（整理版）《計數原理》（理）知識點串講

1、計數原理理知識點串講一、根本計數原理1分類加法計數原理做一件事，完成它有類方法，在第一類方法中有種不同的方法，在第二類方法中有種不同的方法，在第類方法中有種不同的方法那么完成這件事共有種不同的方法2分步乘法計數原理做一件事，完成它需要分成個步驟，做第一個步驟有種不同的方法，做第二個步驟有種不同的方法，做第個步驟有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法說明：分類加法計數原理和分步乘法計數原理的共同點是把一個原始事件分解成假設干個分事件來完成兩個原理的區(qū)別在于一個與分類有關，一個與分步有關，如果完成一件事情有類方法，這類方法彼此之間是相互獨立的，無論哪一類方法中的哪一種方法都能獨立完成這件事

2、情，可類比物理中的“并聯電路來理解；如果完成一件事情需要分成個步驟，各個步驟都是相依的、不可缺少的，一個步驟只能完成事情的一局部，必須依次完成所有的步驟，才能完成這件事情，可類比物理中的“串聯電路來理解運用兩個根本原理解題時，應善于從語言的差異與變化中弄清面臨怎樣的“一件事，弄清事件之間的關系是相依還是相斥，然后按照恰當的“對象進行分類或分步，合理的設計相應的做事方式分類要做到“不重不漏，分步要做到“步驟完整這兩個原理是解決排列組合問題的理論根底二、排列與組合1排列一般地，從個不同元素中取出個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列說明：排列的定義中包括兩個根本內容

3、：一是“取出元素；二是“按照一定的順序排列只有取出的元素完全相同，并且元素排列的順序也完全相同時，才是同一個排列，元素不完全相同，或元素完全相同而順序不同的排列屬于不同排列如1，2，3與2，3，4是不同排列；1，2，3與1，3，2也是不同排列排列中元素的有序性是判斷一個具體問題是不是排列問題的標準，也是與組合問題的根本區(qū)別例如：從1，2，3，5這四個數中每次任取兩個數相加或相乘，可得到多少個不同的和積？因為加法乘法滿足交換律，它們的和積與順序無關，如3+5=5+3，因此不是排列問題如果從四個數中任取兩個數相減相除，一共有多少個不同的差商？因為減法除法不滿足交換律，取出的兩個數就與順序有關了，屬

4、于排列問題2排列數1定義：從個不同元素中取出個元素的所有排列的個數，叫做從個不同元素中取出個元素的排列數，用符號表示說明：排列和排列數是兩個不同的概念：一個排列是取出的個元素按照一定順序排成的一個具體的排列，是具體的“一件事；排列數是一個數，是所有的具體排列的數目如：從1、2、3中每次任取出兩個元素，組成一個兩位數所有的排列有12，13，23，21，31，32其中每一個數都是一個排列，而排列數是，2排列數公式：說明：規(guī)定；乘積形式多用于數字計算，階乘形式多用于證明恒等式；排列數性質：；3組合一般地，從個不同元素中，任意取出個元素并成一組，叫做從個不同元素中取出個元素的組合說明：如果兩個組合中的

5、元素完全相同，不管它們的順序如何都是相同的組合組合的定義中包含兩個根本內容：一是取出元素；二是并成一組，并成一組表示將元素合在一起與元素取出的順序無關取出的元素是否有順序，是區(qū)分排列和組合的根本依據4組合數1定義：從個不同元素中，任意取出個元素的所有的組合的個數，叫做從個不同元素中取出個元素的組合數，用符號表示2組合數公式，5組合數的性質性質1：；性質說明：性質1突出了從個不同元素中取出個元素與從個不同元素中取出個元素是一一對應關系，當時，不計算而改為計算性質2中注意它的變形公式的應用，如，等6解排列組合問題的方法1先要判斷是組合問題還是排列問題，按照元素的性質分類，按照事件的發(fā)生過程分步，不

6、重不漏借助樹形圖，框圖等形的工具直觀幫助解題總體上有三種方法：直接法先安排特殊元素和特殊位置，間接法正難那么反，分類討論法2排列組合問題的16字方針，12個技巧方針是：分類相加、分步相乘、有序排列、無序組合；技巧是：相鄰問題捆綁法莫忘松綁，不相鄰問題插空法，多排問題直排法，定序問題可能法，定位問題優(yōu)先法，有序分配問題先整體后局局部步法，多元問題分類法，構造模型處理法，至少、至多問題間接法，選排問題先選后排法，局部與整體問題排除法，復雜問題轉化法3分組問題的求法：設有個元素，平均分成組，每組個，那么有種分法；平均分成組，再分配到個位置，有種分法假設不平均分組或不平均分組再分配，如：6個元素分成3

7、組，一組1個，二組2個，三組3個，那么有；假設再將這3組分配給3個位置，那么有種分法三、二項式定理1二項展開式在中，右邊的多項式叫做的二項展開式，其中各項的系數叫做二項式系數式中的叫做二項展開式的通項，用表示，即通項為展開式的第項；，此公式稱為二項展開式的通項公式說明：其右端展開式共有項通項公式表示的是第項與的位置不能互換，對于任意實數與，上面的等式恒成立二項式系數指，二項展開式的系數與前面的系數有關2楊輝三角楊輝三角是我國古代數學的研究成果，它給我們提供了一種研究問題的數學模型，從不同的角度觀察研究模型，就可以得到二項式系數的性質：一是對稱性，結合公式 理解；二是增減性與最大值，如果二項式的冪指數是偶數，中間一項的二項式系數最大，最大為；如果二項式的冪指數是奇數，中間兩項的二項式系數相等并且最大，最大為；三是各項的二項式系數的和等于，即，它說明集合含有個元素，那么它的所有的子集包括空集的個數為個另外，二項展開式中，偶數項的二項式系數的和等于奇數項的二項式系數的和，即3二項展開式的應用1利用通項公式求指定項、特征項常數項，有理項等或特征項的系數2近似計算，當與1相比擬很小且不大時，常用近似公式，使用公式時要注意的條件以及對計算精確度的要求3整除性問題與求余數問題，對被除式進行合理的變形，把它寫成恰當的二項式的形式，使其展開后的每一項含有除式的因式或只有一、二項不能整除4求展開式的