（整理版）正弦定理和余弦定理應(yīng)用舉例

1、正弦定理和余弦定理應(yīng)用舉例題組一距 離 問 題1.一船自西向東航行，上午10時(shí)到達(dá)燈塔p的南偏西75°、距塔68海里的m處，下午2時(shí)到達(dá)這座燈塔的東南方向的n處，那么這只船航行的速度為 ()a.海里/時(shí) b34海里/時(shí)c.海里/時(shí) d34海里/時(shí)解析：如圖由題意知mpn=75°+45°=120°，pnm=45°.在pmn中，由正弦定理，得，mn=68×=34.又由m到n所用時(shí)間為14-10=4小時(shí)，船的航行速度v= (海里/時(shí))答案：a2一船以每小時(shí)15 km的速度向東航行，船在a處看到一燈塔m在北偏東60°方向，行駛4 h

2、后，船到達(dá)b處，看到這個(gè)燈塔在北偏東15°方向，這時(shí)船與燈塔的距離為_km.解析：如圖，依題意有ab15×460，mab30°，amb45°，在amb中，由正弦定理得，解得bm30 km.答案：303如下圖，為了測量河對(duì)岸a，b兩點(diǎn)間的距離，在這一岸定一基線cd，現(xiàn)已測出cda和acd60°，bcd30°，bdc105°，adc60°，試求ab的長解：在acd中，cda，acd60°，adc60°，所以aca. 在bcd中，由正弦定理可得bca. 在abc中，已經(jīng)求得ac和bc，又因?yàn)閍cb30

3、°，所以利用余弦定理可以求得a、b兩點(diǎn)之間的距離為aba.題組二高 度 問 題4.據(jù)新華社報(bào)道，強(qiáng)臺(tái)風(fēng)“珍珠在廣東饒平登陸臺(tái)風(fēng)中心最大風(fēng)力到達(dá)12級(jí)以上，大風(fēng)降雨給災(zāi)區(qū)帶來嚴(yán)重的災(zāi)害，不少大樹被大風(fēng)折斷某路邊一樹干被臺(tái)風(fēng)吹斷后，折成與地面成45°角，樹干也傾斜為與地面成75°角，樹干底部與樹尖著地處相距20米，那么折斷點(diǎn)與樹干底部的距離是 ()a.米 b10米 c.米 d20米解析：如圖，設(shè)樹干底部為o，樹尖著地處為b，折斷點(diǎn)為a，那么abo=45°，aob=75°，oab=60°.由正弦定理知，ao= (米)答案：a5在一個(gè)塔底的水

4、平面上某點(diǎn)測得該塔頂?shù)难鼋菫?，由此點(diǎn)向塔底沿直線行走了30 m，測得塔頂?shù)难鼋菫?，再向塔底前進(jìn)10 m，又測得塔頂?shù)难鼋菫?，那么塔的高度為_解析：如圖，依題意有pb=ba=30，pc=bc=.在三角形bpc中，由余弦定理可得cos2=，所以2=30°，4=60°，在三角形pcd中，可得pd=pc·sin4=10·=15(m)答案：15 m6某人在山頂觀察地面上相距2 500 m的a、b兩個(gè)目標(biāo)，測得目標(biāo)a在南偏西57°，俯角為30°，同時(shí)測得b在南偏東78°，俯角是45°，求山高(設(shè)a、b與山底在同一平面上，計(jì)

5、算結(jié)果精確到0.1 m)解：畫出示意圖(如下圖)設(shè)山高pq=h，那么apq、bpq均為直角三角形，在圖(1)中，paq=30°，pbq=45°.aq=，bq=h.在圖(2)中，aqb=57°+78°=135°，ab=2 500，所以由余弦定理得：ab2=aq2+bq2-2aq·bqcosaqb，即2 5002=(h)2+h2-2h·h·cos135°=(4+)h2，h=984.4(m)答：山高約984.4 m.題組三角 度 問 題abc中，角a、b、c所對(duì)的邊分別為a，b，c，如果ca，b30°

6、，那么角c等于 ()a120° b105° c90° d75°解析：ca，sincsinasin(180°30°c)sin(30°c)(sinccosc)，即sinccosc.tanc.又c(0,180°)，c120°.答案：a8如果把直角三角形的三邊都增加同樣的長度，那么這個(gè)新的三角形的形狀為 ()a銳角三角形 b直角三角形 c鈍角三角形 d由增加的長度決定解析：設(shè)增加同樣的長度為x，原三邊長為a、b、c，且c2a2b2，ab>c新的三角形的三邊長為ax、bx、cx，知cx為最大邊，其對(duì)應(yīng)角最大而

7、(ax)2(bx)2(cx)2x22(abc)x>0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦為正，那么為銳角，那么它為銳角三角形答案：a題組四正、余弦定理的綜合應(yīng)用9.有一山坡，坡角為30°，假設(shè)某人在斜坡的平面上沿著一條與山坡底線成30°角的小路前進(jìn)一段路后，升高了100米，那么此人行走的路程為 ()a300 m b400 m c200 m d200 m解析：如圖，ad為山坡底線，ab為行走路線，bc垂直水平面那么bc=100，bdc=30°，bad=30°，bd=200，ab=2bd=400 米答案：b10線段ab外有一點(diǎn)c，abc60°

8、;，ab200 km，汽車以80 km/h的速度由a向b行駛，同時(shí)摩托車以50 km/h的速度由b向c行駛，那么運(yùn)動(dòng)開始_h后，兩車的距離最小解析：如下圖：設(shè)t h后，汽車由a行駛到d，摩托車由b行駛到e，那么ad=80t，be=50t.因?yàn)閍b=200，所以bd=200-80t，問題就是求de最小時(shí)t的值由余弦定理：de2=bd2+be2-2bd·becos60°=(200-80t)2+2500t2-(200-80t)·50t=12900t2-4t+40000.當(dāng)t=時(shí)de最小答案：11如圖，扇形aob，圓心角aob等于60°，半徑為2，在弧ab上有一

9、動(dòng)點(diǎn)p，過p引平行于ob的直線和oa交于點(diǎn)c，設(shè)aop，求poc面積的最大值及此時(shí)的值解：因?yàn)閏pob，所以cpopob60°，ocp120°.在poc中，由正弦定理得，所以cpsin.又，ocsin(60°)因此poc的面積為s()cp·ocsin120°·sin·sin(60°)×sinsin(60°)sin(cossin)，(0°，60°)所以當(dāng)30°時(shí)，s()取得最大值為.12(·寧波模擬)某建筑的金屬支架如下圖，根據(jù)要求ab至少長2.8 m，c為ab的中點(diǎn)，b到d的距離比cd的長小0.5 m，bcd60°，建造支架的材料每米的價(jià)格一定，問怎樣設(shè)計(jì)ab，cd的長，可使建造這個(gè)