（整理版）圓錐曲線的綜合問題(理)

1、8-7圓錐曲線的綜合問題(理)根底穩(wěn)固強化1.(·濰坊教學質(zhì)量監(jiān)測)橢圓1的離心率為e，點(1，e)是圓x2y24x4y40的一條弦的中點，那么此弦所在直線的方程是()a3x2y40b4x6y70c3x2y20 d4x6y10答案b解析依題意得e，圓心坐標為(2,2)，圓心(2,2)與點(1，)的連線的斜率為，那么所求直線的斜率等于，所以所求直線方程是y(x1)，即4x6y70，選b.y22px(p>0)，過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于a、b兩點，假設線段ab的中點的縱坐標為2，那么該拋物線的標準方程為()ax1 bx1cx2 dx2答案b解析令a(x1，y1)，b(x2，

2、y2)，因為拋物線的焦點f(，0)，所以過焦點且斜率為1的直線方程為yx，即xy，將其代入y22px2p(y)2pyp2，所以y22pyp20，所以p2，所以拋物線的方程為y24x，準線方程為x1，應選b.x21的左頂點為a1，右焦點為f2，p為雙曲線右支上一點，那么·的最小值為()a2 bc1 d0答案a解析由得a1(1,0)，f2(2,0)設p(x，y)(x1)，那么·(1x，y)·(2x，y)4x2xf(x)4x2x5，那么f(x)在x1上單調(diào)遞增，所以當x1時，函數(shù)f(x)取最小值，即·取最小值，最小值為2.4(·大綱全國理，10)拋物

3、線c：y24x的焦點為f，直線y2x4與c交于a、b兩點，那么cosafb()a. b.c d答案d解析方法一：聯(lián)立解得或不妨設a在x軸上方，a(4,4)，b(1，2)，f點坐標為(1,0)，(3,4)，(0，2)，cosafb.方法二：同上求得a(4,4)，b(1，2)，|ab|3，|af|5，|bf|2，由余弦定理知，cosafb.5設f是拋物線c1：y22px(p>0)的焦點，點a是拋物線c1與雙曲線c2：1(a>0，b>0)的一條漸近線的一個公共點，且afx軸，那么雙曲線的離心率為()a2 b.c. d.答案d解析由題意可知，拋物線c1的焦點為f(，0)，因為afx軸

4、，那么a(，±p)，不妨取a(，p)，那么雙曲線c2的漸近線的斜率為，2，4，e25，e.6(·海南一模)假設ab是過橢圓1(a>b>0)中心的一條弦，m是橢圓上任意一點，且am、bm與兩坐標軸均不平行，kam、kbm分別表示直線am、bm的斜率，那么kam·kbm()a bc d答案b解析解法一(直接法)：設a(x1，y1)，m(x0，y0)，那么b(x1，y1)，kam·kbm·.解法二(特殊值法)：因為四個選項為確定值，取a(a,0)，b(a,0)，m(0，b)，可得kam·kbm.7(·安徽文，14)過拋

5、物線y24x的焦點f的直線交該拋物線于a、b兩點假設|af|3，那么|bf|_.答案解析此題考查拋物線定義、直線與拋物線的位置關系解法1：設a(x1，y1)，b(x2，y2)，由|af|3及拋物線定義可知x113，x12，a(2,2)，那么直線af斜率為k2，所以ab方程為y2(x1)，由聯(lián)立消去y得，2x25x20，解之得x12，x2，b(，)，所以|bf|x211.解法2：如圖，l為拋物線的準線，aa1l于a1，bb1l于b1，bmaa1于m，交fo于n，那么由bfnbam得，|bf|.8設直線l：y2x2，假設l與橢圓x21的交點為a、b，點p為橢圓上的動點，那么使pab的面積為1的點p

6、的個數(shù)為_答案3解析設與l平行且與橢圓相切的直線方程為y2xb，代入x21中消去y得，8x24bxb240，由16b232(b24)0得，b±2，顯見y2x2與兩軸交點為橢圓的兩頂點a(1,0)，b(0,2)，直線y2x2與l距離d，欲使sabp|ab|·hh1，須使h，dh，直線y2x2與橢圓切點，及y2x42與橢圓交點均滿足，這樣的點p有3個9f是橢圓1(a>0，b>0)的左焦點，假設橢圓上存在點p，使得直線pf與圓x2y2b2相切，當直線pf的傾斜角為時，此橢圓的離心率是_答案解析解法1：設直線pf與圓x2y2b2的切點為m，那么依題意得ommf，直線pf

7、的傾斜角為，ofp，sin，橢圓的離心率e.解法2：依題意可知pf：y(xc)(c)，又o到pf的距離為b，即b，b2a2c2，4a27c2，e.10(·昆明一中測試)過拋物線c：x22py(p>0)的焦點f作直線l與拋物線c交于a、b兩點，當點a的縱坐標為1時，|af|2.(1)求拋物線c的方程；(2)假設直線l的斜率為2，問拋物線c上是否存在一點m，使得mamb，并說明理由解析(1)由拋物線的定義得|af|等于點a到準線y的距離，12，p2，拋物線c的方程為x24y.(2)拋物線c的焦點為f(0,1)，直線l的方程y2x1，設點a、b、m的坐標分別為(x1，)、(x2，)、

8、(x0，)，由方程組消去y得，x24(2x1)，即x28x40，由韋達定理得x1x28，x1x24.mamb，·0，(x1x0)(x2x0)()()0，(x1x0)(x2x0)(x1x0)(x2x0)(x1x0)(x2x0)0.m不與a，b重合，(x1x0)(x2x0)0，1(x1x0)(x2x0)0，x1x2(x1x2)x0x160，x8x0120，6448>0.方程x8x0120有解，即拋物線c上存在一點m，使得mamb.能力拓展提升11.(·新課標全國文，9)直線l過拋物線c的焦點，且與c的對稱軸垂直，l與c交于a、b兩點，|ab|12，p為c的準線上一點，那么

9、abp的面積為()a18 b24c36 d48答案c解析設拋物線為y22px，那么焦點f，準線x，由|ab|2p12，知p6，所以f到準線距離為6，所以三角形面積為s×12×636.12雙曲線1(a>0，b>0)的左右焦點分別為f1、f2，p為右支上一點，點q滿足1(1>0)且|2a，2，·0，那么|ot|的值為()a4a b2aca d.答案c解析由題知q、f1、p三點共線，f2、t、q三點共線|pf1|pf2|2a|f1q|，|pq|pf2|，又ptqf2，t為等腰三角形qpf2底邊qf2的中點，連接ot，那么ot為f1qf2的中位線，所以|

10、ot|a.13(·海南五校聯(lián)考)拋物線x24y的焦點為f，準線與y軸的交點為m，n為拋物線上的一點，且|nf|mn|，那么nmf_.答案30°解析作nh垂直于準線于h，由拋物線的定義得|nh|nf|，sinhmn，得hmn60°，nmf90°60°30°.14(·山東蒼山縣期末)圓c：x2y26x4y80，以圓c與坐標軸的交點分別作為雙曲線的一個焦點和頂點，那么適合上述條件的雙曲線的標準方程為_答案1解析在c方程中，令x0得y24y80無解，令y0得x26x80，x2或4，故雙曲線方程中a2，c4，b2c2a212，雙曲線的

11、標準方程為1.15(·安徽模擬)點a、b分別為橢圓1長軸的左、右端點，點f是橢圓的右焦點，點p在橢圓上，且位于x軸上方，papf.(1)求點p的坐標；(2)設m是橢圓長軸ab上的一點，m到直線ap的距離等于|mb|，求橢圓上的點到點m的距離d的最小值解析(1)由可得點a(6,0)，f(4,0)，設點p的坐標是(x，y)，那么(x6，y)，(x4，y)由得消去y得，2x29x180，x或x6，由于y>0，只能x，于是y，所以點p的坐標是(，)(2)直線ap的方程是xy60.設點m的坐標是(m,0)，那么m到直線ap的距離是，于是|m6|，又6m6，解得m2.橢圓上的點(x，y)到

12、點m的距離是d，d2(x2)2y2x24x420x2(x)215，由于6x6，所以當x時d取最小值.dem中，(0，8)，n在y軸上，且()，點e在x軸上移動(1)求點m的軌跡方程；(2)過點f(0,1)作互相垂直的兩條直線l1、l2，l1與點m的軌跡交于點a、b，l2與點m的軌跡交于點c、q，求·的最小值解析(1)設m(x，y)，e(a,0)，由條件知d(0，8)，n在y軸上且n為em的中點，xa，·(a，8)·(xa，y)a(xa)8y2x28y0，x24y(x0)，點m的軌跡方程為x24y(x0)(2)設a(x1，y1)，b(x2，y2)，c(x3，y3)，

13、q(x4，y4)，直線l1：ykx1(k0)，那么直線l2：yx1，由消去y得，x24kx40，x1x24k，x1x24，由消去y得，x2x40，x3x4，x3x44.a、b在直線l1上，y1kx11，y2kx21，c、q在直線l2上，y3x31，y4x41.·(x3x1，y3y1)·(x2x4，y2y4)(x3x1)(x2x4)(y3y1)·(y2y4)(x3x1)(x2x4)(x3kx1)(kx2x4)x3x2x1x2x3x4x1x4x2x3k2x1x2x3x4x1x4(1k2)x1x2(1)x3x44(1k2)4(1)84(k2)16等號在k2時取得，即k&

14、#177;1時成立·的最小值為16.c：y2x2，點a(0，2)及點b(3，a)，從點a觀察點b，要使視線不被曲線c擋住，那么實數(shù)a的取值范圍是()a(4，) b(，4c(10，) d(，10答案d解析過點a(0，2)作曲線c：y2x2的切線，設方程為ykx2，代入y2x2得，2x2kx20，令k2160得k±4，當k4時，切線為l，b點在直線x3上運動，直線y4x2與x3的交點為m(3,10)，當點b(3，a)滿足a10時，視線不被曲線c擋住，應選d.2.(·海南五校聯(lián)考)如圖，正六邊形abcdef的兩個頂點a、d為雙曲線的兩個焦點，其余4個頂點都在雙曲線上，那

15、么該雙曲線的離心率是()a.1 b.1c. d.答案a解析設正六邊形的邊長為1，那么ae，ed1，ad2，2aaeed1,2cad2，e1.3橢圓1(a>b>0)、雙曲線1和拋物線y22px(p>0)的離心率分別為e1、e2、e3，那么()ae1e2>e3 be1e2e3ce1e2<e3 de1e2e3答案c解析對于橢圓c，e1，對于雙曲線c，e2，e1e2，a>b>0，0<4<1，e1e2<1e3.4以f1(2,0)、f2(2,0)為焦點的橢圓與直線xy40有且僅有一個公共點，那么橢圓的長軸長為()a3 b2c2 d4答案c解析根據(jù)

16、題意設橢圓方程為1(b>0)，那么將xy4代入橢圓方程得，4(b21)y28b2yb412b20，橢圓與直線xy40有且僅有一個公共點，(8b2)24×4(b21)(b412b2)0，即(b24)(b23)0，b23，長軸長為22，應選c.5雙曲線1(a>0，b>0)的右焦點為f，假設過點f且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，那么此雙曲線離心率的取值范圍是()a(1,2 b(1,2)c2，) d(2，)答案c解析漸近線l1：yx與過焦點f的直線l平行，或漸近線l1從該位置繞原點按逆時針旋轉(zhuǎn)時，直線l與雙曲線的右支交于一個點，即c2a2b24a2，e2，應選c.6橢圓c：y21(a>1)的上頂點為a，左、右焦點為f1、f2，直線af2與圓m：x2y26x2y70相切(1)求橢圓c的方程；(2)假設橢圓內(nèi)存在動點p，使|pf1|、|po|、|pf2|成等比數(shù)列(o為坐標原點)，求·的取值范圍解析(1)圓m：x2y26x2y70化為(x3)2(y1)23