（整理版）圓錐曲線的綜合問題(理)

1、8-7圓錐曲線的綜合問題(理)根底穩(wěn)固強(qiáng)化1.(·濰坊教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè))橢圓1的離心率為e，點(diǎn)(1，e)是圓x2y24x4y40的一條弦的中點(diǎn)，那么此弦所在直線的方程是()a3x2y40b4x6y70c3x2y20 d4x6y10答案b解析依題意得e，圓心坐標(biāo)為(2,2)，圓心(2,2)與點(diǎn)(1，)的連線的斜率為，那么所求直線的斜率等于，所以所求直線方程是y(x1)，即4x6y70，選b.y22px(p>0)，過其焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于a、b兩點(diǎn)，假設(shè)線段ab的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，那么該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()ax1 bx1cx2 dx2答案b解析令a(x1，y1)，b(x2，

2、y2)，因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)f(，0)，所以過焦點(diǎn)且斜率為1的直線方程為yx，即xy，將其代入y22px2p(y)2pyp2，所以y22pyp20，所以p2，所以拋物線的方程為y24x，準(zhǔn)線方程為x1，應(yīng)選b.x21的左頂點(diǎn)為a1，右焦點(diǎn)為f2，p為雙曲線右支上一點(diǎn)，那么·的最小值為()a2 bc1 d0答案a解析由得a1(1,0)，f2(2,0)設(shè)p(x，y)(x1)，那么·(1x，y)·(2x，y)4x2xf(x)4x2x5，那么f(x)在x1上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)f(x)取最小值，即·取最小值，最小值為2.4(·大綱全國(guó)理，10)拋物

3、線c：y24x的焦點(diǎn)為f，直線y2x4與c交于a、b兩點(diǎn)，那么cosafb()a. b.c d答案d解析方法一：聯(lián)立解得或不妨設(shè)a在x軸上方，a(4,4)，b(1，2)，f點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，(3,4)，(0，2)，cosafb.方法二：同上求得a(4,4)，b(1，2)，|ab|3，|af|5，|bf|2，由余弦定理知，cosafb.5設(shè)f是拋物線c1：y22px(p>0)的焦點(diǎn)，點(diǎn)a是拋物線c1與雙曲線c2：1(a>0，b>0)的一條漸近線的一個(gè)公共點(diǎn)，且afx軸，那么雙曲線的離心率為()a2 b.c. d.答案d解析由題意可知，拋物線c1的焦點(diǎn)為f(，0)，因?yàn)閍fx軸

4、，那么a(，±p)，不妨取a(，p)，那么雙曲線c2的漸近線的斜率為，2，4，e25，e.6(·海南一模)假設(shè)ab是過橢圓1(a>b>0)中心的一條弦，m是橢圓上任意一點(diǎn)，且am、bm與兩坐標(biāo)軸均不平行，kam、kbm分別表示直線am、bm的斜率，那么kam·kbm()a bc d答案b解析解法一(直接法)：設(shè)a(x1，y1)，m(x0，y0)，那么b(x1，y1)，kam·kbm·.解法二(特殊值法)：因?yàn)樗膫€(gè)選項(xiàng)為確定值，取a(a,0)，b(a,0)，m(0，b)，可得kam·kbm.7(·安徽文，14)過拋

5、物線y24x的焦點(diǎn)f的直線交該拋物線于a、b兩點(diǎn)假設(shè)|af|3，那么|bf|_.答案解析此題考查拋物線定義、直線與拋物線的位置關(guān)系解法1：設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，由|af|3及拋物線定義可知x113，x12，a(2,2)，那么直線af斜率為k2，所以ab方程為y2(x1)，由聯(lián)立消去y得，2x25x20，解之得x12，x2，b(，)，所以|bf|x211.解法2：如圖，l為拋物線的準(zhǔn)線，aa1l于a1，bb1l于b1，bmaa1于m，交fo于n，那么由bfnbam得，|bf|.8設(shè)直線l：y2x2，假設(shè)l與橢圓x21的交點(diǎn)為a、b，點(diǎn)p為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，那么使pab的面積為1的點(diǎn)p

6、的個(gè)數(shù)為_答案3解析設(shè)與l平行且與橢圓相切的直線方程為y2xb，代入x21中消去y得，8x24bxb240，由16b232(b24)0得，b±2，顯見y2x2與兩軸交點(diǎn)為橢圓的兩頂點(diǎn)a(1,0)，b(0,2)，直線y2x2與l距離d，欲使sabp|ab|·hh1，須使h，dh，直線y2x2與橢圓切點(diǎn)，及y2x42與橢圓交點(diǎn)均滿足，這樣的點(diǎn)p有3個(gè)9f是橢圓1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)，假設(shè)橢圓上存在點(diǎn)p，使得直線pf與圓x2y2b2相切，當(dāng)直線pf的傾斜角為時(shí)，此橢圓的離心率是_答案解析解法1：設(shè)直線pf與圓x2y2b2的切點(diǎn)為m，那么依題意得ommf，直線pf

7、的傾斜角為，ofp，sin，橢圓的離心率e.解法2：依題意可知pf：y(xc)(c)，又o到pf的距離為b，即b，b2a2c2，4a27c2，e.10(·昆明一中測(cè)試)過拋物線c：x22py(p>0)的焦點(diǎn)f作直線l與拋物線c交于a、b兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)a的縱坐標(biāo)為1時(shí)，|af|2.(1)求拋物線c的方程；(2)假設(shè)直線l的斜率為2，問拋物線c上是否存在一點(diǎn)m，使得mamb，并說明理由解析(1)由拋物線的定義得|af|等于點(diǎn)a到準(zhǔn)線y的距離，12，p2，拋物線c的方程為x24y.(2)拋物線c的焦點(diǎn)為f(0,1)，直線l的方程y2x1，設(shè)點(diǎn)a、b、m的坐標(biāo)分別為(x1，)、(x2，)、

8、(x0，)，由方程組消去y得，x24(2x1)，即x28x40，由韋達(dá)定理得x1x28，x1x24.mamb，·0，(x1x0)(x2x0)()()0，(x1x0)(x2x0)(x1x0)(x2x0)(x1x0)(x2x0)0.m不與a，b重合，(x1x0)(x2x0)0，1(x1x0)(x2x0)0，x1x2(x1x2)x0x160，x8x0120，6448>0.方程x8x0120有解，即拋物線c上存在一點(diǎn)m，使得mamb.能力拓展提升11.(·新課標(biāo)全國(guó)文，9)直線l過拋物線c的焦點(diǎn)，且與c的對(duì)稱軸垂直，l與c交于a、b兩點(diǎn)，|ab|12，p為c的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，那么

9、abp的面積為()a18 b24c36 d48答案c解析設(shè)拋物線為y22px，那么焦點(diǎn)f，準(zhǔn)線x，由|ab|2p12，知p6，所以f到準(zhǔn)線距離為6，所以三角形面積為s×12×636.12雙曲線1(a>0，b>0)的左右焦點(diǎn)分別為f1、f2，p為右支上一點(diǎn)，點(diǎn)q滿足1(1>0)且|2a，2，·0，那么|ot|的值為()a4a b2aca d.答案c解析由題知q、f1、p三點(diǎn)共線，f2、t、q三點(diǎn)共線|pf1|pf2|2a|f1q|，|pq|pf2|，又ptqf2，t為等腰三角形qpf2底邊qf2的中點(diǎn)，連接ot，那么ot為f1qf2的中位線，所以|

10、ot|a.13(·海南五校聯(lián)考)拋物線x24y的焦點(diǎn)為f，準(zhǔn)線與y軸的交點(diǎn)為m，n為拋物線上的一點(diǎn)，且|nf|mn|，那么nmf_.答案30°解析作nh垂直于準(zhǔn)線于h，由拋物線的定義得|nh|nf|，sinhmn，得hmn60°，nmf90°60°30°.14(·山東蒼山縣期末)圓c：x2y26x4y80，以圓c與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別作為雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)和頂點(diǎn)，那么適合上述條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_答案1解析在c方程中，令x0得y24y80無解，令y0得x26x80，x2或4，故雙曲線方程中a2，c4，b2c2a212，雙曲線的

11、標(biāo)準(zhǔn)方程為1.15(·安徽模擬)點(diǎn)a、b分別為橢圓1長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，點(diǎn)f是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)p在橢圓上，且位于x軸上方，papf.(1)求點(diǎn)p的坐標(biāo)；(2)設(shè)m是橢圓長(zhǎng)軸ab上的一點(diǎn)，m到直線ap的距離等于|mb|，求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)m的距離d的最小值解析(1)由可得點(diǎn)a(6,0)，f(4,0)，設(shè)點(diǎn)p的坐標(biāo)是(x，y)，那么(x6，y)，(x4，y)由得消去y得，2x29x180，x或x6，由于y>0，只能x，于是y，所以點(diǎn)p的坐標(biāo)是(，)(2)直線ap的方程是xy60.設(shè)點(diǎn)m的坐標(biāo)是(m,0)，那么m到直線ap的距離是，于是|m6|，又6m6，解得m2.橢圓上的點(diǎn)(x，y)到

12、點(diǎn)m的距離是d，d2(x2)2y2x24x420x2(x)215，由于6x6，所以當(dāng)x時(shí)d取最小值.dem中，(0，8)，n在y軸上，且()，點(diǎn)e在x軸上移動(dòng)(1)求點(diǎn)m的軌跡方程；(2)過點(diǎn)f(0,1)作互相垂直的兩條直線l1、l2，l1與點(diǎn)m的軌跡交于點(diǎn)a、b，l2與點(diǎn)m的軌跡交于點(diǎn)c、q，求·的最小值解析(1)設(shè)m(x，y)，e(a,0)，由條件知d(0，8)，n在y軸上且n為em的中點(diǎn)，xa，·(a，8)·(xa，y)a(xa)8y2x28y0，x24y(x0)，點(diǎn)m的軌跡方程為x24y(x0)(2)設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，c(x3，y3)，

13、q(x4，y4)，直線l1：ykx1(k0)，那么直線l2：yx1，由消去y得，x24kx40，x1x24k，x1x24，由消去y得，x2x40，x3x4，x3x44.a、b在直線l1上，y1kx11，y2kx21，c、q在直線l2上，y3x31，y4x41.·(x3x1，y3y1)·(x2x4，y2y4)(x3x1)(x2x4)(y3y1)·(y2y4)(x3x1)(x2x4)(x3kx1)(kx2x4)x3x2x1x2x3x4x1x4x2x3k2x1x2x3x4x1x4(1k2)x1x2(1)x3x44(1k2)4(1)84(k2)16等號(hào)在k2時(shí)取得，即k&

14、#177;1時(shí)成立·的最小值為16.c：y2x2，點(diǎn)a(0，2)及點(diǎn)b(3，a)，從點(diǎn)a觀察點(diǎn)b，要使視線不被曲線c擋住，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是()a(4，) b(，4c(10，) d(，10答案d解析過點(diǎn)a(0，2)作曲線c：y2x2的切線，設(shè)方程為ykx2，代入y2x2得，2x2kx20，令k2160得k±4，當(dāng)k4時(shí)，切線為l，b點(diǎn)在直線x3上運(yùn)動(dòng)，直線y4x2與x3的交點(diǎn)為m(3,10)，當(dāng)點(diǎn)b(3，a)滿足a10時(shí)，視線不被曲線c擋住，應(yīng)選d.2.(·海南五校聯(lián)考)如圖，正六邊形abcdef的兩個(gè)頂點(diǎn)a、d為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，其余4個(gè)頂點(diǎn)都在雙曲線上，那

15、么該雙曲線的離心率是()a.1 b.1c. d.答案a解析設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為1，那么ae，ed1，ad2，2aaeed1,2cad2，e1.3橢圓1(a>b>0)、雙曲線1和拋物線y22px(p>0)的離心率分別為e1、e2、e3，那么()ae1e2>e3 be1e2e3ce1e2<e3 de1e2e3答案c解析對(duì)于橢圓c，e1，對(duì)于雙曲線c，e2，e1e2，a>b>0，0<4<1，e1e2<1e3.4以f1(2,0)、f2(2,0)為焦點(diǎn)的橢圓與直線xy40有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，那么橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為()a3 b2c2 d4答案c解析根據(jù)

16、題意設(shè)橢圓方程為1(b>0)，那么將xy4代入橢圓方程得，4(b21)y28b2yb412b20，橢圓與直線xy40有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，(8b2)24×4(b21)(b412b2)0，即(b24)(b23)0，b23，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為22，應(yīng)選c.5雙曲線1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為f，假設(shè)過點(diǎn)f且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，那么此雙曲線離心率的取值范圍是()a(1,2 b(1,2)c2，) d(2，)答案c解析漸近線l1：yx與過焦點(diǎn)f的直線l平行，或漸近線l1從該位置繞原點(diǎn)按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，直線l與雙曲線的右支交于一個(gè)點(diǎn)，即c2a2b24a2，e2，應(yīng)選c.6橢圓c：y21(a>1)的上頂點(diǎn)為a，左、右焦點(diǎn)為f1、f2，直線af2與圓m：x2y26x2y70相切(1)求橢圓c的方程；(2)假設(shè)橢圓內(nèi)存在動(dòng)點(diǎn)p，使|pf1|、|po|、|pf2|成等比數(shù)列(o為坐標(biāo)原點(diǎn))，求·的取值范圍解析(1)圓m：x2y26x2y70化為(x3)2(y1)23