)(11 baabbaabbababa,當(dāng)且僅當(dāng)baab 即21 ba時“=成立,應(yīng)選擇 c2.重慶卷文0,0ab,那么112 abab的最小值是 a2b2 2c4d5答案 c解析 因為11112222()4abababababab當(dāng)且僅當(dāng)11ab,且 ,即ab時,取“=號。二、填空題 3.湖南卷文假設(shè)0 x ,那么2xx的最小值為 .答案 222解析 0 x 22 2xx,當(dāng)且僅當(dāng)22xxx時取等號.三、解答題4.湖北卷文 本小題總分值 12 分 圍建一個面積為 360m2的矩形場地,要求矩形場地的一面利用舊墻利用舊墻需維修 ,其它三面圍墻

9、要新建,在舊墻的對面的新墻上要留一個寬度為 2m 的進(jìn)出口,如下圖,舊墻的維修費用為 45 元/m,新墻的造價為 180 元/m,設(shè)利用的舊墻的長度為 x(:元)。將 y 表示為 x 的函數(shù): 試確定 x,使修建此矩形場地圍墻的總費用最小,并求出最小總費用。解:1如圖,設(shè)矩形的另一邊長為 a m那么2y-45x-180(x-2)+1802a=225x+360a-360由 xa=360,得 a=x360,所以 y=225x+)0(3603602xx (ii)108003602252360225, 022xxx 104403603602252xxy.當(dāng)且僅當(dāng) 225x=x2360時,等號成立.即當(dāng)

10、 x=24m 時,修建圍墻的總費用最小,最小總費用是 10440 元. 第三節(jié)第三節(jié) 不等式組與簡單的線性規(guī)劃不等式組與簡單的線性規(guī)劃一、選擇題1. (山東卷理)設(shè) x,y 滿足約束條件0, 002063yxyxyx ,假設(shè)目標(biāo)函數(shù) z=ax+bya0,b0的是最大值為 12,那么23ab的最小值為( ). a.625 b.38 c. 311 d. 4答案 a解析 不等式表示的平面區(qū)域如下圖陰影局部,當(dāng)直線 ax+by= za0,b0過直線 x-y+2=0 與直線 3x-y-6=0 的交點4,6時,目標(biāo)函數(shù) z=ax+bya0,b0取得最大 12,x 2 2 y o -2 z=ax+by 3x

11、-y-6=0 x-y+2=0 即 4a+6b=12,即 2a+3b=6, 而23ab=23 23131325()()26666abbaabab,應(yīng)選 a.2a+3b=6,求23ab的最小值常用乘積進(jìn)而用根本不等式解答.2.安徽卷理假設(shè)不等式組03434xxyxy所表示的平面區(qū)域被直線43ykx分為面積相等的兩局部,那么k的值是 a.73 b. 37 c.43 d. 34 答案 b解析 不等式表示的平面區(qū)域如下圖陰影局部abc由3434xyxy得 a1,1 ,又 b0,4 ,c0,43sabc=144(4) 1233 ,設(shè)ykx與34xy的交點為 d,那么由1223bcdss abc知12dx

12、,52dy 5147,2233kk選 a。 3.安徽卷文不等式組 所表示的平面區(qū)域的面積等于a.23 b.32c.34 d.43解析 由340340 xyxy 可得(1,1)c,故s陰陰 =1423cabx ,選 c。答案 c4.四川卷文 a. 12 萬元 b. 20 萬元 c. 25 萬元 d. 27 萬元答案 d解析 設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品x噸,生產(chǎn)乙產(chǎn)品y噸,那么有關(guān)系: a 原料 b 原料甲產(chǎn)品x噸 3x 2x 乙產(chǎn)品y噸 y 3yaxdycoy=kx+433,40,6o,0313yx913 那么有:183213300yxyxyx 目標(biāo)函數(shù)yxz35 作出可行域后求出可行域邊界上各端點的坐標(biāo),經(jīng)

13、驗證知: 當(dāng)x3,y5 時可獲得最大利潤為 27 萬元,應(yīng)選 d5.寧夏海南卷理設(shè) x,y 滿足241,22xyxyzxyxy 則a.有最小值 2,最大值 3 b.有最小值 2,無最大值c.有最大值 3,無最小值 d.既無最小值,也無最大值答案 b解析 畫出可行域可知,當(dāng)zxy過點2,0時,min2z,但無最大值。選 b.6.寧夏海南卷文設(shè), x y滿足24,1,22,xyxyxy那么zxya.有最小值 2,最大值 3 b.有最小值 2,無最大值c.有最大值 3,無最小值 d.既無最小值,也無最大值 答案 b7.(湖南卷理)d 是由不等式組2030 xyxy,所確定的平面區(qū)域,那么圓 224x

14、y 在區(qū)域 d 內(nèi)的弧長為 ba .4 b.2 c.34 d.32 答案 b解析 解析如圖示,圖中陰影局部所在圓心角所對弧長即為所求,易知圖中兩直線的斜率分別是1,213,所以圓心角即為兩直線的所成夾角,所以11|()|23tan1111|23 (),所以4,而圓的半徑是 2,所以弧長是2,應(yīng)選 b 現(xiàn)。8.天津卷理設(shè)變量 x,y 滿足約束條件:3123xyxyxy .那么目標(biāo)函數(shù) z=2x+3y 的最小值為a.6 b.7 c答案 b【考點定位】本小考查簡單的線性規(guī)劃,根底題。解析 畫出不等式3123xyxyxy 表示的可行域,如右圖, 讓目標(biāo)函數(shù)表示直線332zxy 在可行域上平移,知在點

15、b 自目標(biāo)函數(shù)取到最小值,解方程組 323yxyx得)1 , 2(,所以734min z,應(yīng)選擇 b。 8642-2-4-15-10-5510152x-y=3x-y=1x+y=3q x = -2x3+7h x = 2x-3g x = x+1f x = -x+3ab9.四川卷理某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用 a 原料 3 噸、b 原料 2 噸;生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用 a 原料 1 噸、b 原料 3 噸。銷售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤 5 萬元,每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤 3 萬元,該企業(yè)在一個生產(chǎn)周期內(nèi)消耗 a 原料不超過 13 噸,b 原料不超過18 噸,那么該企業(yè)可獲得最大利潤是 a. 12

16、萬元 b. 20 萬元 c. 25 萬元 d. 27 萬元 答案 d【考點定位】本小題考查簡單的線性規(guī)劃,根底題。 同文 10解析 設(shè)甲、乙種兩種產(chǎn)品各需生產(chǎn)x、y噸,可使利潤z最大,故此題即約束條件 001832133yxyxyx,求目標(biāo)函數(shù)yxz35 的最大 值,可求出最優(yōu)解為 43yx,故271215max z,應(yīng)選 擇 d。10.福建卷文在平面直角坐標(biāo)系中,假設(shè)不等式組101010 xyxaxy 為常數(shù)所表示的平面區(qū)域內(nèi)的面積等于 2,那么a的值為a. -5 b. 1 c. 2 d. 3 答案答案 d d解析解析 如圖可得黃色即為滿足010101yaxyxx的可行域,而與 的直線恒過0

17、,1 ,故看作直線繞點0,1旋轉(zhuǎn),當(dāng) a=-5 時,那么可行域不是一個封閉區(qū)域,當(dāng) a=1 時,面積是 1;a=2 時,面積是23;當(dāng) a=3 時,面積恰好為 2,應(yīng)選 d.二、填空題11.浙江理假設(shè)實數(shù), x y滿足不等式組2,24,0,xyxyxy那么23xy的最小值是 答案 4 解析 通過畫出其線性規(guī)劃,可知直線23yxz 過點2,0時,min234xy12.浙江卷文假設(shè)實數(shù), x y滿足不等式組2,24,0,xyxyxy那么23xy的最小是 解析 通過畫出其線性規(guī)劃,可知直線23yxz 過點2,0時,min234xy13.北京文假設(shè)實數(shù), x y滿足20,4,5,xyxx那么sxy的最

18、大值為 .答案 9解析:此題主要考查線性規(guī)劃方面的根底知. 屬于根底知識、根本運算的考查. 如圖,當(dāng)4,5xy時,459sxy為最大值. 故應(yīng)填 9.14.北京卷理假設(shè)實數(shù), x y滿足2045xyxy那么syx的最小值為_.答案 6 解析 此題主要考查線性規(guī)劃方面的根底知. 屬于根底知識、根本運算的考查. 如圖,當(dāng)4,2xy 時, 246syx 為最小值.故應(yīng)填6.15.(山東卷理)不等式0212xx的解集為 . 答案 | 11xx 解析 原不等式等價于不等式組221 (2)0 xxx 或12221 (2)0 xxx 或12(21)(2)0 xxx不等式組無解,由得112x,由得112x ,綜上得11x ,所以原不等式的解集為 | 11xx . 16.(山東卷

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