數(shù)列求和7種方法方法全例子多

1、1、一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法n（a1 an）等差數(shù)列求和公式:Snna1n(n 1)d2、等比數(shù)列求和公式:Snna1 a1(1(q 1)3、Sn2n(n1)5、Snnk3k 11尹n1)2例1已知log3 xlog2 3，求解：由log3 xlog2 3由等比數(shù)列求和公式得a.q(q1)4、Snnk21気 1)(2n61)x2x3的前n項和.log3 xlog3 2Snx x2x3（利用常用公式）例 2設(shè) Sn= 1+2+3+ +n, n N*,求 f(n)解:由等差數(shù)列求和公式得 SnSnf(n) (n 32) Sn 1n 341 64

2、In 命，即題1.等比數(shù)列的前n項和x(1 Xn)1 xid11Sn(n 32)Sn 10 1)，2n 34n 64(n2 50的最大值.Sn50n= 8 時，f (n)maxS n = 2 n_,貝y+(ac2(n1)(n2)（利用常用公式）1.11答案：-0?- !)«- L)說-S 5解：原式=-二、錯位相減法求和這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列an bn的前n項和，其中 an 、 bn 分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.例 3求和：Sn 1 3x 5x2 7x3（2n 1）xn 1 解：由題可知，（2n 1）xn1的通項是等差數(shù)列2n 1的通

3、項與等比數(shù)列xn1的通項之積設(shè) xSn 1x 3x2 5x3 7x4(2n-得(1 x)Sn 1 2x 2x2 2x3再利用等比數(shù)列的求和公式得：(1 x)Sn1）xn （設(shè)制錯位）2x42xn 1 （2n 1）xn（錯位相減）n 11 x1 2x(2n1)xn1 xSn(2n 1)xn1 (2n 1)xn (1 x)(1 x)2例4求數(shù)列,甲， 前n項的和.2 2 2 2練習(xí)題12n的通項與等比數(shù)列12n的通項之積設(shè)Sn2462n222232n1 c2462n2Sn2223242* 1解：由題可知,乍的通項是等差數(shù)列2一得（12)SnSn2歹1盯n 22* 12 22 22n盯2 2nnn

4、12 2（設(shè)制錯位）（錯位相減）c 1已知求數(shù)列 an的前項和Sn.S =-l*2°-2l-2R_1-2+1答案：1 35練習(xí)題2；、炸甘2«+3答案：的前n項和為三、反序相加法求和這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前 n項和公式時所用的方法，就是將一個數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個（a1an ).例 5求證：C0 3c： 5C2(2n 1)C：(n 1)2n證明：設(shè)Sn C0 3C15C；(2n1)C：把式右邊倒轉(zhuǎn)過來得Sn(2n1)Cn (2n1)C； 13C1c0（反序）C： m可得Sn(2n1)C(2n1)C：3C：1+得 2&(2n 2)(C；

5、 CnC：Cnn)2(n 1) 2n（反序相加）Sn(n 1)2n例 6求sin21 sin2 2sin2 3sin2 88sin2 89的值解：設(shè) S sin21sin2 2sin2 3sin 2 88sin2 89將式右邊反序得2S sin 89sin 2 882 2sin 3 sin 2sin21（反序）又因為 si nxcos(90x),s in2 x2 cos+得（反序相加）2S (si n212 2cos 1 ) (sin 2cos2 22 2(sin 89 cos 89 ) = 89S= 44.5題1 已知函數(shù)'（1）證明：_ 一；f 一 + f HJ 一 + J 一（2

6、）求11。丿丿丿丿的值.解：（1）先利用指數(shù)的相關(guān)性質(zhì)對函數(shù)化簡，后證明左邊=右邊（2）利用第（1 ）小題已經(jīng)證明的結(jié)論可知，(1、+ +/110丿而兩式相加得:f/+ / k血丿丿S=-所以.練習(xí)、求值:L2（|_"一 f十1出十2°十記十號十計亠3212+ 107+?四、分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可a（Aa例7求數(shù)列的前n項和：11,丄a7,1n 1 a3n1 解：設(shè) Sn（1 1）（a將其每一項拆開再重新組合得1Sn （1-a當(dāng)a= 1時,Sn4)7)(丄n

7、1 a3n 2)1n 1a(3n1)n)(13n 2)丄na1 1a例8求數(shù)列n(n+1)(2n+1)的前n項和.當(dāng)a 1時,(3n1)n2（分組）（分組求和）1(3n 1)n a a2 a 1(3n 1)n232解：設(shè) akk(k 1)(2k 1) 2k 3k kSnk(k 1)(2k 1) =(2k3 3k2 k)k 1k 1將其每一項拆開再重新組合得nSn= 2k 1k3 3knk21nkk 1（分組）=2(13233 n)3(12 22n2)(1 2n)n2(n1)2n(n1)(2 n 1) n(n1)（分組求和）22 2n(n1)2(n2)2五、裂項法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和

8、中的具體應(yīng)用.裂項法的實質(zhì)是將數(shù)列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達(dá)到求和的目的.通項分解（裂項）如:(1)anf(n 1)f(n)(2)sinlcosn cos(n 1)tan(n 1) tann(3)an1n(n 1)(4)an(2n)2(2n 1)(2 n 1)1 丄2 2n 12n 1)(5)ann(n 1)( n 2)12n(n 1)(n1)(n 2)ann 21n(n 1) 2n2(n 1) nn(n1)12n1n 2n 11(n 1)2n,則 Sn11(n 1)2n(7)(8)an(An B)(A n C)C B( An BAn C)an-,n、百 n例

9、9求數(shù)列1223' n 、一 n 1的前n項和.解：設(shè)an"1 n.n n 1（裂項）例 10例 11解:則 Sn / 223=(2 1)在數(shù)列an中,解:an bn求證:（裂項求和）anbn，求數(shù)列b n的前n項的和.an an 1n n 12 2n n1i的前n項和2) (21)(334)丄n nn 1)=8nn 111=8(11cos1 cos 2cos88 cos891)數(shù)列b n1 、Sn8(1cosO cos1cos1sin21（裂項）（裂項求和）cosO cos1cos1 cos 2cos88 cos89sin1cos n cos(n 1)tan(n 1)tan

10、n（裂項） S cos0 cos11= (tan 1sin 1cos1 cos 2cos88 cos89（裂項求和）tan 0 ) (tan 2tan1 ) (tan 3tan 2 ) tan 89 tan 88 -(ta n 89sin 1tan 0 )=丄sin 1cos1cot1 = y-sin21 原等式成立1 1+ 亦，1丈44y7練習(xí)題1 .答案：11L11十十十十練習(xí)題2。2-43-5 46仗十1)仗十3)1(1 J 答案.223冷+2料+3六、分段求和法（合并法求和）針對一些特殊的數(shù)列，將某些項合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時，可將這些項放在一起先求和，然后

11、再求Sn.cosncos(180 n )例 12 求 cosl° + cos2° + cos3° + + cos178° + cos179° 的值.解：設(shè) Sn= cosl° + cos2° + cos3° + + cos178° + cos179°-Sn =(cos1°+ (cos890+ cos179°廣 + cos91)+ ( cos2°° ) + cos90°+ cos178° ) +(cos3°+ cos177O)+

12、 (合并求和)數(shù)列an:a 1,a23, a32,an 2an 1an ,求 S2002.解：設(shè) S2002= aia2 直a2002由a11,a23, a32, an :2an1 an可得a41, a53, a62,a71,a8 3a92,a101, a13, a122,a6k 11, a6k 23, a6k3 2,k 41, a6k 53,6 2a6k1a6k 2a6k 34a6k 5a6k 60（找特殊性質(zhì)項）S2002 = a1i82a3a2002（合并求和）=(a1a?a3a6)7a8a12)(a6k1a6k :2a6k 6 )1993Q994a1998)a1999a2000a200

13、1a2002=a1999a2000a2001a2002=a6k 1a6k 2a6k 3k 4=5（找特殊性質(zhì)項）例 13解：設(shè) Snlog3 ai Iog3a?logsdo由等比數(shù)列的性質(zhì) m n p qaman apaq和對數(shù)的運算性質(zhì)loga M loga N log a M NSn(log3 a1log3ai0) (logsa?log3 a?)=(log3 aiai0) (log3 a2 a?)(log3 a5（找特殊性質(zhì)項） 得（log3 a5 log3a6）（合并求和）a6）=log3 9 log39 log3 9設(shè) = -1 + 3-5 + 7- -+(-!)*(2w-l)，則實=

14、練習(xí)、求和:=10練習(xí)題i答案:2"ll：練習(xí)題 2 .若 Sn=1-2+3-4+(-1)n-1 n，貝y S17+S33 + S 50 等于 ()A.1B.-1C.0D .2解：對前n項和要分奇偶分別解決，即:Sn =答案：A練習(xí)題 31002-99 2+98 2-97 2+ +22-12 的值是A.5000B.5050C.10100D.20200解：并項求和，每兩項合并，原式=(100+99)+(98+97)+(2+1)=5050.答案：B七、利用數(shù)列的通項求和先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進(jìn)行分析，找出數(shù)列的通項及其特征，然后再利用數(shù)列的通項揭示的規(guī)律來 求數(shù)列的前n項和，是一個重要的

15、方法例 15求 111 1111111之和.n個111解：由于 11119999(10k 1)（找通項及特征）1 11 111111 1n個1111213=-(101 1)-(1021) -(103 1)9991(10n 1)9（分組求和）1123=6(10 10 10110n)(1 1 1 1)9n個1_ 1 10(10n 1) n910 19=丄(10n1 10 9n) 81例16已知數(shù)列an: an(n3），求 n(n1)(anan 1)的值.解：t (n 1)(anan 1 )8(n3)1(n 2)(n4)（找通項及特征）(n 2)(n4)(n（設(shè)制分組）(n=)8(n4）（裂項）提高練習(xí)：(n 1)(an an J1（分組、裂項求和）1114 (-)8 -344133n1.已知數(shù)列an中，Sn是其前n項和，并且Sn 14an2(n1,2,)，印 1,設(shè)數(shù)列 bnan1 2an(n 1,2,），求證：數(shù)列 bn是等比數(shù)列