（整理版）第17講異面直線所成的角的求法

1、第17講：異面直線所成的角的求法【考綱要求】能用向量方法解決直線與直線的夾角的計(jì)算問題。【根底知識】一、異面直線的定義的方向向量。 四、求異面直線所成的角表達(dá)的是數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化的思想，就是把空間的角轉(zhuǎn)化為平面的角，再利用解三角形的知識解答。五、溫馨提示如果你解三角形得到的角的余弦是一個(gè)負(fù)值，如，你不能說兩條異面直線所成的角為，你應(yīng)該說兩條異面直線所成的角為，因?yàn)閮蓷l異面直線所成的角的范圍為。例1 在正四棱柱中，為的中點(diǎn)p1求直線ac與平面abp所成的角；2求異面直線ac與bp所成的角；3求點(diǎn)b到平面apc的距離解：1ab平面bc1，pc平面bc1，abpc 在矩形bcc1b1 中，bc=2，bb1

2、=1，p為b1c1的中點(diǎn)，pcpb pc平面abp，cap為直線ac與平面abp所成的角 pc=，ac=，在rtapc中，cap=300直線ac與平面abp所成的角為300 2取a1d1中點(diǎn)q，連結(jié)aq、cq，在正四棱柱中，有aqbp，caq為異面直線ac與bp所成的角 【變式演練1】四邊形abcd為直角梯形，adbc，abc=90°,pa平面ac，且pa=ad=ab=1,bc=2(1)求pc的長；(2)求異面直線pc與bd所成角的余弦值的大??；(3)求證：二面角bpcd為直二面角. 例2 如下圖，af、de分別是o、o1o的直徑，ab=ac=6，oead.1求二面角b-ad-f的大

3、?。?求直線bd與ef所成的角的余弦值.解 1ad與兩圓所在的平面均垂直，adab，adaf，故baf是二面角badf的平面角.依題意可知，四邊形abfc是正方形，baf=45°.即二面角badf的大小為45°2以o為原點(diǎn)，cb、af、oe所在直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系如下圖，那么o0，0，0，a0，-3，0，b3，0，0，d0，-3，8，e0，0，8，f0，3，0，=-3，-3，8，=0，3，-8.cos,=設(shè)異面直線bd與ef所成角為，那么cos=|cos|=.即直線bd與ef所成的角的余弦值為.【變式演練2】如下圖，點(diǎn)p在正方體abcdabcd對角線bd上,pd

4、a=60°(1)求dp與cc所成角的大小;(2)求dp與平面aadd所成角的大小.【高考精選 】1.【高考真題陜西理5】如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱，那么直線與直線夾角的余弦值為 a. b. c. d. 2.【高考真題全國卷理16】三菱柱abc-a1b1c1中，底面邊長和側(cè)棱長都相等， baa1=caa1=60°那么異面直線ab1與bc1所成角的余弦值為_.3高考真題上海理19如圖，在四棱錐p-abcd中，底面abcd是矩形，pa底面abcd，e是pcab=2，ad=2，pa=2.求：1三角形pcd的面積；6分2異面直線bc與ae所成的角的大小.6分abcdpef ，

5、q=. 由此可知，異面直線bc與ae所成的角的大小是 解法二取pb中點(diǎn)f，連接ef、af，那么 efbc，從而aef或其補(bǔ)角是異面直線 bc與ae所成的角 8分 在中，由ef=、af=、ae=2 知是等腰直角三角形， 所以aef=. 因此異面直線bc與ae所成的角的大小是 【反應(yīng)訓(xùn)練】1四面體abcd中，e、f分別是ac、bd的中點(diǎn)，假設(shè)cd=2ab，efab，那么ef與cd所成的角等于a30° b45° c60° d90°2.abcda1b1c1d1為正方體,點(diǎn)p在線段a1c1上運(yùn)動(dòng),異面直線bp與ad1所成的角為,那么的范圍為( )a.(0,) b.

6、(0, c.(0,) d.(0,abcda1b1c1d1中，m為dd1的中點(diǎn)，o為底面abcd的中心，p為棱a1b1上任意一點(diǎn)，那么直線op與直線am所成的角是( )a.b.c.d.4. 直三棱柱a1b1c1abc，bca=90°，點(diǎn)d1、f1分別是a1b1、a1c1的中點(diǎn)，bc=ca=cc1，那么bd1與af1所成角的余弦值是a b c d5 四邊形abcd為直角梯形，adbc，abc=90°,pa平面ac，且pa=ad=ab=1,bc=2(1)求pc的長；(2)求異面直線pc與bd所成角的余弦值的大小；(3)求證 二面角bpcd為直二面角 7一副三角板拼成一個(gè)四邊形ab

7、cd，如圖，然后將它沿bc折成直二面角 (1)求證 平面abd平面acd；(2)求ad與bc所成的角；(3)求二面角abdc的大小【變式演練詳細(xì)解析】【變式演練1詳細(xì)解析】(1)解：因?yàn)閜a平面ac，abbc,pbbc,即pbc=90°,由勾股定理得pb=.pc=.(2)解：如圖，過點(diǎn)c作cebd交ad的延長線于e，連結(jié)pe，那么pc與bd所成的角為pce或它的補(bǔ)角.ce=bd=，且pe=由余弦定理得cospce=pc與bd所成角的余弦值為.(3證明：設(shè)pb、pc中點(diǎn)分別為g、f，連結(jié)fg、ag、df，那么gfbcad，且gf=bc=1=ad，從而四邊形adfg為平行四邊形，又ad平

8、面pab，adag，即adfg為矩形，dffg.在pcd中，pd=，cd=，f為bc中點(diǎn)，dfpc從而df平面pbc，故平面pdc平面pbc，即二面角bpcd為直二面角.【變式演練2詳細(xì)解析】解得m=,所以=.所以,=60°,可得dp與平面aadd所成的角為30°.【反應(yīng)訓(xùn)練詳細(xì)解析】1.a【解析】：取ad中點(diǎn)g，連結(jié)eg、gf，那么ge cd，ge=abcd=2ab ge=2gf，efab，efgfgef=30°，答案：a2.d【解析】:取點(diǎn)p的極限位置,即線段a1c1的端點(diǎn).答案:d3.d 【解析】：(特殊位置法將p點(diǎn)取為a1，作oead于e，連結(jié)a1e，那么

9、a1e為oa1的射影，又ama1e，amoa1，即am與op成90°角.答案：d4. a【解析】解法一：(幾何法)如圖，連結(jié)d1f1，那么d1f1 bc d1f1 設(shè)點(diǎn)e為bc中點(diǎn)d1f1 be ef1ef1a或補(bǔ)角即為所求由余弦定理可求得cosef1a=解法二：(向量法)建立如下圖的坐標(biāo)系，設(shè)bc=1那么a1，0，0，f1，0，1，b0，1，0，d1，1即 =，0，1， =， ，1cos<， >=5.【解析】 (1)解 因?yàn)閜a平面ac，abbc,pbbc,即pbc=90°,由勾股定理得pb= pc= pc與bd所成角的余弦值為 (3證明 設(shè)pb、pc中點(diǎn)分別

10、為g、f，連結(jié)fg、ag、df，那么gfbcad，且gf=bc=1=ad，從而四邊形adfg為平行四邊形，又ad平面pab，adag，即adfg為矩形，dffg 在pcd中，pd=，cd=，f為bc中點(diǎn)，dfpc從而df平面pbc，故平面pdc平面pbc，即二面角bpcd為直二面角 另法向量法 (略)6 【解析】解 (1)如圖，在平面abc內(nèi)，過a作ahbc，垂足為h，那么ah平面dbc，adh即為直線ad與平面bcd所成的角 由題設(shè)知ahbahd，那么dhbh，ah=dh，adh=45°(2)bcdh，且dh為ad在平面bcd上的射影，bcad，故ad與bc所成的角為90°

11、; (3)過h作hrbd，垂足為r，連結(jié)ar，那么由三垂線定理知，arbd，故arh為二面角abdc的平面角的補(bǔ)角 設(shè)bc=a,那么由題設(shè)知，ah=dh=,在hdb中，hr=a，tanarh=2故二面角abdc大小為arctan2 另法向量法 (略)7 【解析】 (1)證明 取bc中點(diǎn)e，連結(jié)ae，ab=ac，aebc平面abc平面bcd，ae平面bcd，bccd，由三垂線定理知abcd 又abac，ab平面bcd，ab平面abd 平面abd平面acd (2)解 在面bcd內(nèi)，過d作dfbc，過e作efdf，交df于f，由三垂線定理知afdf，adf為ad與bc所成的角 設(shè)ab=m，那么bc=

12、m，ce=df=m,cd=ef=m即ad與bc所成的角為arctan故由平面abc平面acd，知df平面abc，即df是四面體abcd的面abc上的高，且df=adsin30°=1，af=adcos30°=.在rtabc中，因ac=2af=，ab=2bc，由勾股定理易知故四面體abcd的體積 ii解法一：如答19圖1，設(shè)g，h分別為邊cd，bd的中點(diǎn)，那么fg/ad，gh/從而fgh是異面直線ad與bc所成的角或其補(bǔ)角. 設(shè)e為邊ab的中點(diǎn)，那么ef/bc，由abbc，知efab.又由i有df平面abc，故由三垂線定理知deab.所以def為二面角cabd的平面角，由題設(shè)知def=60°設(shè)在從而解法二：如答19圖2，過f作fmac，交ab于m，ad