（整理版）第7講化歸與轉(zhuǎn)化的思想在解題中的應(yīng)用

1、第7講 化歸與轉(zhuǎn)化的思想在解題中的應(yīng)用一、知識整合1解決數(shù)學(xué)問題時，常遇到一些問題直接求解較為困難，通過觀察、分析、類比、聯(lián)想等思維過程，選擇運用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法進(jìn)行變換，將原問題轉(zhuǎn)化為一個新問題相對來說，對自己較熟悉的問題，通過新問題的求解，到達(dá)解決原問題的目的，這一思想方法我們稱之為“化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法。3轉(zhuǎn)化有等價轉(zhuǎn)化和非等價轉(zhuǎn)化。等價轉(zhuǎn)化前后是充要條件，所以盡可能使轉(zhuǎn)化具有等價性；在不得已的情況下，進(jìn)行不等價轉(zhuǎn)化，應(yīng)附加限制條件，以保持等價性，或?qū)λ媒Y(jié)論進(jìn)行必要的驗證。4化歸與轉(zhuǎn)化應(yīng)遵循的根本原那么： 1熟悉化原那么：將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，以利于我們運用熟知的知識、經(jīng)驗和問題

2、來解決。2簡單化原那么：將復(fù)雜的問題化歸為簡單問題，通過對簡單問題的解決，到達(dá)解決復(fù)雜問題的目的，或獲得某種解題的啟示和依據(jù)。 4直觀化原那么：將比擬抽象的問題轉(zhuǎn)化為比擬直觀的問題來解決。5正難那么反原那么：當(dāng)問題正面討論遇到困難時，可考慮問題的反面，設(shè)法從問題的反面去探求，使問題獲解。二、例題分析例1某廠生產(chǎn)利潤逐月增加，且每月增加的利潤相同，但由于廠方正在改造建設(shè)，元月份投入資金建設(shè)恰好與元月的利潤相等，隨著投入資金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到12月投入建設(shè)資金又恰好與12月的生產(chǎn)利潤相同，問全年總利潤m與全年總投入n的大小關(guān)系是 a. m>n b. m<n c.

3、m=n 分析每月的利潤組成一個等差數(shù)列an，且公差d0，每月的投資額組成一個等比數(shù)列bn，且公比q1。，且，比擬與的大小。假設(shè)直接求和，很難比擬出其大小，但注意到等差數(shù)列的通項公式an=a1+n-1d是關(guān)于n的一次函數(shù)，其圖象是一條直線上的一些點列。等比數(shù)列的通項公式bn=a1qn-1是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)，其圖象是指數(shù)函數(shù)上的一些點列。 在同一坐標(biāo)系中畫出圖象，直觀地可以看出aibi 那么，即mn。 點評把一個原本是求和的問題，退化到各項的逐一比擬大小，而一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的圖象又是每個學(xué)生所熟悉的。在對問題的化歸過程中進(jìn)一步挖掘了問題的內(nèi)涵，通過對問題的反思、再加工后，使問題直觀、形象，使解答

4、更清新。例2如果，三棱錐pabc中，pabc，pa=bc=l，pa，bc的公垂線ed=h求證三棱錐pabc的體積分析：如視p為頂點，abc為底面，那么無論是sabc以及高h(yuǎn)都不好求如果觀察圖形，換個角度看問題，創(chuàng)造條件去應(yīng)用三棱錐體積公式，那么可走出困境解：如圖，連結(jié)eb，ec，由pabc，paed，edbc=e，可得pa面ecd這樣，截面ecd將原三棱錐切割成兩個分別以ecd為底面，以pe、ae為高的小三棱錐，而它們的底面積相等，高相加等于pe+ae=pa=l，所以vpabc=vpecd+vaecd=secdae+secdpe=secd pa=bc·ed·pa= 評注：輔

5、助截面ecd的添設(shè)使問題轉(zhuǎn)化為問題迎刃而解例3在的展開式中x的系數(shù)為( )(a)160 (b)240 (c)360 (d)800分析與解：此題要求展開式中x的系數(shù)，而我們只學(xué)習(xí)過多項式乘法法那么及二項展開式定理，因此，就要把對x系數(shù)的計算用上述兩種思路進(jìn)行轉(zhuǎn)化：思路1：直接運用多項式乘法法那么和兩個根本原理求解，那么展開式是一個關(guān)于x的10次多項式， =(x2+3x+2) (x2+3x+2) (x2+3x+2) (x2+3x+2) (x2+3x+2)，它的展開式中的一次項只能從5個括號中的一個中選取一次項3x并在其余四個括號中均選 擇常數(shù)項2相乘得到，故為·(3x)·

6、83;24=5×3×16x=240x，所以應(yīng)選(b)思路2 利用二項式定理把三項式乘冪轉(zhuǎn)化為二項式定理再進(jìn)行計算，x2+3x+2=x2+ (3x+2)=(x2+2)+3x=(x2+3x)+2=(x+1)(x+2)=(1+x)(2+x)，這條思路下又有四種不同的化歸與轉(zhuǎn)化方法如利用x2+3x+2=x2+(3x+2)轉(zhuǎn)化，可以發(fā)現(xiàn)只有(3x+2)5中會有x項，即(3x)·24=240x，應(yīng)選(b)；如利用x2+3x+2= (x2+2)+3x進(jìn)行轉(zhuǎn)化，那么只 (x2+2) 4·3x中含有x一次項，即·3x·c44·24=240x；

7、如利用x2+3x+2=(x2+3x)+2進(jìn)行轉(zhuǎn)化，就只有·(x2+3x)·24中會有x項，即240x；如選擇x2+3x+2=(1+x)(2+x)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，=×展開式中的一次項x只能由(1+x)5中的一次項乘以(2+x)5展開式中的常數(shù)項加上(2+x)5展開式中的一次項乘以(1+x)5展開式中的常數(shù)項后得到，即為x·25+24x15=160x+80x=240x，應(yīng)選(b) 評注：化歸與轉(zhuǎn)化的意識幫我們把未知轉(zhuǎn)化為。例4假設(shè)不等式對一切均成立，試求實數(shù)的取值范圍。解： 令，那么要使它對均有，只要有 或。點評：在有幾個變量的問題中，常常有一個變元處于主要地位，我們稱之為主元，由于思維定勢的影響，在解決這類問題時，我們總是緊緊抓住主元不放，這在很多情況下是正確的。但在某些特定條件下，此路往往不通，這時假設(shè)能變更主元，轉(zhuǎn)移變元在問題中的地位，就能使問題迎刃而解。此題中，假設(shè)視x為主元來處理，既繁且易出錯，實行主元的轉(zhuǎn)化，使問題變成關(guān)于p的一次不等式，使問題實現(xiàn)了從高維向低維轉(zhuǎn)化，解題簡單易行。三、總結(jié)提煉1熟練、扎實地掌握根底知識、根本技能和根本方法是轉(zhuǎn)化的根底；豐富的聯(lián)想、機敏細(xì)微的觀察、比擬、類比是實現(xiàn)轉(zhuǎn)化的橋梁；培養(yǎng)訓(xùn)練自己自覺的化歸與轉(zhuǎn)化意識需要對定理、公式、法那么有本質(zhì)上的深刻理解和對典型習(xí)題的