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1、5.2 等比數(shù)列及其前n項和一、選擇題1在等比數(shù)列an中,a37,前3項之和S321,則公比q的值為() A1 B C1或 D1或解析:根據(jù)已知條件3.整理得2q2q10,解得q1或q.答案:C2某種細(xì)胞開始有2個,1小時后分裂成4個并死去1個,2小時后分裂成6個并死去1個,3小時后分裂成10個并死去一個,按此規(guī)律進行下去,6小時后細(xì)胞存活的個數(shù)是()A30 B65 C67 D71解析:設(shè)開始的細(xì)胞數(shù)和n小時后的細(xì)胞數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為an則即2.則an1構(gòu)成等比數(shù)列an11·2n1,an2n11,a765.答案:B3在等比數(shù)列an中,a9a10a(a0),a19a20b,則a99a100
2、等于()A. B()9 C. D()10解析:令a9a10b1,a19a20b2,a99a100b10.它們構(gòu)成以為公比的等比數(shù)列所以a99a100a·()9.答案:A4等比數(shù)列前n項和為54,前2n項和為60,則前3n項的和為()A54 B64 C66 D60解析:因為(S2nSn)2Sn·(S3nS2n),所以6254(S3n60),所以S3n60.答案:D二、填空題5已知等比數(shù)列an中,a33,a10384,則該數(shù)列的通項an_.解析:ana1qn1a2qn2amqnm,a10a3q7,即3843q7,q727,q2.ana3qn33·2n3.答案:3
3、83;2n36若干個能唯一確定一個數(shù)列的量稱為該數(shù)列的“基本量”設(shè)an是公比為q的無窮等比數(shù)列,下列an的四組量中,一定能成為該數(shù)列“基本量”的是第_組(寫出所有符合要求的組號)S1與S2;a2與S3;a1與an;q與an.其中n為大于1的整數(shù),Sn為an的前n項和解析:a1S1,a2S2S1,q確定,等比數(shù)列an確定由S3a1a2a3a2a2q,q10,即q2(1)q10.不能唯一確定q,從而該數(shù)列不能唯一確定qn1,n為奇數(shù)時,n1為偶數(shù),q不能唯一確定a1唯一確定,即an唯一確定滿足題意答案:7在數(shù)列an中,已知a11,an2(an1an2a2a1)(n2,nN*),這個數(shù)列的通項公式是
4、_解析:由已知n2時,an2Sn1當(dāng)n3時,an12Sn2整理得3(n3),an答案:an三、解答題8Sn是無窮等比數(shù)列an的前n項和,且公比q1,已知1是S2和S3的等差中項,6是2S2與3S3的等比中項(1)求S2和S3;(2)求此數(shù)列的通項公式;(3)求數(shù)列Sn的前n項和解答:(1)根據(jù)已知條件整理得解得3S22S36,即(2)q1,則可解得q,a14.Sn()n.(3)由(2)得S1S2Snnn1()n9設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn,已知a11,an1·Sn(n1,2,3,),證明:(1)數(shù)列是等比數(shù)列;(2)Sn14an.證明: (1)因為an1Sn1Sn,an1Sn,所以(
5、n2)·Snn(Sn1Sn),整理得n·Sn12(n1)Sn,故2·.故是以2為公比的等比數(shù)列(2)由(1)知4·(n2),于是Sn14(n1)·4an(n2)又當(dāng)n1時,S2a1a2a13S1134.所以S24a1,即當(dāng)n1時,結(jié)論也成立因此對任意正整數(shù)n,都有Sn14an.10已知數(shù)列an、bn滿足:a11,a2a(a為常數(shù)),且bnan·an1(n1,2,3,)(1)若an是等比數(shù)列,求數(shù)列bn的前n項和Sn;(2)當(dāng)bn是等比數(shù)列時,甲同學(xué)說:an一定是等比數(shù)列;乙同學(xué)說:an一定不是等比數(shù)列,你認(rèn)為他們的說法是否正確?為什么
6、?解答:(1)an是等比數(shù)列,a11,a2a,a0,anan1.又bnan·an1,b1a1·a2a,a2.即bn是以a為首項,a2為公比的等比數(shù)列Sn(2)甲、乙兩個同學(xué)的說法都不正確,理由如下:設(shè)bn的公比為q,則q,且a0.又a11,a2a,a1,a3,a5,a2n1,是以1為首項,q為公比的等比數(shù)列,a2,a4,a6,a2n,是以a為首項,q為公比的等比數(shù)列,即an為:1,a,q,aq,q2,aq2,當(dāng)qa2時,an是等比數(shù)列;當(dāng)qa2時,an不是等比數(shù)列1一正項等比數(shù)列前11項的幾何平均數(shù)為25,從11項中抽去一項后所剩10項的幾何平均數(shù)仍是25,那么抽去的這一項
7、是()A第6項 B第7項 C第9項 D第11項解析:根據(jù)已知條件25,即a1a2a11255,即a1q525,假設(shè)抽去第n項,則 25,a1qn125,q5qn1.解得n6.答案:A2設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn,已知ban2n(b1)Sn(1)證明:當(dāng)b2時,ann·2n1是等比數(shù)列;(2)求an的通項公式解答:由題意知a12,且ban2n(b1)Sn,ban12n1(b1)Sn1,兩式相減得b(an1an)2n(b1)an1,即an1ban2n.(1)證明:當(dāng)b2時,由知an12an2n,于是an1(n1)·2n2an2n(n1)·2n2(ann·2n1),又a11·21110,所以ann·2n1是首項為1,公比為2的等比數(shù)列(2)當(dāng)b2時,由(1)知ann·2n12n1,即
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