2011年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 提能拔高限時(shí)訓(xùn)練：多面體與立體幾何的綜合問(wèn)題（練習(xí)+詳細(xì)解析）大綱人教版

1、提能拔高限時(shí)訓(xùn)練46 多面體與立體幾何的綜合問(wèn)題一、選擇題1.設(shè)球O的半徑是1,A、B、C是球面上三點(diǎn),已知A到B、C兩點(diǎn)的球面距離都是,且二面角BOAC的大小為,則從A點(diǎn)沿球面經(jīng)B、C兩點(diǎn)再回到A點(diǎn)的最短距離是( )A. B. C. D. 解析:由題意,知AOB=AOC=,BOC=,=,=,=·2=.從A點(diǎn)沿球面經(jīng)B、C兩點(diǎn)再回到A點(diǎn)的最短距離為+=.答案:C2.兩個(gè)相同的正四棱錐組成如圖(1)所示的幾何體,可放入如圖(2)所示棱長(zhǎng)為1的正方體內(nèi),使正四棱錐的底面ABCD與正方體的某一個(gè)面平行,且各頂點(diǎn)均在正方體的面上,則這樣的幾何體體積的可能值有( )A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè)

2、 D.無(wú)窮多個(gè)解析:沿正四棱錐的底面所在平面將正方體切開(kāi),截面如圖所示.可見(jiàn)在正方形內(nèi)接的正方形面積S不可能唯一.故V=·S·h×2不唯一.故選D.答案:D3.設(shè)四面體的四個(gè)面的面積分別為S1、S2、S3、S4,其中它們的最大值為S,記,則有( )A.24 B.34C.2.54.5 D.3.55.5解析:,不妨設(shè)S4=S,S1、S2、S3在S平面上的射影面積分別為S1、S2、S3,則S1S1,S2S2,S3S3,S1+S2+S3S1+S2+S3S(頂點(diǎn)在所對(duì)面上的射影落在所對(duì)面三角形的邊界或內(nèi)部時(shí)等號(hào)成立,落在外部時(shí)大于號(hào)成立).,故選A.答案:A4.棱長(zhǎng)為1的正

3、方體ABCDA1B1C1D1的8個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上,E,F分別是棱AA1,DD1的中點(diǎn),則直線EF被球O截得的線段長(zhǎng)為( )A. B.1 C.1+ D.解析:根據(jù)題中的文字?jǐn)⑹?作出其構(gòu)成的立體圖形,如圖,設(shè)直線EF交球面于M、N兩點(diǎn),則MN的長(zhǎng)即為直線EF被球O截得的線段長(zhǎng).設(shè)球O的半徑為R,由條件知2R=,R=.又球心O到直線EF的距離為,故選D.答案:D5.三棱柱底面內(nèi)的一條直線與棱柱的另一底面的三邊及三條側(cè)棱所在的6條直線中,能構(gòu)成異面直線的條數(shù)的集合是( )A.4,5 B.3,4,5 C.3,4,6 D.3,4,5,6解析:如圖所示,當(dāng)直線l分別在圖(1)、(2)、(3)、(4)

4、中所示的位置時(shí),與l異面的直線分別有3條、4條、5條、6條,故能構(gòu)成異面直線的條數(shù)的集合是3,4,5,6.故選D.答案:D6.把邊長(zhǎng)為的正方形ABCD沿對(duì)角線AC折成直二面角,折成直二面角后,在A,B,C,D四點(diǎn)所在的球面上,B與D兩點(diǎn)之間的球面距離為( )A. B. C. D.解析:設(shè)正方形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)為O,則由題意可知點(diǎn)A,B,C,D在以點(diǎn)O為球心、1為半徑的球面上,且OD平面ABC,OBOD,B與D兩點(diǎn)之間的球面距離是×1=.答案:C7.如圖,模塊均由4個(gè)棱長(zhǎng)為1的小正方體構(gòu)成,模塊由15個(gè)棱長(zhǎng)為1的小正方體構(gòu)成.現(xiàn)從模塊中選出三個(gè)放到模塊上,使得模塊成為一個(gè)棱長(zhǎng)為3

5、的大正方體.則下列選擇方案中,能夠完成任務(wù)的為( )A.模塊 B.模塊C.模塊 D.模塊解析:觀察圖形即可得必有,再知有.A成立.答案:A8.正四棱錐PABCD底面的四個(gè)頂點(diǎn)A,B,C,D在球O的同一個(gè)大圓上,點(diǎn)P在球面上,如果V PABCD=,則球O的表面積為（ ）A.2 B.162 C.16 D. 解析:正四棱錐PABCD底面的四個(gè)頂點(diǎn)A,B,C,D在球O的同一個(gè)大圓上,點(diǎn)P在球面上,PO底面ABCD,PO=R,S正方形ABCD=2R2.VPABCD=,·2R2·R=,解得R=2,故球O的表面積是16.答案:C9.如圖,體積為V的大球內(nèi)有4個(gè)小球,每個(gè)小球的球面過(guò)大球球

6、心且與大球球面有且只有一個(gè)交點(diǎn),4個(gè)小球的球心是以大球球心為中心的正方形的4個(gè)頂點(diǎn).設(shè)V1為小球相交部分(圖中陰影部分)的體積,V2為大球內(nèi)、小球外的圖中黑色部分的體積,則下列關(guān)系式中正確的是( )A.V1 B.V2 C.V1V2 D.V1V2解析:設(shè)小球半徑為r,則大球半徑為2r,從而V大球=,所以V2=V大球-4V小球+V1.所以V2-V1=.所以V1V2.答案:D二、填空題10.如圖為一幾何體的展開(kāi)圖,其中四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為6的正方形,SD=PD=6,CR=SC,AQ=AP,點(diǎn)S、D、A、Q及P、D、C、R共線,沿圖中虛線將它們折疊起來(lái),使P、Q、R、S四點(diǎn)重合,則需要個(gè)這樣的幾何體

7、,可以拼成一個(gè)棱長(zhǎng)為6的正方體.解析:如下圖,知需3個(gè).答案:311.圖甲是一個(gè)正三棱柱形的容器,高為2a,內(nèi)裝水若干.現(xiàn)將容器放倒,把一個(gè)側(cè)面作為底面,如圖乙所示,這時(shí)水面恰好為中截面,則圖甲中水面的高度為_(kāi).解析:設(shè)正三棱柱的底面積為S,將圖乙豎起得圖丙,則V水=V柱-VAEFA1E1F1=S·2a-(S)·2a=aS.設(shè)圖甲中水面的高度為x,則S·x=aS,即x=a.答案:12.多面體上,位于同一條棱兩端的頂點(diǎn)稱為相鄰的頂點(diǎn).如圖,正方體的一個(gè)頂點(diǎn)A在平面內(nèi),其余頂點(diǎn)在的同側(cè),正方體上與頂點(diǎn)A相鄰的三個(gè)頂點(diǎn)到的距離分別為1,2和4.P是正方體的其余四個(gè)頂點(diǎn)中

8、的一個(gè),則P到平面的距離可能是:3;4;5;6;7.以上結(jié)論正確的為_(kāi).(寫出所有正確的結(jié)論的編號(hào))解析:如圖,B、D、A1到平面的距離分別為1、2、4,則DA1的中點(diǎn)到平面的距離為3,所以D1到平面的距離為6;BA1的中點(diǎn)到平面的距離為,所以B1到平面的距離為5;DB的中點(diǎn)到平面的距離為,所以C到平面的距離為3;CA1的中點(diǎn)到平面的距離為,所以C1到平面的距離為7;而P為C、C1、B1、D1中的任意一點(diǎn),所以選.答案:13.在平面幾何里,有勾股定理:“設(shè)ABC的兩邊AB,AC互相垂直,則AB2+AC2=BC2.”拓展到空間,類比平面幾何定理,研究三棱錐的側(cè)面面積與底面面積的關(guān)系可以得出的正確

9、結(jié)論是:“設(shè)三棱錐ABCD的三個(gè)側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩互相垂直,則_.”解析:設(shè)AB=a,AC=b,AD=c.三個(gè)側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩垂直,AB、AC、AD兩兩垂直.SABC2+SACD2+SADB2=a2b2+a2c2+b2c2.作BEDC于點(diǎn)E,連結(jié)AE,則CDAE.在RtCAD中,AE=,在RtBAE中,BE=.SBCD=DC·BE=.SBCD2=(a2b2+b2c2+c2a2),即SBCD2=SABC2+SACD2+SADB2.答案:SABC2+SACD2+SADB2=SBCD2三、解答題14.如圖,在ABC中,B=90°,AC=,D、E兩點(diǎn)分別在

10、AB、AC上,使,DE=3,現(xiàn)將ABC沿DE折成直二面角,求:(1)異面直線AD與BC的距離;(2)二面角AECB的大小.(用反三角函數(shù)表示)解法一:(1)在圖中,因,故DEBC.又因B=90°,從而ADDE.在圖中,因ADEB是直二面角,ADDE,故AD底面DBCE,從而ADDB.而DBBC,故DB為異面直線AD與BC的公垂線.在圖中,由,得.又已知DE=3,從而B(niǎo)C=DE=.因,故DB=2.(2)在圖中,過(guò)D作DFCE,交CE的延長(zhǎng)線于F,連結(jié)AF.由(1)知,AD底面DBCE.由三垂線定理,知AFFC,故AFD為二面角ABCB的平面角.在底面DBCE中,DEF=BCE,DB=2

11、,EC=·=,因此sinBCE=.從而在RtDFE中,DE=3,DF=DEsinDEF=DEsinBCE=3·=.在RtAFD中,AD=4,tanAFD=.因此所求二面角AECB的大小為arctan.解法二:(1)同解法一.(2)如圖.由(1)知,以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)閤、y、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,則D(0,0,0),A(0,0,4),C(2,0),E(0,3,0).=(-2,0),=(0,0,-4).過(guò)D作DFCE,交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連結(jié)AF.設(shè)F(x0,y0,0),從而=(x0,y0,0),=(x0,y0-3,0).由DFCE,有=0,即2x0+y0=

12、0.又由,得. 聯(lián)立,解得即,得.因?yàn)?故AFCE.又因?yàn)镈FCE,所以DFA為所求的二面角AECB的平面角.因,有=0,故ADDF,ADF是直角三角形,因?yàn)?所以tanAFD=.因此所求二面角AECB的大小為arctan.15.如圖,在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,已知DC=DD1=2AD=2AB,ADDC,ABDC.(1)求證:D1CAC1;(2)設(shè)E是DC上一點(diǎn),試確定E的位置,使D1E平面A1BD,并說(shuō)明理由.(1)證明:在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,連結(jié)C1D,DC=DD1,四邊形DCC1D1是正方形.DC1D1C.又ADDC,ADDD1,DCDD1=D,AD平面DCC

13、1D1.又D1C平面DCC1D1,ADD1C.AD,DC1平面ADC1,且ADDC1=D,D1C平面ADC1.又AC1平面ADC1,D1CAC1.(2)解:連結(jié)AD1、AE,設(shè)AD1A1D=M,BDAE=N,連結(jié)MN.平面AD1E平面A1BD=MN,要使D1E平面A1BD,需使MND1E,又M是AD1的中點(diǎn),N是AE的中點(diǎn).又易知ABNEDN,AB=DE,即E是DC的中點(diǎn).綜上所述,當(dāng)E是DC的中點(diǎn)時(shí),可使D1E平面A1BD.教學(xué)參考例題 志鴻優(yōu)化系列叢書【例1】若三角形內(nèi)切圓的半徑為r,三邊長(zhǎng)為a、b、c,則三角形的面積S=r(a+b+c),根據(jù)類比思想,若四面體內(nèi)切球的半徑為R,四個(gè)面的面

14、積為S1、S2、S3、S4,則四面體的體積V=_.解析：由題知,以四面體內(nèi)切球的球心向四個(gè)頂點(diǎn)引直線將四面體分成四個(gè)三棱錐,它們分別以四個(gè)面為底面,內(nèi)切球半徑為高,所以V=R(S1+S2+S3+S4).答案：R(S1+S2+S3+S4)【例2】如圖,正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長(zhǎng)均為2,P是側(cè)棱AA1上任意一點(diǎn).(1)求證:B1P不可能與平面ACC1A1垂直;(2)當(dāng)BC1B1P時(shí),求線段AP的長(zhǎng);(3)在(2)的條件下,求二面角CB1PC1的大小.(1)證明:連結(jié)B1P,假設(shè)B1P平面ACC1A1,則B1PA1C1.由于三棱柱ABCA1B1C1為正三棱柱,AA1A1C1.A1C1側(cè)面ABB1A1.A1C1A1B1，即B1A1C1=90°.這與A1B1C1是等邊三角形矛盾.B1P不可能與平面ACC1A1垂直.(2)解:取A1B1的中點(diǎn)D,連結(jié)C1D、BD、BC1,則C1DA1B1.又AA1平面A1B1C1,AA1C1D.C1D平面ABB1A1.BD是BC1在平面ABB1A1上的射影.BC1B1P,BDB1P.B1BD=90°-BB1P=A1B1P.又A1B1=