小概率事件原理

1、88小概率事件原理在生活中的應用一、摘 要：概率是研究隨機現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律的科學，它的理論的方法已成為研究國民經濟和技術不可缺少的工具，概率最早起源于對賭博問題的研究。十七世紀就出現(xiàn)了概率論，隨著社會的發(fā)展，概率論在工農生產、國民經濟、現(xiàn)代科學技術等方面具有廣泛的應用。這既是近年來我國數(shù)學課程改革的成果之一，也是實現(xiàn)教育內容現(xiàn)代化的一個重要舉措。高中數(shù)學的許多知識與概率有著密切的聯(lián)系，特別是所學的排列、組合等知識在概率中得到了較為充分的應用，同時已經學習了的概率論與數(shù)理統(tǒng)計等內容也都以概率初步知識為基礎。小概率事件概率論是研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計好規(guī)律的科學。在概率論與數(shù)理統(tǒng)計已獲得當今社會的廣泛應用、

2、概率已成為日常生活的普通常識的今天，對現(xiàn)實生活中的概率問題進行研究就更顯得十分重要，小概率事件原理是概率論中實用價值較高，應用范圍較廣的基本理論，下面我們略舉一些實例介紹其在其他生活領域的應用。關 鍵 詞：概率，騙局，抽簽，質量檢查，商場管理，相遇問題，假設檢驗，經濟效益，2、 小概率事件的認識： 在n次獨立的重復試驗中，事件A發(fā)生的次數(shù)設為，P為事件A發(fā)生的概率。則對 0，有 或 根據(jù)伯努力大數(shù)定律，在大量重復試驗中事件出現(xiàn)的頻率接近于概率。假設事件A發(fā)生的概率為0.001，則在1000次試驗中，事件A發(fā)生的次數(shù)大體為1次。但不管其概率是多么小，其值總是一個確定的正數(shù)。該事件隨著試驗次數(shù)的不

3、斷增加，遲早會發(fā)生的概率趨近于1。事實上，假如在某個隨機試驗中，事件A的概率為P（A）=，是一個充分小的正數(shù)，則不論如何小，只要不斷獨立地重復這一試驗，事件A總是會發(fā)生的（即A發(fā)生的概率為1）。設以A k表示事件A于第k次試驗中發(fā)生這一事件，則P（A k）=。從而在前n次試驗中，A都不發(fā)生的概率為：故在前n次試驗中，A至少發(fā)生一次的概率為：當n時，由于01，有l(wèi)imnpn=1這就說明了雖然事件A在一次試驗中發(fā)生的概率很小，但在不斷地重復獨立試驗中，A總會發(fā)生。因此，我們可以認為概率很小的事件在一次試驗中實際上是大不可能出現(xiàn)，這就是小概率事件原理。它是統(tǒng)計假設檢驗中拒絕還是接受原假設的依據(jù)，也是

4、人們在實踐中總結出來而被廣泛應用的一個原理。 小概率事件原理的推斷方法是概率性質的反證法，指的是人們首先根據(jù)問題提出假設，然后根據(jù)一次試驗的結果進行計算，最后按照一定的概率標準做出鑒別。若小概率事件出現(xiàn)了，則拒絕假設；若小概率事件沒發(fā)生，則不拒絕假設。 小概率事件，在概率論的基礎理論研究中，大量隨機現(xiàn)象具有某種穩(wěn)定的性質，例如頻率的穩(wěn)定性，平均結果的穩(wěn)定性等等，它反映了偶然性與必然性之間的辯證關系。為了揭示這種實際上的必然性或實際上的不可能性，我們對概率接近于1或0的事件的研究，具有重大的意義。概率論的基本問題之一，就是要建立概率接近于1或0的規(guī)律。特別是對大量獨立或弱相關因素的累積結果所發(fā)生

5、的規(guī)律的研究，將導致“依概率收劍”和“依概率1收劍”等概念的產生，與此同時，相應的（弱）大數(shù)定律和強大數(shù)定律的研究也應運而生。三、概率事件在生活的應用：1、數(shù)學騙局 我們經常見到街頭免費摸獎的騙局，為什么說它是騙局呢？我們在此用一個常見的例子分析一下：某廠商為了推銷某種水貨商品，特設立免費摸獎游戲，規(guī)則是：一個袋子中裝有20個球，標有5分值和10分值的各10個，摸獎者從袋中任意摸出10個球，這10個球的分值之和若分別是50，55，60，90，95，100者便可獲取獎品一個，若得其它分值，則必須掏錢購買廠商的商品一件。由于不花錢摸獎，很多人都駐足一試，然而得獎的人幾乎沒有，而大多數(shù)人則不得不花錢

6、購買商品回家，這是為什么呢？在這個摸獎游戲中廠商到底是贏還是虧呢？我們這樣來看：設Ak事件表示摸出的10個球中有k個5分值的，那么10分值的就有10-k個，則Ak事件代表的分值就為5k+10(10-k)=100-5k。又由中獎的分值分別為50，55，60，90，95，100即100-5k等于50，55，60，90，95，100這6個分值中的一個則中獎，因此k的值分別為10，9，8，2，1，0，所以中獎的情況有以下6種：10個全是5分球，或9個5分球，1個10分球，或8個5分球，2個10分球，或2個5分球，8個10分球，或1個5分球，9個10分球，或10個全是10分球，且它們兩兩互不相容，又由排

7、列組合可知上述6種中獎事件發(fā)生的概率分別為：、。因此用A表示中獎事件，那么中獎事件的概率P(A)= +=0.000767.由此可見，這是一個小概率事件，發(fā)生的概率只有0.000767，也可以說中獎幾乎不可能，廠商肯定會賺錢，所以廠商才會選擇和我們玩這樣一種所謂的“免費”摸獎游戲，其實質是一場讓玩游戲的人自己掏腰包買水貨回家騙局。其實生活中我們會遇到很多這樣的“騙局”，我們必須正確認識小概率事件，才不會“上當受騙”。2、抽簽先后是否公平 生活中，我們有時要用抽簽的方法來決定一件事情。在高中我們就學過這樣一個例子：我校去年舉行慶祝五·四詩歌大賽，各班派出10名代表參加，為使人人參與，學校

8、規(guī)定全校同學都作準備，賽前由各班用抽簽方法決定參賽的人選，很多同學們對抽簽之事展開討論，有的同學說先抽的人抽到的機會比較大，也有同學持不同意見，那么，抽簽有先有后(后抽人不知先抽人抽出的結果)，對各人真的公平嗎？我們現(xiàn)在就來研究一下，從概率的方面來說明抽簽次序是否影響抽簽結果？不失一般性，第一，不妨考察5個簽中有一個彩簽的情況，顯然，對第1個抽簽者來說，他從5個簽中任抽一個，得到彩簽的概率，為了求得第2個抽簽者抽到彩簽的概率，我們把前2人抽簽的情況作一整體分析，從5個簽中先后抽出2個，可以看成從5個元素中抽出2個進行排列，它的種數(shù)是，而其中第2人抽到彩簽的情況有，因此，第1人未抽到彩簽，而第2

9、人抽到彩簽的概率為，通過類似的分析，可知第3人抽到彩簽，則有種排列，而第一二人沒有抽到簽的情況有種，所以第3個抽簽的概率為，同理：第4個、第5個分別為，。一般地，如果在n個簽中有1個彩簽，n個人依次從中各抽1個，且后抽人不知先抽人抽出的結果，那么第i個抽簽者(i=1,2,n)抽到彩簽的概率為，即每個抽簽者抽到彩簽的概率都是，也就是說，抽到彩簽的概率與抽簽的順序無關。通過對上述簡單問題的分析，我們看到在抽簽時順序雖然有先有后，但只要不讓后抽人知道先抽人抽出的結果，那么各個抽簽者中簽的概率是相等的，也就是說，并未因為抽簽的順序不同而影響到其公平性。所以通過抽簽來決定事情是公平的。3 、產品質量檢查

10、對某工廠的產品進行質量檢查，現(xiàn)從一批產品中重復抽樣，共取200件樣品，結果發(fā)現(xiàn)其中有4件次品，問我們能否相信此工廠生產的產品的次品率不超過0.005？我們可以這樣來分析：首先，我們假設該工廠生產的產品的次品率為0.005，即200件產品中有4件次品。而抽出一件產品有兩種可能結果，即要么是次品要么不是次品，因此我們可以把取200件產品看成是200次獨立重復試驗，也就是已經學過的伯努利試驗，所以抽到的200件產品中出現(xiàn)4件次品的概率為P=0.015。由此可知，200件產品中出現(xiàn)4件次品的概率很小。根據(jù)小概率原理可知，概率很小的事件在一次試驗中發(fā)生的可能性很小，可以說不可能發(fā)生，但是，題目中共取20

11、0件樣品中就有4件次品，所以我們不能相信此工廠生產的產品的次品率不超過0.005。通過這個例子我們可以了解到，生活中其實還有很多類似的小概率事件，雖然看似很簡單，但如果我們不細心推斷，就會被“欺騙”。所以掌握小概率事件的原理對于日常生活是很有實用價值的。4、小概率原理在商場管理中的應用商場某電器部門有12臺電器，由于種種原因，每臺電器優(yōu)勢需要開，有時需要關，每臺電器的開或關時相互獨立的。由以往的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，每臺電器在一個工作日內關閉的概率為P=1/3，為了了解該部門的用電情況，需要計算其在一天之內恰有k臺電器處于關閉狀態(tài)的概率時多大。這是一個簡單的Bernoulli模型問題，每個工作日內處于關閉

12、狀態(tài)的電器X服從參數(shù)為n=12，p=1/3的二項分布，容易算出X的分布列，見表k0123456789101112pk0.0077070.0462440.1271710.2119520.2384660.1907570.1112750.0476890.0149030.0033120.0004970.0000450.000002由表可以得出關閉的臺數(shù)不超過1臺的概率為：P（0）+P（1）=0.053951P（8）+P（9）+P（12）=0.018759由此可見，若取小概率標準為0.05，則“停車臺數(shù)不超過1臺”和“停車臺數(shù)超過7臺”均屬于小概率事件。根據(jù)小概率原理，可以認為在一個工作日內處于停車的床

13、臺數(shù)在27臺之間，進而可計算實際用電量。反之，還可以利用小概率原理，通過實際觀察來檢驗原先對一臺電器在一個工作日內關閉概率的估計值P=1/3是否正確。如果在某個工作日內發(fā)現(xiàn)關閉的臺數(shù)不超過1臺或超過7臺，則表明上述兩個小概率事件竟然發(fā)生了，因此可以認為這是不正常的。如果沒有其他原因，就可以認為將關閉的概率估計為1/3是不正確的。像上例這種類型的問題在商場管理中是經常遇見的。又如仍有12臺電器，每臺電器出現(xiàn)故障需要維修的概率是p=0.05，可以認為各臺電器是否出現(xiàn)故障是相互獨立的，而且一名維修工人每次只能維修一臺電器。那么，為了減少因等待維修而影響生產，商場應配備幾名維修工人？這也是二項分布問題

14、，其中同一天內出現(xiàn)故障的車床臺數(shù)Xb（12，005）。不難算出：P（0）=0.541，P（1）=0.341于是至少2臺出現(xiàn)故障的概率P=1-P(0)-P(1)=0.118.據(jù)此，可以考慮只配備1名維修工，因為超過1臺出現(xiàn)故障的概率是小概率。5、相遇問題 一位丈夫和他的妻子要上街購物，他們決定在上午10：00到11：00之間到某一街角的一家商店門口相會，他們約定當其中一人先到后一定要等另一人15分鐘，若另一人仍不到則離去。試問這對夫妻能夠相遇的概率為多大？假定他們到達約定地點的時間是隨機的且都在約定的一小時之內。 問題主要涉及到丈夫和妻子到達商店門口的時間這兩個變量，若用x和y表示x-y=-15

15、上午10：00以后丈夫和妻子分別到達約定地點的時間(以分鐘計算)，則他們所x-y=15有可能的到達時間都可由有序對(x,y)來表示，其中0<x<60,0<y<60,于是樣本空間即為圖中邊長為60的正方形區(qū)域。為了使丈夫和妻子相遇，他們到達時間必須在相距15分鐘的間隔之內，也就是說滿足|x-y|<15,此范圍表示的區(qū)域即為事件A(這對夫妻能夠相遇)發(fā)生的區(qū)域，如圖中正方形內兩條線段所夾陰影部分所示。因此，%。當然，上面只是海洋中的幾朵小小的浪花，只要大家都來做有心人，你會發(fā)現(xiàn)它還有很多有意思的例子，例如在軍事上，在賭博上等等。由以上幾個問題我們可從中領悟到概率論的確

16、如英國的邏輯學家的經濟學家杰文斯（Jevons,1835-1882）說的那樣，它是“生活真正的停路人，如果沒有對概率的某種估計，我們就寸步難行，無所作為”。6、小概率事件在假設檢驗中的應用在概率統(tǒng)計中，為了研究隨機現(xiàn)象，必須計算種種隨機事件的概率，由于隨機現(xiàn)象的多樣性，我們不得不研究各種數(shù)學模型，并對每一種模型進行具體分析。 問題：某保健品檢驗標準中要求，保健品中某項元素的不合格品率p不超過3，現(xiàn)從一批產品中隨機抽取50瓶進行檢驗，發(fā)現(xiàn)2瓶不合格，問該批產品能否投入市場？按照一般的習慣性思維：50瓶中有2瓶不合格品，不合格品率就是4，超過了原來設置的3的不合格品率，因此不能投放市場。但假如根據(jù)

17、假設檢驗的理論，在=0.05的顯著性水平下，該批產品就可以投放市場。解法如下：假設 H：pp=0.03；H:pp=0.03若把p看作是n=1的二項分布b（1，p）中成功的而概率，則可在大樣本場合（一般n25）獲得參數(shù)p的近似的檢驗，得樣本統(tǒng)計量：，近似服從標準正態(tài)分布N（0，1）。其中=250=0.04,p=0.03,n=50,顯著水平為，常取=0.05.根據(jù)=0.05及備擇假設知道拒絕域W為：=1.645。由樣本觀測值，求樣本統(tǒng)計量：=0.4151.645.因此，我們認為：在=0.05時，樣本觀測值未落在拒絕域，所以，不能拒絕原假設，應允許這批產品投放市場。由以上討論可知，用抽樣樣本的質量水

18、平來判別產品整體的質量水平，存在抽樣風險。結合例題，假設這批產品共有100000瓶，里面有40瓶不合格品，不合格品率遠低于3的標準。隨機抽樣50瓶，如果在50瓶中抽到了2瓶甚至更多的不合格品，簡單地用抽到的不合格品除以50來作為整批產品的不合格品率來判斷，那么，就會對整批產品質量水平造成錯誤判斷。因此，以小概率事件原理為基礎的假設檢驗就應運而生。從上面的敘述看到，假設檢驗的基本方法就是從抽樣的樣本值出發(fā)，通過觀察一個“小概率事件”在一次抽樣中是否發(fā)生來判斷原來對總體X的某種“看法”（原假設H是否正確。具體做法是：為了檢驗某個假設H是否成立，首先假設H成立，如果由此導出了一個小概率（小于某個數(shù)即

19、為顯著水平，常取=0.05，0.01等）事件發(fā)生，則認為是矛盾，從而應否定H，否則接受H。）假設檢驗中可能會產生兩類錯誤：第一類錯誤是當H實際上成立的條件下，被我們判斷為不成立，即犯了“棄真”的錯誤。顯然，犯“棄真”錯誤的概率就是顯著水平；第二類錯誤就是當H實際上不成立時，反而被我們判斷為成立，即犯了“納偽”的錯誤。就我們的而主觀愿望來說，自然是希望犯這兩類錯誤的概率都盡可能的小，即二者都是小概率事件，然而，可以證明，當樣本容量確定后，犯兩類錯誤的概率不可能同時減少，減少其中一個，另一個往往就會增大。若要它們同時減少，只有增加樣本容量。在實際問題中，因人們常把“棄真”看得比“納偽”更重要些，一

20、般總是控制犯第一類錯誤的概率，這就是數(shù)理統(tǒng)計中的“顯著性檢驗”。7、經濟效益 有時從經濟效益的角度來考慮，利用概率的知識可使得有些問題變得更簡單又經濟，省錢又省力。例如：為防止某突發(fā)事件發(fā)生，在甲、乙、丙、丁四種相互獨立的預防措施可供采用，單獨采用甲、乙、丙、丁預防措施后此突發(fā)事件不發(fā)生的概率(記為P)和所需費用如下：預防措施甲乙丙丁P0.90.80.70.6費用(萬元)90603010預防方案可單獨采用一種預防措施或聯(lián)合采用幾種預防措施。在總費用不超過120萬元的前提下，我們應該采用哪一種預防方案，可使得此突發(fā)事件不發(fā)生的概率最大？我們現(xiàn)在就來研究在總費用不超過120萬元的前提下采用哪一種相