推廣的F-展開法在求解BBM方程精確解中的應(yīng)用

1、2012年度本科生畢業(yè)論文（設(shè)計）推廣的F-展開法在求解BBM方程精確解中的應(yīng)用院 系： 數(shù)學(xué)學(xué)院 專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 年 級： 2008級 學(xué)生姓名： 唐榮貴 學(xué) 號： 200805050215 導(dǎo)師及職稱： 李紹林（副教授） 2012年6月 2012Annual Graduation Thesis (Project) of the College Undergraduate The application of F-expansion method for solving the exact traveling wave solutions of BBM equationDepart

2、ment: College of MathematicsMajor: Mathematics and Applied MathematicsGrade: 2008Students Name: Tang RongguiStudent No.:200805050215Tutor: Li Shaolin( Associate Professor )June, 2012畢業(yè)論文（設(shè)計）原創(chuàng)性聲明本人所呈交的畢業(yè)論文（設(shè)計）是我在導(dǎo)師的指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取得的研究成果。據(jù)我所知，除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本論文（設(shè)計）不包含其他個人已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果。對本論文（設(shè)計）的研究做出重要貢獻(xiàn)的個

3、人和集體，均已在文中作了明確說明并表示謝意。 作者簽名： 日期： 畢業(yè)論文（設(shè)計）授權(quán)使用說明本論文（設(shè)計）作者完全了解紅河學(xué)院有關(guān)保留、使用畢業(yè)論文（設(shè)計）的規(guī)定，學(xué)校有權(quán)保留論文（設(shè)計）并向相關(guān)部門送交論文（設(shè)計）的電子版和紙質(zhì)版。有權(quán)將論文（設(shè)計）用于非贏利目的的少量復(fù)制并允許論文（設(shè)計）進(jìn)入學(xué)校圖書館被查閱。學(xué)校可以公布論文（設(shè)計）的全部或部分內(nèi)容。保密的論文（設(shè)計）在解密后適用本規(guī)定。 作者簽名： 指導(dǎo)教師簽名：日期： 日期： 唐榮貴 畢業(yè)論文（設(shè)計）答辯委員會(答辯小組)成員名單姓名職稱單位備注芮偉國教授紅河學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院組長李紹林副教授紅河學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院何振華副教授紅河學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院林

4、 羽講師紅河學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院紅河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計）摘要本文利用推廣的F展開法，通過引入三個輔助方程對BBM方程進(jìn)行了研究，得到方程的一些精確行波解.這些精確解的類型主要包括：有理函數(shù)，三角函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，Jacobi橢圓函數(shù)，雙曲函數(shù)和Weierstrass橢圓函數(shù)六種類型.為了解這些精確解的性質(zhì)，利用數(shù)學(xué)軟件（Mathematica）對部分精確解進(jìn)行圖象模擬.關(guān)鍵詞：BBM方程；推廣的F展開法；輔助方程；精確解紅河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計）ABSTRACT Using extend F-expansion method and introducing three auxiliary equa

5、tions,the nonlinear partial differential BBM equation is studied,some exact traveling wave solutions are obtained.According to function types,these exact solutions are classified as the following six types:the rational type,triangular type,exponential type,Jacobi elliptic type,hyperbolic type and We

6、ierstrass elliptic type.Understanding the properties of the exact traveling wave solution,the images of some exact solutions are simulated by the mathematical software- Mathematica.Keyword:BBM equation;Extend F-expansion method;Auxiliary equation;Exact solution 紅河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計）目錄第一章 引言1第二章 預(yù)備知識32.1 預(yù)備

7、知識一32.2 預(yù)備知識二52.3 預(yù)備知識三6第三章 BBM方程的精確行波解83.1 結(jié)合輔助方程（2.1）求解BBM方程的精確行波解83.2 結(jié)合輔助方程（2.2）求解BBM方程的精確行波解123.3 結(jié)合輔助方程（2.3）求解BBM方程的精確行波解143.4 圖象模擬16第四章 小結(jié)18參考文獻(xiàn)19致謝21紅河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計）第一章 引言一個系統(tǒng)，如果輸出與輸入不成正比，則它是非線性的，在實際現(xiàn)象中，彈簧受力伸長（產(chǎn)生位移），當(dāng)位移較小時，力與位移成正比，力與位移的關(guān)系為線性關(guān)系，即Hooke定律，當(dāng)位移很大時，Hooke定律失效，彈簧變?yōu)榉蔷€性振子；又如一個介電晶體，當(dāng)輸入光強

8、不再與輸出光強成正比時，都是非線性的.眾所周知，自然科學(xué)或社會科學(xué)幾乎所有的已知系統(tǒng)，當(dāng)輸入較大時，都是非線性的.因此，非線性系統(tǒng)遠(yuǎn)比線性系統(tǒng)多得多.可以說，客觀世界本來就是非線性的，線性只是一種近似.描述這些非線性系統(tǒng)行為的方式就是非線性微分方程，非線性方程很多，如非線性常微分方程（組），非線性偏微分方程（組），函數(shù)方程與差分方程(組)等. 非線性偏微分方程是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個重要分支，無論在理論中還是在實際應(yīng)用中，非線性偏微分方程均被用來描述力學(xué)、控制過程、生態(tài)與經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)、化工循環(huán)系統(tǒng)及流行病學(xué)等領(lǐng)域的問題.利用非線性偏微分方程描述上述問題并充分考慮到空間、時間等因素的影響，因而更能準(zhǔn)確的反映

9、實際.20世紀(jì)60年代以來，非線性科學(xué)得到了飛速的發(fā)展，在非線性偏微分方程中一方面研究偏微分方程解的存在性1，精確解2，穩(wěn)定性3，唯一性4等；另一方面研究非線性偏微分方程的求解方法，探索解的不同結(jié)構(gòu)與演化規(guī)律是非線性研究中的重要內(nèi)容.在此期間專家學(xué)者在求解非線性發(fā)展方程的精確解方面做了大量而有效的工作，構(gòu)造了很多有效的求解方法，如指數(shù)展開法5-6，Jacobi橢圓函數(shù)展開法7-8，Hirota 方法9,齊次平衡法10-11，F(xiàn)展開法11-13等. 但由于非線性方程的復(fù)雜性，這些方法都只適用某些類型的方程，沒有一種方法能求解普遍的非線性偏微分方程，所以尋找更加行之有效的解法 ，成為人們關(guān)注的熱點

10、問題.本文將研究如下的非線性偏微分方程，即Benjamin- Bona-Mahony方程14（簡稱為BBM方程）.該方程由Benjamin，Bona和Mahony于1972年研究非線性水波時建立的,他們的研究結(jié)果表明KdV 方程作為流體中長波單向傳播模型方程的缺點,進(jìn)而提出了另一1第一章 引言個更合適的非線性色散介質(zhì)中長波單向傳播的模型方程（BBM方程）15.對于BBM方程的研究，據(jù)查閱文獻(xiàn)，王明亮16通過給出Lagrange密度函數(shù),由變分原理引出了BBM方程,解析地研究了該方程的孤立波解及其互相作用.尚亞東，鈕鵬程17用行波方法研究了BBM方程,求出了方程的一些精確孤立波解.黃正洪，夏莉1

11、8利用橢圓函數(shù)積分法求出了BBM方程的橢圓余弦波解等精確解.尚亞東19研究了一類廣義BBM 方程的基本守恒律.在文獻(xiàn)20，21和22的基礎(chǔ)上，我們應(yīng)用推廣的F-展開法結(jié)合三個輔助方程來求解BBM方程.接下來的內(nèi)容里，我們作如下安排，在第二章中介紹本文需要用到的三個輔助方程及輔助方程解的情況；在第三章中具體利用推廣F-展開法并結(jié)合三個輔助方程對BBM方程進(jìn)行求解，借助于數(shù)學(xué)軟件（Mathematica）對方程的部分行波解的圖像進(jìn)行模擬；最后對我們所做的工作做了小結(jié)，并提出了一些可以進(jìn)一步深入研究的方面.2紅河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計）第二章 預(yù)備知識在本章中，我們介紹一下在論文中所需要的三個輔助方

12、程20-22 ， （2.1）， （2.2）， （2.3）其中，.2.1 預(yù)備知識一文獻(xiàn)20中，當(dāng) ，取不同的值時，（2.1）具有如下解： （1）當(dāng)時，（2.1）有雙曲函數(shù)解，三角函數(shù)解和有理函數(shù)解:，,. （2.4） ，,. （2.5） ，,. （2.6）（2）當(dāng)，時，（2.1）有雙曲函數(shù)解，三角函數(shù)解和有理函數(shù)解: ，,. （2.7） ，,. （2.8） ，,. （2.9）（3）當(dāng)時，（2.1）有三種Jacobi橢圓函數(shù)：，. （2.10）3 第二章 預(yù)備知識，. （2.11） ，. （2.12）其中是Jacobi橢圓函數(shù)（2.10）、（2.11）、（2.12）的模，且Jacobi橢圓函數(shù)有

13、下面的關(guān)系：，.當(dāng)時， ，.當(dāng)時，.（4）當(dāng)時，（2.1）有雙曲函數(shù)解，三角函數(shù)周期解和有理函數(shù)解： ，. （2.13） ，. （2.14） ，. （2.15）（5）當(dāng)，時，（2.1）有Weierstrass 橢圓函數(shù)解： ，. （2.16）（6）當(dāng)時，（2.1）具有如下解： ，. （2.17） ，. （2.18）（7）當(dāng)時，（2.1）具有如下有理函數(shù)和指數(shù)函數(shù)解：4 紅河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計） ，. （2.19） ，. （2.20）（8）當(dāng)時，（2.1）具有如下指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、雙曲函數(shù)解： ，. （2.21） ，. （2.22） ，. （2.23） ，. （2.24） ，. （2.25

14、）（9）當(dāng)，時，（2.1）具有如下形式的解： ，. （2.26） ，. （2.27） ，. （2.28）2.2 預(yù)備知識二據(jù)文獻(xiàn)21，輔助方程（2.2）式的解有以下幾種情況：（1）當(dāng)，時， . （2.29）（2）當(dāng)，時，5 第二章 預(yù)備知識 . （2.30）（3）當(dāng)，時， ，或. （2.31）（4）當(dāng)，時， ，或. （2.32）（5）當(dāng)，時，或. （2.33）（6）當(dāng)，時，或. （2.34）（7）當(dāng)，時，. （2.36）（8）當(dāng)，時，. （2.37）（9）當(dāng)，時，. （2.38）2.3 預(yù)備知識三據(jù)文獻(xiàn)22，輔助方程（2.3）的精確行波解有如下五種情況：（1）當(dāng)，時， . （2.39）（2）當(dāng)

15、，時， . （2.40）（3）當(dāng)，時，6 紅河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計）. （2.41）（4）當(dāng)，時，. （2.42）（5）當(dāng)時， . （2.43）7第三章 BBM方程的精確行波解第三章 BBM方程的精確行波解3.1 結(jié)合輔助方程（2.1）求解BBM方程的精確行波解考慮如下BBM方程 ， （3.1）其中，為任意常數(shù).引入行波變換，令，則方程（3.1）可以轉(zhuǎn)換為 ， （3.2)其中，為常數(shù)，表示行波的波速.假設(shè)（3.2）的解為， （3.3）其中，且滿足如下的輔助方程 ， （3.4）其中和都為待定的正整數(shù).根據(jù)齊次平衡法，平衡（3.2）中最高階非線性項與最高階線性項，得.取定不同的，由上式即可確定相

16、應(yīng)的取值.結(jié)合預(yù)備知識一，特別地取，相應(yīng)地，則（3.3）可化為 ， （3.5）（3.4）可化為. （3.6）把（3.5）和（3.6）代入（3.2），將（3.2）轉(zhuǎn)化為關(guān)于的多項式，令的各次冪系數(shù)為零，得到如下的方程組：8紅河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計） （3.7）求解（3.7），得到如下三組解： （3.8） （3.9） （3.10）（1）把（3.8）代入（3.5）得 . （3.11）根據(jù)（3.8）和（3.11），為得到BBM方程（3.1）的非常數(shù)解，輔助方程（2.1）的參數(shù)須滿足如下：，為任意非零常數(shù).由，可知，.由（2.28）可知，方程（3.1）有如下精確行波解： ， （3.12）其中.（2）把

17、（3.9）代入（3.5）得9第三章 BBM方程的精確行波解. （3.13）根據(jù)（3.9）和（3.12），為得到（3.1）的非常數(shù)解，輔助方程（2.1）的參數(shù)滿足如下：，為任意非零常數(shù)，為任意常數(shù).由（2.4）、（2.5）、（2.6）可知，方程（3.1）有如下雙曲函數(shù)解，三角函數(shù)和有理數(shù)解：, （3.14）其中,., （3.15）其中,., （3.16）其中,.根據(jù)（3.9）和（3.13），為得到（3.1）的非常數(shù)解，輔助方程（2.1）的參數(shù)滿足如下：，為任意非零常數(shù)，為任意常數(shù).由（2.7）、（2.8）、（2.9）可知，方程（3.1）有如下雙曲函數(shù)解，三角函數(shù)和有理函數(shù)解： ， （3.17）其

18、中，.， （3.18）其中，.， （3.19）其中 ，.根據(jù)（3.9）和（3.13），為得到（3.1）的非常數(shù)解，輔助方程（2.1）的參數(shù)滿足如下：10紅河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計），為任意非零常數(shù).由（2.10）、（2.11）、（2.12）可知，方程（3.1）具有三種Jacobi橢圓函數(shù)解： ， （3.20）其中，. ， （3.21） 其中，. ， （3.22）其中，. 當(dāng)時，（3.20）退化為雙曲函數(shù)解（3.14），（3.21）退化為雙曲函數(shù)解（3.17）.當(dāng)時，（3.20）和（3.22）退化為常數(shù)解，（3.21）退化為，. （3.23）（3）把（3.10）代入（3.5）得 . （3.24）

19、根據(jù)（3.10）和（3.24），為得到（3.1）的非常數(shù)解，輔助方程（2.1）的參數(shù)滿足如下：，為任意非零常數(shù)，為任意常數(shù).由（2.13）、（2.14）、（2.15）可知，方程（3.1）具有如下解：，. （3.25），. （3.26）. （3.27）11第三章 BBM方程的精確行波解根據(jù)（3.10）和（3.24），為得到（3.1）的非常數(shù)解，輔助方程（2.1）的參數(shù)滿足如下：，為任意非零常數(shù)，為任意常數(shù).由（2.16）可知，方程（3.1）具有Weierstrass橢圓函數(shù)解， （3.28）其中，. 3.2結(jié)合輔助方程（2.2）求解BBM方程的精確行波解假設(shè)（3.2）的解為 ， （3.29）其中

20、，且滿足如下的輔助方程， （3.30）其中的和都為正整數(shù).根據(jù)齊次平衡法，平衡（3.2）中最高階非線性項與最高階線性項，得.取定不同的，由上式即可確定相應(yīng)的取值.結(jié)合預(yù)備知識二，特別地取，相應(yīng)地，則（3.29）可化為， （3.31）（3.30）式可化為. （3.32）把（3.31）和（3.32）代入（3.2），將（3.2）轉(zhuǎn)化為關(guān)于的多項式，令的各次冪系數(shù)為零，得到如下的方程組： （3.33）12紅河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計）求解（3.33），得到如下解： （3.34） 把（3.34）代入（3.31）得 .（3.35）結(jié)合（3.34）、（3.35）和（2.29）-（2.38）可知，方程（3.1）

21、具有如下的精確解：（1）當(dāng)，時，. （3.36）（2）當(dāng)，時， . （3.37）（3）當(dāng)，時， ， （3.38）. （3.39）（4）當(dāng)，時， （3.40）. （3.41）（5）當(dāng)，時， （3.42）. （3.43） （6）當(dāng)，時， （3.44）. （3.45）13第三章 BBM方程的精確行波解（7）當(dāng)，時， . （3.46）（8）當(dāng)，時，. （3.47）（9）當(dāng)，時，. （3.48）3.3 結(jié)合輔助方程（2.3）求解BBM方程的精確行波解假設(shè)（3.2）的解為 ， （3.49）其中，且滿足如下的輔助方程. （3.50）其中和都為待定的正整數(shù).根據(jù)齊次平衡法，平衡（3.2）中最高階非線性項與最高

22、階線性項，得.取定不同的，由上式即可確定相應(yīng)的取值.結(jié)合預(yù)備知識三，特別地取，相應(yīng)地，考慮到計算時的方便，取，則（3.49）式化為 ， （3.51）（3.50）可化為. （3.52）把（3.51）和（3.52）代入（3.2），將（3.2）轉(zhuǎn)化為關(guān)于的多項式，令的各次冪系數(shù)為零，得到如下的方程組14紅河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計） （3.53）求解（3.51），得到如下解： （3.54）把（3.54）代入（3.2）得. （3.55）結(jié)合（3.54）、（3.55）和（2.39）-（2.43）可知，方程（3.1）具有如下的精確解：（1）當(dāng)，時， （3.56）其中.（2）當(dāng)，時，. （3.57）（3）當(dāng)，

23、時，. （3.58）（4）當(dāng)，時，. （3.59）（5）當(dāng)時， （3.60）其中.15第三章 BBM方程的精確行波解3.4 圖象模擬為理解這些精確行波解的函數(shù)性質(zhì)，我們選取部分精確解（，），利用數(shù)學(xué)軟件（Mathematica）對它們進(jìn)行了圖像的模擬.在圖像模擬的過程中，我們選取如下參數(shù)的取值:圖3-1 中的參數(shù)取為，,.圖3-2到圖3-4中的參取為，.在圖3-5至圖3-8中的參數(shù)取為，.圖3-9中的參數(shù)取為，.圖3-10中取參數(shù)為，. 圖3-1 的三維波形圖 圖3-2 的三維波形圖 圖3-4 的三維波形圖 圖3-4 的三維波形圖16紅河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計） 圖3-5的三維波形圖 圖3-6

24、的三維波形圖 圖3-7 的三維波形圖 圖3-8的三維波形圖 圖3-10的三維波形圖 圖2-11 的三維波形圖17第四章 小結(jié)第四章 小結(jié)本文利用推廣的F展開法，并結(jié)合以下的三個輔助方程，,得到了BBM方程的33個解.其中有11個雙曲函數(shù)解，11個三角函數(shù)解，6個有理數(shù)解，3個Jacobi橢圓函數(shù)解，1個指數(shù)函數(shù)解，1個Weierstrass 橢圓函數(shù)解.通過對部分精確行波解所進(jìn)行的圖像模擬，以便于我們進(jìn)一步了解這些行波解的函數(shù)性質(zhì).在本文中，我們認(rèn)為可在以下方面進(jìn)行擴(kuò)展：（1）擴(kuò)展方程所設(shè)的解（3.2）為.（2）輔助方程（2.1），（2.2），（2.3）進(jìn)一步擴(kuò)展為，其中，其中，其中，.據(jù)查文

25、獻(xiàn)，上述輔助方程的研究結(jié)果較少，因此，這是一個值得繼續(xù)深入研究的問題.由文中的求解過程不難發(fā)現(xiàn)，輔助方程的形式在求解過程中至關(guān)重要.因此，我們打算把其它方法（如指數(shù)函數(shù)法，方法）等用于考上述輔助方程的擴(kuò)展形式上，期望得到它們的更多解，以進(jìn)一步豐富F展開法的內(nèi)容.18紅河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計）參考文獻(xiàn)1 王廣西,許又軍.一類P-Laplace方程正解的存在性J.數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用2007, 27(3):65-69.2 李志斌，姚若俠.非線性耦合微分方程組的精確解析解J.物理學(xué)報，2001，50(11):2062-2066.3 從福仲,李通.廣義Hamilton系統(tǒng)的有效穩(wěn)定性J.中國科學(xué):A輯，2

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