直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系精講附配套練習(xí)

1、第四節(jié)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系考綱傳真1.能根據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓的位置關(guān)系；能根據(jù)給定兩個(gè)圓的方程判斷兩圓的位置關(guān)系.2.能用直線和圓的方程解決一些簡單 的問題.3.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想.抓基礎(chǔ)自主學(xué)習(xí)|知識(shí)梳理1 .判斷直線與圓的位置關(guān)系常用的兩種方法(1)幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓半徑r的大小關(guān)系：但？相交；d 三1？相切；d>r?相離.(2)代數(shù)法：聯(lián)立直線l與圓C的方程，消去y(或x),得一元二次方程，計(jì) 算判別式 A= b2-4ac,命0?相交,A= 0?也勿，*0?相離.2 .圓與圓的位置關(guān)系設(shè)圓 Oi： (x-ai)2+(y- bi)

2、2=r2(ri>0),222_H O2： (x a2) +(ybz) r2(r2>0).法位 關(guān)系幾何法：圓心距d與o4的關(guān)系 Jl代數(shù)法：聯(lián)立兩個(gè) 圓的方程組成方 程組的解的情況相離d >+ j無解外切d - Tj + j一組實(shí)數(shù)解相交1 一1 <d <+ 及兩組不同的實(shí)數(shù)解內(nèi)切d=r - r J （ r 次） J.J.一組實(shí)數(shù)解內(nèi)含0 Wd < k - I （ r.&J1J無解i學(xué)情自測1.（思考辨析）判斷下列結(jié)論的正誤.（正確的打“，”，錯(cuò)誤的打“X”）（1） “k=1”是“直線x-y+ k= 0與圓x2+y2 = 1相交”的必要不充分條 件.

3、（）（2）如果兩個(gè)圓的方程組成的方程組只有一組實(shí)數(shù)解，則兩圓外切. （）（3）如果兩圓的圓心距小于兩半徑之和，則兩圓相交.（）（4）若兩圓相交，則兩圓方程相減消去二次項(xiàng)后得到的二元一次方程是公共 弦所在直線的方程.（）解析依據(jù)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，只有（4）正確.答案（1）X （2）X （3）X ，2 .（教材改編）圓（x+ 2）2 + y2= 4與圓（x-2）2+（y- 1）2= 9的位置關(guān)系為（）A.內(nèi)切B.相交C.外切D.相離B 兩圓圓心分別為（一2,0）, （2,1）,半徑分別為2和3,圓心距d = /42+1 = 17.v3-2<d<3 + 2, 兩圓相交.3 .

4、（2017合肥調(diào)研）直線3x+ 4y=b與圓x2+y2-2x-2y+1=0相切，則b 的值是（）A. 2 或 12B.2 或12C. 2 或12D.2 或 12D 由圓x2+y2 2x 2y+1 = 0,知圓心（1,1）,半徑為1,所以感;資| =1,解得 b=2 或 12.2 .-2 一4 .在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，直線x+2y 3 = 0被圓（x 2） + （y+ 1） =4 截得的弦長為.笠5 圓心為（2, 1）,半徑r = 2.5圓心到直線的距離心箕十卷,所以弦長為2/二了 = 2，22管)=誓.5 . (2016全國卷I )設(shè)直線y=x+2a與圓C: x2 + y22ay 2=0

5、相交于A, B兩點(diǎn)，若AB|=2，3,則圓C的面積為.4 九圓 C： x2 + y2-2ay- 2=0 化為標(biāo)準(zhǔn)方程是 C： x2+ (y-a)2=a2 + 2,所以圓心C(0, a),半徑r = 1a2+2.AB| = 2V3,點(diǎn)C到直線y= x+ 2a即x-y+ 2a = 0 的距離 d=|0a= 2a|,由勾股定理得,W30-a+ 2a|、2 = a2 + 2,2、2 J 72 J解得a2=2,所以r = 2,所以圓C的面積為ttX22=4冗.例明考向題型突破|直線與圓的位置關(guān)系1(2017豫南九校聯(lián)考)直線l: mx y+1 m=0與圓C: x2+(y1)2 = 5的位置關(guān)系是()【導(dǎo)

6、學(xué)號(hào)：01772298】A.相交B.相切C.相離D.不確定(2)已知直線 l: x+ay 1=0(aC R)是圓 C： x2 + y2-4x-2y+ 1=0 的對稱軸.過點(diǎn)A(-4, a)作圓C的一條切線，切點(diǎn)為 B,則AB|=()A. 2B.472C. 6D.2阮(1)A (2)C (1)法一：二.圓心(0,1)到直線 l 的距離 d=-mm=<1<V5.m + 1故直線l與圓相交.法二：直線 l: mx-y+1 m=0 過定點(diǎn)(1,1), .點(diǎn)(1,1)在圓 C: x2+(y1)2 =5的內(nèi)部，直線l與圓C相交.(2)由圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y1)2=4.圓心為C(2

7、,1),半徑r = 2,由于直線x+ay- 1 = 0是圓C:x2+y24x 2y+1 = 0的對稱軸，圓心C(2,1) 在直線 x+ ay1=0 上，.2 + a1 = 0, .a= 1,A(-4, 1).于是 AB|2= |AC|2 r2= 404 = 36,則 AB= 6.規(guī)律方法1.(1)利用圓心到直線的距離可判斷直線與圓的位置關(guān)系，也可 利用直線的方程與圓的方程聯(lián)立后得到的一元二次方程的判別式來判斷直線與 圓的位置關(guān)系；(2)注意靈活運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)，聯(lián)系圓的幾何特征，數(shù)形結(jié)合，簡化運(yùn)算.如 “切線與過切點(diǎn)的半徑垂直”等.2.與弦長有關(guān)的問題常用幾何法，即利用弦心距、半徑和弦長的一半

8、構(gòu)成 直角三角形進(jìn)行求解.變式訓(xùn)練1 (1)(2017山西忻少卜|模擬)過點(diǎn)(3,1)作圓(x1)2 + y2=r2的切線 有且只有一條，則該切線的方程為()A. 2x+ y- 5= 0B.2x+ y 7=0C. x-2y- 5= 0D.x 2y-7=0(2)(2016全國卷田)已知直線l: x->/3y+6 = 0與圓x2+y2=12交于A, B兩 點(diǎn)，過A, B分別作l的垂線與x軸交于C, D兩點(diǎn)，則|CD| =.(1)B (2)4 (1)依題意知，點(diǎn)(3,1)在圓(x 1)2+y2=r2上，且為切點(diǎn).1圓心(1,0)與切點(diǎn)(3,1)連線的斜率為2.因此切線的斜率k= 2.故圓的切線

9、方程為y- 1 = 2(x 3),即2x+ y 7=0.(2)由圓 x2+y2=12 知圓心 0(0,0),半徑 r = 2>/3.圓心(0,0)到直線x- V3y+ 6=0的6距離 d=6 = 3, |AB|=2,1232 = 273.過C作CEXBD于E.如圖所示，則|CE|=|AB|=2 3.直線l的方程為x->/3y+6=0,283 .kAB=*,則/BPD=30 ,從而/ BDP = 60 .CD戶CE| sin 60圓與圓的位置關(guān)系回西工一百二百盾幫愚也課例線段的長度是2國則圓M與圓N:A.內(nèi)切(x1)2+(y1)2=1的位置關(guān)系是()B.相交C.外切D.相離B 法一：

10、由x2+y2-2ay= 0, R y=0得兩交點(diǎn)為(0,0), (a, a).(2016山東高考)已知圓M:x2 + y2 2ay= 0(a>0)截直線x+y=0所得圓M截直線所得線段長度為2巾,Ya=+(- a=2'y2.又 a>0,a = 2. 圓 M 的方程為 x2+y2 4y= 0,即 x2+(y 2)2=4,圓心 M(0,2),半徑 門=2.又圓 N: (x-1)2+(y- 1)2=1,圓心 N(1,1),半徑2=1, . |MN| = V(0- 1 f+(2-1f二卷 r2=1, c + r2=3,1<|MN|<3, .兩圓相交.法二：,. x2+y

11、2-2ay= 0(a>0)? x2 + (y a)2=a2(a>0), .M(0, a), r=a.二.圓M截直線x+ v= 0所得線段白長度為2加，圓心M到直線x + y= 0的距離d=方=：a2 2,解得a=2.以下同法一.規(guī)律方法 1.圓與圓的位置關(guān)系取決于圓心距與兩個(gè)半徑的和與差的大小 關(guān)系.2 .若兩圓相交，則兩圓的公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2, y2項(xiàng)得到.3 .若兩圓相交，則兩圓的連心線垂直平分公共弦.變式訓(xùn)練 2若。O: x2+y2=5 與。1： (xm)2 + y2=20(mC R)相交于 A, B兩點(diǎn)，且兩圓在點(diǎn)A處的切線互相垂直，則線段 AB

12、的長度是:4 由題意。Oi與。在A處的切線互相垂直，則兩切線分別過另一圓的 圓心，.OiA± OA.又|OA|=45, |OiA|=2j5,.|OO1| = 5.又A, B關(guān)于OO1對稱,AB為RtAOAOi斜邊上高的2倍.1 1 _又.2 OA OiA=2OOiAC, 4A AC = 2. .AB=4.直線與圓的綜合問題(2016江蘇高考改編)如圖8-4-1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知以M 為圓心的圓 M: x2+y2-12x- 14y+60=0 及其上一點(diǎn) A(2,4).(1)設(shè)圓N與x軸相切，與圓 M外切，且圓心 N在直線x= 6上，求圓N的 標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)平行于OA的

13、直線l與圓M相交于B, C兩點(diǎn)，且BC = OA,求直線l 的方程.解圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x- 6)2+ (y- 7)2= 25,所以圓心M(6,7),半徑為5.1分(1)由圓心N在直線x=6上，可設(shè)N(6, yo).因?yàn)閳AN與x軸相切，與圓M外切，所以0<yo<7,圓N的半徑為yo,從而7 yo = 5 + y°,解得y°=1.4分 因此，圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-6)2+(y1)2 = 1.5分(2)因?yàn)橹本€l / OA,4 0所以直線i的斜率為40=2.2 0設(shè)直線l的方程為y=2x+m,即 2xy+ m=0,則圓心M到直線l的距離|2X 67+m| |m+5|

14、.8分因?yàn)?BC = OA=y22+42 =2由，而 MC2=d2+ lBC 2, 2fm4 5 2所以25= 匚 +5,解得m= 5或m= -15.5故直線l的方程為2x y+5 = 0或2x y15=0.12分規(guī)律方法1.(1)設(shè)出圓N的圓心N(6, y。)，由條件圓M與圓N外切，求 得圓心與半徑，從而確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)依據(jù)平行直線，設(shè)出直線l的方程, 根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式及勾股定理求解.2.求弦長常用的方法：弦長公式；半弦長、半徑、弦心距構(gòu)成直角三 角形，利用勾股定理求解(幾何法).變式訓(xùn)練3 (2017天津南開中學(xué)模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C: x2+y2 + 4x-

15、2y+ m=0 與直線 x- V3y+V3- 2=0 相切.求圓C的方程；若圓C上有兩點(diǎn)M ,N關(guān)于直線x+ 2y =0對稱，且|MN|=2Q,求直線MN的方程.解將圓 C: x2+y2+4x 2y+m=0化為(x+2)2 + (y 1)2 = 5m.1 分.圓 C: x2+y2+4x-2y+ m=0 與直線 x 43y+ <32=0 相切,4. 圓心(一 2,1)到直線 x 43y+ 43 2 = 0 的距離 d = 1= = 2= r, 4 分圓 C 的方程為(x+ 2)2+ (y 1)2= 4.5 分(2)若圓C上有兩點(diǎn)M, N關(guān)于直線x+2y= 0對稱，則可設(shè)直線MN的方程 為

16、2x y+c=0.7分.|MN| = 273,半徑 r = 2,圓心(一2,1)到直線MN的距離為 «22rmi =1.貝jJ4 J+卜=1工=5 型5.10 分5直線MN的方程為2x y+ 5±75= 0.12分名師微博與思想與方法1 .直線與圓的位置關(guān)系體現(xiàn)了圓的幾何性質(zhì)和代數(shù)方程的結(jié)合，解題時(shí)要 抓住圓的幾何性質(zhì)，重視數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用.2 .計(jì)算直線被圓截得的弦長的常用方法:(1)幾何方法：運(yùn)用弦心距(即圓心到直線的距離卜弦長的一半及半徑構(gòu)成直 角三角形計(jì)算.(2)代數(shù)方法：弦長公式 AB|=81 + k2xA-xb| = V(1 + k2I(xA + xB)2

17、-4xAxB.易錯(cuò)與防范1 .求圓的弦長問題，注意應(yīng)用圓的性質(zhì)解題，即用圓心與弦中點(diǎn)連線與弦 垂直的性質(zhì)，可以用勾股定理或斜率之積為“-1”列方程來簡化運(yùn)算.2 .過圓上一點(diǎn)作圓的切線有且只有一條；過圓外一點(diǎn)作圓的切線有且只有 兩條，若僅求得一條，除了考慮運(yùn)算過程是否正確外，還要考慮斜率不存在的情 況，以防漏解.課時(shí)分層訓(xùn)練(七)二次函數(shù)與號(hào)函數(shù)A組基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)(建議用時(shí)：30分鐘)一、選擇題1 .已知幕函數(shù)f(x) = k x"的圖象過點(diǎn)段,乎),則k+ a=()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：01772040】1A.2B.1C.2D.2C 由幕函數(shù)的定義知k=1.又$)=當(dāng),所以g=考,解得a=從而3ik

18、+ a 2-2 .函數(shù) f(x) = 2x2 mx+ 3,當(dāng) x 2, +)時(shí)，f(x)是增函數(shù)，當(dāng) xC (一8, 2時(shí)，f(x)是減函數(shù)，則f的值為()A. -3B.13C.7D.5B 函數(shù)f(x)=2x2mx+ 3圖象的對稱軸為直線x=?，由函數(shù)f(x)的增減區(qū)m2間可知 m = 2, . .m= 8,即 f(x) = 2x+8x+3, . .f(1) = 2 + 8 + 3=13.3,若幕函數(shù)y=(m23m+3) xm2m2的圖象不過原點(diǎn)，則 m的取值是()A. 1 <m<2B.m=1 或 m=2C. m=2D.m= 1B 由幕函數(shù)性質(zhì)可知m2 3m+3= 1, ；m=2或

19、m= 1.又幕函數(shù)圖象不過原點(diǎn)，m2 m2<0,即一1&m&2,m1=2或 m=1.4 .已知函數(shù)y= ax2+bx+c,如果a>b>c且a+ b+c= 0,則它的圖象可能 是()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：01772041】ABCDD 由 a+b+c=0, a>b>c知 a>0, c<0,則c<0,排除 B, C乂 f(0) = ac< 0,所以也排除A.5 .若函數(shù)f(x) = x2ax a在區(qū)間0,2上的最大值為1,則實(shí)數(shù)a等于()A. -1B.1C.2D.-2B 函數(shù)f(x) = x2ax a的圖象為開口向上的拋物線, .函數(shù)的最大值

20、在區(qū)間的端點(diǎn)取得. f(0)= a, f(2) = 43a,或,4 3a=1,解得a=1.二、填空題6. (2017上海八校聯(lián)合測試改編)已知函數(shù)f(x)=ax22ax+1 + b(a>0).若 f(x)在2,3上的最大值為4,最小值為1,則a =, b=.1 0 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的對稱軸為x= 1,又a>0,- 一 , 一 f2戶1, 所以f(x)在2,3上單調(diào)遞增，所以'廠f(3 戶 4,解方程得a=1, b = 0.a22-2a2+1 + b=1,'a 322a 3+1 + b=4,7.已知P = 2)Q=；|，R=(，則P, Q, R的大小關(guān)系是【導(dǎo)學(xué)號(hào)：0

21、1772042P>R>Q P = 2-匕陰,根據(jù)函數(shù)V= x3是R上的增函數(shù)且 當(dāng)>2>5，得怪)>圖>(5',即 p>R>Q.18.已知函數(shù)f(x) = x2 2ax+ 5在(一, 2上是減函數(shù)，且對任意的x1，X2C1, a+1,總有|f(xi) f(x2)|W4,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.2,3 f(x) = (x a)2+5-a2,根據(jù) f(x)在區(qū)間(一oo, 2上是減函數(shù)知，a>2, 則 f(1)>f(a+1),從而 f(x1) f(x2)|max= f(1) f(a) = a2 2a + 1,由 a2 2a+104,

22、解彳#- 1<a<3,又 a>2,所以 2&a03.三、解答題9.已知幕函數(shù)f(x)= x(m2+ m) 1(m N )經(jīng)過點(diǎn)(2,42),試確定m的值，并 求滿足條件f(2 a)>f(a1)的實(shí)數(shù)a的取值范圍.解幕函數(shù)f(x)經(jīng)過點(diǎn)(2, ® V2=2(m2 + m) 1,即 2 = 2(m2+m) 1,m2 + m=2,解得 m= 1 或 m= 2.4 分*,又 mC N ,m= 1.i；f(x) = x,則函數(shù)的定義域?yàn)?, +00),并且在定義域上為增函數(shù).-2-a>0,由 f(2 a)>f(a1),得a10,10分"2-

23、a>a-1,解彳31<a<3.a的取值范圍為1 21.12分10.已知函數(shù) f(x) = x2+(2a 1)x- 3,(1)當(dāng)a = 2, xC2,3時(shí)，求函數(shù)f(x)的值域；(2)若函數(shù)f(x)在1,3上的最大值為1,求實(shí)數(shù)a的值.解(1)當(dāng)2= 2 時(shí)，f(x) = x2+3x 3, x-2,3,3對稱軸 x= 26 2,3, 2分二 f(x)min= f 3 1 9_9_3=_212J 4 2 34,f(x) max= f(3)= 15,;值域?yàn)镴 21，1515分 2a-1(2)對稱軸為x= .2a- 11當(dāng)一2a2W1,即 a2時(shí),f(x)max= f(3)= 6a

24、+ 3,.6a+3=1,即a= -1滿足題意；8分32a 11當(dāng)一芻尸>1,即a< 1時(shí)，f(x) maxf(-1)=-2a-1, 2a1 = 1,即a= - 1才兩足題意.綜上可知a =三或一1.12分3B組能力提升(建議用時(shí)：15分鐘)1. (2017江西九江一中期中)函數(shù)f(x) = (m2m 1)x4m9m51是幕函數(shù)，對任意的x1, x2C (0, +00) 且x1wx2,滿足幽1一織">0,若a, bCR,且a x1 x2+ b>0, ab<0,則 f(a) + f(b)的值()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：01772043】A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D

25、.無法判斷A - f(x) = (m2-m- 1)x4m9-m5- 1 是幕函數(shù)，m2 m1 = 1,解得 m=2 或 m= 1.當(dāng)m= 2時(shí)，指數(shù)4X29251=2 015>0,滿足題意.當(dāng)m= 1時(shí)，指數(shù)4X ( 1(1)5 1 = 4<0,不滿足題意，f(x) = x2 015幕函數(shù)f(x) = x2 015是定義域R上的奇函數(shù)，且是增函數(shù).又a, bC R,且 a+b>0, . . a> b,又ab<0,不妨設(shè)b<0,則 a>b>0, . f(a)>f(b)>0,又 f(b) = f(b), .f(a)>f(b),.取)

26、+ 他)>0.故選 A.2.設(shè)f(x)與g(x)是定義在同一區(qū)間a, b上的兩個(gè)函數(shù)，若函數(shù)y= f(x)g(x) 在xC a, b上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則稱f(x)和g(x)在a, b上是“關(guān)聯(lián)函數(shù)”， 區(qū)間a, b稱為“關(guān)聯(lián)區(qū)間”.若f(x)=x2 3x+ 4與g(x)=2x+m在0,3上是“關(guān) 聯(lián)函數(shù)”，則m的取值范圍為.19，-21 由題意知，y=f(x) g(x) = x2 5x+ 4- m 在0,3上有兩個(gè)不同 的零點(diǎn).在同一直角坐標(biāo)系下作出函數(shù) y= m與y= x2-5x+ 4(x 0,3)的圖象如 圖所示，結(jié)合圖象可知，當(dāng) xC 2,3時(shí)，y= x2-5x+ 4 卜4, -

27、21故當(dāng)mC 9, 2 時(shí)，函數(shù)y=m與y=x25x+4(xC 0,3)的圖象有兩個(gè) 交點(diǎn).3,已知二次函數(shù) f(x) = ax2+bx+ 1(a, b R), xCR.(1)若函數(shù)f(x)的最小值為f( 1) = 0,求f(x)的解析式，并寫出單調(diào)區(qū)問；(2)在(1)的條件下，f(x)>x+ k在區(qū)間3, 1上恒成立，試求k的范圍.解(1)由題意知b d解得12a'= t，lf( 1 尸 ab+ 1 = 0, 所以 f(x) = x2+2x+ 1,由f(x)= (x+1)2知，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為1, +00),單調(diào)遞減區(qū)間為(8 , 1.6 分(2)由題意知，x2+2

28、x+1>x+ k在區(qū)間 3, 1上恒成立，即k<x2 + x+1 在區(qū)間 3, 1上恒成立，8分令 g(x) = x2+x+1, xC3, 1,由 g(x)=3+ 2，+ 4知 g(x)在區(qū)間3, 1上是減函數(shù)，則 g(x)min = g( 1) =1,所以 k< 1,即k的取值范圍是(一8, 1).12分第三節(jié)基本不等式考綱傳真1.了解基本不等式的證明過程.2.會(huì)用基本不等式解決簡單的 最大(小)值問題.抓基礎(chǔ).自主學(xué)習(xí)I理繳材雙基自主測評知模理 j a+ b1 .基本不等式qab0-2一(1)基本不等式成立的條件：a>0, b>0.(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅

29、當(dāng)ab.2 .幾個(gè)重要的不等式(1)a2 + b2>2ab(a, b R)；(2)b + a>2(a, b同號(hào)且不為零);a b,a+ b、2(3)ab&N，2(a, b R)；a+bx2 a +b .2-J<2(a, be R).3 .算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù) a + b 設(shè)a>0, b>0,則a, b的算術(shù)平均數(shù)為六一，幾何平均數(shù)為JOB,基本不等式可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).4 .利用基本不等式求最值問題已知x>0, y>0,則如果xy是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)x= y時(shí)，x+y有最小值是2后(簡記： 積定和最小).2

30、(2)如果x+y是定值q,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，xy有最大值是"4(簡記：和定 積最大).學(xué)情自測*1 .(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“，”，錯(cuò)誤的打"X”)(1)函數(shù)y=x+1的最小值是2.()x(2)函數(shù) f(x)=cos x+ C4Sx, xC ", 2b最小值等于 4.()(3)x>0, y>0是y+x>2的充要條件.()若a>0,則a，5的最小值為2也.()a答案(1)X (2)X (3)X (4)X2 .若a, bCR,且ab>0,則下列不等式中，包成立的是()A. a2+b2>2abB. a+b>

31、;2VabD.b+b>2c 112Cr>a b abD .a2+b22ab=(ab)20,.A 錯(cuò)誤；對于 B, C,當(dāng) a<0, b<0 時(shí),明顯錯(cuò)誤.對于D,.G0, .?+322-a .bba3. (2016安徽合肥二模)若a, b都是正數(shù),則j + b 1l + 4a ：的最小值為()A. 7B.8C. 9D.10Ca, b 都是正數(shù)，. . l+b(1 + 4a)= 5+ 2+45+24a=9,當(dāng)且 僅當(dāng)b = 2a>0時(shí)取等號(hào)，故選C.一，14.右函數(shù)f(x) = x+£T2(x>2)在x=a處取取小值，則a等于()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：01772

32、209】A. 1 +也B.1 + V3C. 3D.4C 當(dāng) x>2 時(shí)，x-2>0, f(x) = (x-2) + x + 2>2yl(x2)Xx-12 + 2 = 4,當(dāng)且僅當(dāng)x 2=y(x>2),即x=3時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)f(x)取得最小值時(shí)，x= 3, x 2即 a = 3,選 C.5.(教材改編)若把總長為20 m的籬笆圍成一個(gè)矩形場地，則矩形場地的最 大面積是 mf25 設(shè)矩形的一邊為x m,矩形場地的面積為y,1則另一邊為 2X(202x) = (10 x)m,則 y= x(10-x)< x+(12°-x)' = 25,明考向題型突破I例

33、當(dāng)且僅當(dāng) x=10 x,即 x= 5 時(shí)，ymax=25.1考府11利用基本不等式求最值1 2(2015湖南局考)右頭數(shù)a, b酒足a+b=«b,則ab的取小值為析典例探求規(guī)律方B.2A. .2C. 2V2D.4（2017鄭州二次質(zhì)量預(yù)測）已知正數(shù)x, y滿足x2+2xy 3 = 0,則2x+ y的C (2)3 (1)由：+ b= Vab知 a>0, b>0,所以 / = / 十 號(hào)2'/余 即ab>2/2,1 2fa=b，當(dāng)且僅當(dāng)Cla+b=即a=42, b = 242時(shí)取“="，所以ab的最小值為2 2.(2)由 x2+2xy 3=0 得3-x

34、2 3 1v= X=云2x，3 1 3x, 3 則 2x+y=2x+ 去2x= -2+2x12、償怖=3,當(dāng)且僅當(dāng)x= 1時(shí)，等號(hào)成立，所以2x+y的最小值為3. 2 2x規(guī)律方法1.利用基本不等式求函數(shù)最值時(shí)，注意 “一正、二定、三相等,和定積最大，積定和最小2.在求最值過程中若不能直接使用基本不等式，可以考慮利用拆項(xiàng)、配湊、常數(shù)代換、平方等技巧進(jìn)行變形，使之能夠使用基本不等式.變式訓(xùn)練1 （1）（2016湖北七市4月聯(lián)考）已知a>0, b>0,且2a+ b= 1, . 2 1., 一 一 若不等式2+1m包成立，則m的最大值等于（）a bA. 10B.9C. 8D.71（201

35、6湖南雅禮中學(xué)一模）已知頭數(shù)m, n輛足m n>0, m+n= 1,則m+1 ,，一，n的取大值為:(1)B2 1 2(2a+b) 2a+b_4 K1)a+b=2b 2a / b, a =4+g+8+1 = 5+北+加>5+2*2=9,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)取等號(hào)又a+/m,9,即m的最大值等于9,故選B.(2)'.' m n>0, m+ n=1,m<0, n<0,m+n=(m+n)m+n m ,=4, m n1一 ,當(dāng)且僅當(dāng) m=n= 2時(shí),1一十 m1 n取得最大值-4.利用基本不等式證明不等式科上白一料已知 a>0, b>0, a+

36、b=1,求證:“、111 、 ca + 6+ab)8；L 11111證明(%+6+市=需+應(yīng)，. a+b=1, a>0, b>0,11 a b a b 八 a b、a+b=Jb2+b+a>2 + 2 = 4, 3分111，一，1 .一， 八；a+1+五）8（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)等號(hào)成立*分法一：. a>0, b>0, a+b=1,1 a+b b 舊1 a3=1+丁2+a，同理、行，2+a= 5+2 ?臚 5+4=9, 10 分1 + 159（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)等號(hào)成立）.12分法二：1,111+ h !=1 + 一+1+工b a b ab,111,由知，a+b+

37、獷8,10分故1 + 1 1 + 1 ：= 1 + 1+1+W) 9.12 分 a b a b ab規(guī)律方法1. 1”的代換是解決問題的關(guān)鍵，代換變形后能使用基本不等式 是代換的前提，不能盲目變形.2.利用基本不等式證明不等式，關(guān)鍵是所證不等式必須是有 “和”式或 “積”式，通過將“和”式轉(zhuǎn)化為“積”式或?qū)ⅰ胺e”式轉(zhuǎn)化為“和”式，達(dá)到 放縮的效果，必要時(shí)，也需要運(yùn)用 “拆、拼、湊”的技巧，同時(shí)應(yīng)注意多次運(yùn)用 基本不等式時(shí)等號(hào)能否取到.變式訓(xùn)練2設(shè)a, b均為正實(shí)數(shù)，求證：a12+j12+ ab>2也【導(dǎo)學(xué)號(hào)：01772210】證明由于a, b均為正實(shí)數(shù)，11c 1 12 c 八所以？2、

38、/?彳="，3分 a b . a b ab，一，11 一 一一.當(dāng)且僅當(dāng)=b2,即a=b時(shí)等號(hào)成立，又因?yàn)?ab+ab>2 ,a2bab = 2>/2,，一，2當(dāng)且僅當(dāng)F = ab時(shí)等號(hào)成立，一 112所以02+ 孑+ ab>ab+ ab>2/2, 8 分當(dāng)且僅當(dāng)工aIab=1心ab,即a= b= 42時(shí)取等號(hào).12分例基本不等式的實(shí)際應(yīng)用運(yùn)貨卡車以每小時(shí)x千米的速度勻速行駛130千米，按交通法規(guī)限制50<x< 100(單位：千米/時(shí)).假設(shè)汽油的價(jià)格是每升 2元，而汽車每小時(shí)耗油"烹,，司機(jī)的工資是每小時(shí)14元(1)求這次行車總費(fèi)用y關(guān)

39、于x的表達(dá)式；當(dāng)x為何值時(shí)，這次行車的總費(fèi)用最低，并求出最低費(fèi)用的值.130130八 八V= VX2X >解(1)設(shè)所用時(shí)間為t=T(h), x360 f+ 14X130, xC50,100.2 分所以這次行車總費(fèi)用y關(guān)于x的表達(dá)式是130X18 2X 130v= +6x，xH50，100.2 340 13y = -+ 18x, x 50, 100).5 分 x130X 18 2X130(2)y= + 6x)26 標(biāo)當(dāng)且僅當(dāng)130X18 2X 130x二 360 x即x=故當(dāng)18710,等號(hào)成立.8分x= 18回千米/時(shí)，這次行車的總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用的值為2610元.12分規(guī)律方法1.

40、設(shè)變量時(shí)一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù).2 .根據(jù)實(shí)際問題抽象出函數(shù)的解析式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的 最值.3 .在求函數(shù)的最值時(shí)，一定要在定義域(使實(shí)際問題有意義的自變量的取值 范圍)內(nèi)求解.變式訓(xùn)練3某化工企業(yè)2016年年底投入100萬元，購入一套污水處理設(shè) 備.該設(shè)備每年的運(yùn)轉(zhuǎn)費(fèi)用是0.5萬元，此外每年都要花費(fèi)一定的維護(hù)費(fèi)，第一 年的維護(hù)費(fèi)為2萬元，由于設(shè)備老化，以后每年的維護(hù)費(fèi)都比上一年增加2萬元.設(shè)該企業(yè)使用該設(shè)備x年的年平均污水處理費(fèi)用為y(單位：萬元).(1)用x表示v ；(2)當(dāng)該企業(yè)的年平均污水處理費(fèi)用最低時(shí)，企業(yè)需重新更換新的污水處理 設(shè)備.則該企業(yè)幾年后

41、需要重新更換新的污水處理設(shè)備.解(1)由題意得,y=100+0.5x+ (2 + 4+6+2x)I-100*.即 y= x+_x_+ 1.5(x N ).5 分（2）由基本不等式得:X100+ 1.5= 21.5, 8 分100 y= x+ +1.5>2當(dāng)且僅當(dāng)x=T，即x= 10時(shí)取等號(hào).故該企業(yè)10年后需要重新更換新的污水處理設(shè)備.12分名師微博合思想與方法1 .基本不等式具有將 “和式”轉(zhuǎn)化為“積式”和將“積式”轉(zhuǎn)化為“和 式”的放縮功能，因此可以用在一些不等式的證明中， 還可以用于求代數(shù)式的最值或取值范圍.如果條件等式中，同時(shí)含有兩個(gè)變量的和與積的形式， 就可以直 接利用基本不等

42、式對兩個(gè)正數(shù)的和與積進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后通過解不等式進(jìn)行求解.a2+b2 2 .基本不等式的兩個(gè)變形:a 2>ab（a, bCR,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）. <272K>aJ|b>Vab>11（a>0, b>0,當(dāng)且僅當(dāng) a=b 時(shí)取等號(hào)）. a+b易錯(cuò)與防范1 .使用基本不等式求最值，“一正” “二定” “三相等”三個(gè)條件缺一不 可.2 . ”當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立”的含義是“a=b”是等號(hào)成立的充要條 件，這一點(diǎn)至關(guān)重要，忽視它往往會(huì)導(dǎo)致解題錯(cuò)誤.3 .連續(xù)使用基本不等式求最值要求每次等號(hào)成立的條件一致.課時(shí)分層訓(xùn)練（七）二次函數(shù)與號(hào)函數(shù)A組基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)（

43、建議用時(shí)：30分鐘）、選擇題1 .已知幕函數(shù)f(x) = k x"的圖象過點(diǎn)J2,考J則k+ a=()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：01772040】1 - -A.2B.13C.2D.2C 由幕函數(shù)的定義知k=1.又4)=坐,所以g卜當(dāng)，解得a=:從而 3rk+ a= 2-2.函數(shù) f(x) = 2x2 mx+ 3,當(dāng) x 2, +)時(shí)，f(x)是增函數(shù)，當(dāng) xC (一 8, 2時(shí)，f(x)是減函數(shù)，則f的值為()A. -3B.13C.7D.5B 函數(shù)f(x)=2x2mx+ 3圖象的對稱軸為直線x=:，由函數(shù)f(x)的增減區(qū) 間可知 £ = 2, .m= 8,即 f(x) = 2x2+8x+3

44、, . f(1) = 2 +8 +3= 13.3,若幕函數(shù)y=(m23m+3) xm2m2的圖象不過原點(diǎn)，則 m的取值是 ()A. 1 <m<2B.m=1 或 m=2C. m=2D.m= 1B 由幕函數(shù)性質(zhì)可知m2 3m+3= 1, ；m=2或m= 1.又幕函數(shù)圖象不過 原點(diǎn)，m2 m2<0,即一10m02, .m=2 或 m=1.4,已知函數(shù)y= ax2+bx+c,如果a>b>c且a+ b+c= 0,則它的圖象可能 是()ABCDD 由 a+b+c=0, a>b>c知 a>0, c<0,則c<0,排除 B, C乂 f(0) = ac

45、< 0,所以也排除A.5.若函數(shù)f(x) = x2ax a在區(qū)間0,2上的最大值為1,則實(shí)數(shù)a等于()A. -1B.1C.2D.-2B 函數(shù)f(x) = x2ax a的圖象為開口向上的拋物線, .函數(shù)的最大值在區(qū)間的端點(diǎn)取得. f(0)= a, f(2) = 43a,a4 3a,=-a=1,或1a0 4 3a,4- 3a=1,解得a=1.二、填空題6. (2017上海八校聯(lián)合測試改編)已知函數(shù)f(x)=ax22ax+1 + b(a>0).若 f(x)在2,3上的最大值為4,最小值為1,則a =, b=1 0 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的對稱軸為x= 1,又a>0,- f _f(2 尸

46、1,所以f(x)在2,3上單調(diào)遞增，所以'廠f3 尸 4,解方程得a=1, b = 0.a22-2a2+1 + b=1, 即:a 32-2a 3+1 + b=4,7 .已知P = 2)Q=!1), R=4)，則P, Q, R的大小關(guān)系是【導(dǎo)學(xué)號(hào)：01772042P>R>Q 上2卷=曲,根據(jù)函數(shù)v= x3是R上的增函數(shù)且g>2>5， 得陟 e)>f5), 即 p>r> q.8 .已知函數(shù)f(x) = x2 2ax+ 5在(一, 2上是減函數(shù)，且對任意的 xi, x2 C1, a+1,總有|f(x1) f(x2)|04,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.2,3

47、 f(x) = (x a)2+5-a2,根據(jù) f(x)在區(qū)間(一oo, 2上是減函數(shù)知，a>2, 則 f(1)>f(a+1),從而 f(x1) f(x2)|max= f(1) f(a) = a2 2a + 1,f 2由 a -2a+ 1<4,解彳31<a<3,又 a>2,所以 2&a03.三、解答題9.已知幕函數(shù)f(x)= x(m2+m) 1(mC N )經(jīng)過點(diǎn)(2,m),試確定m的值，并 求滿足條件f(2 a)>f(a1)的實(shí)數(shù)a的取值范圍.解幕函數(shù)f(x)經(jīng)過點(diǎn)(2, V2),.應(yīng)=2(m2 + m) 1,即 2； = 2(m2+m) 1,m2 + m=2,解得 m= 1 或 m= 2.4 分 *,又 mC N , m= 1.i.f(x) = x,則函數(shù)的定義域?yàn)?, +8),并且在定義域上為增函數(shù).|2-a>0,10分由 f(2 a)>f(a1),得a10,、2 a>a 1,解彳導(dǎo)1<a<一一 .一13、；a的取值范圍為1 2 /12分10.已知函數(shù) f(x) = x2+(2a 1)x- 3,當(dāng)a