截長(zhǎng)補(bǔ)短類(lèi)輔助線(xiàn)作法

1、截長(zhǎng)補(bǔ)短類(lèi)輔助線(xiàn)作法“截長(zhǎng)”就是將三條線(xiàn)段中最長(zhǎng)的那條線(xiàn)段一分為二，使其中的一條線(xiàn)段等 于已知的兩條較短線(xiàn)段中的一條，然后證明其中的另一段與已知的另一條線(xiàn)段的 數(shù)量關(guān)系；“補(bǔ)短”就是將三條線(xiàn)段中一條已知的較短的線(xiàn)段延長(zhǎng)至與另一條已知的較 短的長(zhǎng)度相等，然后證明延長(zhǎng)后的線(xiàn)段與最長(zhǎng)的已知線(xiàn)段的數(shù)量關(guān)系.注：1、截長(zhǎng)補(bǔ)短類(lèi)輔助線(xiàn)解決的一般是三條線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系問(wèn)題，特別要 注意線(xiàn)段前系數(shù)不是“1”的時(shí)候，一般會(huì)涉及到含特殊角的直角三角形2、具體在利用截長(zhǎng)或者補(bǔ)短構(gòu)造輔助線(xiàn)時(shí)要結(jié)合題目條件選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?，?不是所有題目截長(zhǎng)和補(bǔ)短都可以例題精講1、如圖所示，是邊長(zhǎng)為的正三角形，二匚是頂角為二丁的等腰

2、三角形， 以二為頂點(diǎn)作一個(gè)二 的-二；，點(diǎn) - ；分別在止、-二上,求-的周長(zhǎng).2、已知：如圖， ABC中，丄矽=且° , BD平分/ ABC BC上有動(dòng)點(diǎn)P.(1) DPIBC時(shí)(如圖1),求證：三-匚一匚;(2) DP平分/ BDC時(shí)(如圖2), BD CD CP三者有何數(shù)量關(guān)系?3、已知一二中，一-：，二、二分別平分匯和_.-.二，二、工交于 點(diǎn)二，試判斷三三、二、汽 的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.4、( 2014初二上期末昌平區(qū))如圖，人。是厶ABC的角平分線(xiàn)，點(diǎn)F, E分別在 邊AC，AB上,且刊=斑 .(1) 求證:-J；(2) 如果-5_- =1：，探究線(xiàn)段AE AF, FD

3、之間滿(mǎn)足的等量關(guān)系，并證明.5、如圖所示，匚是邊長(zhǎng)為1的正三角形，工二=是頂角為工丁的等腰三角形，以匚為頂點(diǎn)作一個(gè)汀的，點(diǎn)皿、廠分別在三、從 上，求4口的周長(zhǎng).6如圖所示，已知正方形 ABCD中，M為CD的中點(diǎn)，E為MC上= 2ZDAU .求證：應(yīng).求證:D7、五邊形 ABCDE 中，.二=三，三：匚 1'-=:-：AD 平分/ CDE.8、如圖，在 ABC中，=一，D是三角形外一點(diǎn)，且-二二：，二-二 上求9、（2012初二上期中中關(guān)村中學(xué)）如圖1所示：二,AE、DE分別平分-二二和-二匸，并交于E點(diǎn).過(guò)點(diǎn)E的直線(xiàn)分別交AM、DN于B、C.（1）如圖2,當(dāng)點(diǎn)B、C分別位于點(diǎn)AD的同側(cè)

4、時(shí)，猜想AD、AB、CD之間的存在的數(shù)量關(guān)系：.（2）試證明你的猜想.（3）若點(diǎn)B、C分別位于點(diǎn)AD的兩側(cè)時(shí)，試寫(xiě)出AD、AB、CD之間的關(guān)系， 并選擇一個(gè)寫(xiě)出證明過(guò)程10、（2012初二上期中北達(dá)資源中學(xué)）（1）如圖，四邊形ABPC中，-二 八- 藝血0 = 6丁，丄 = 120：，求證：PS-PC = RA .（2）如圖，四邊形 ABCD中，匸，一二，P為四邊形ABCD內(nèi)一 點(diǎn)，且-7=-，求證：-匸-二11、（ 2009山東臨沂中考）數(shù)學(xué)課上，張老師出示了問(wèn)題：如圖1,四邊形ABCD 是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)/ AEF=90，且EF交正方形外角/ DCG的平 分線(xiàn)CF于點(diǎn)F,求證：A

5、E=EF.經(jīng)過(guò)思考，小明展示了一種正確的解題思路：取 AB的中點(diǎn)M，連接ME，貝UAM=EC，易證 AME ECF，所以 AE=EF .在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究：（1）小穎提出：如圖2,如果把 點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為 點(diǎn)E是邊BC上（除 B，C夕卜）的任意一點(diǎn)”，其它條件不變，那么結(jié)論“AE=EF仍然成立，你認(rèn)為小 穎的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫(xiě)出證明過(guò)程；如果不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）小華提出：如圖3,點(diǎn)E是BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上（除C點(diǎn)外）的任意一點(diǎn)，其 他條件不變，結(jié)論“ae=ef仍然成立.你認(rèn)為小華的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫(xiě)出證明過(guò)程；如果不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由.12、(2013中考朝陽(yáng)

6、二模)在平行四邊形ABCD中，E是AD上一點(diǎn)，三-二, 過(guò)點(diǎn)E作直線(xiàn)EF,在EF上取一點(diǎn)G,使得=-三二，連接AG .(1) 如圖1，當(dāng)EF與AB相交時(shí)，若三二 ，求證：三(2) 如圖2,當(dāng)EF與AB相交時(shí)，若-匚2 *，請(qǐng)你直接寫(xiě)出線(xiàn)段 EG、AG、BG之間的數(shù)量關(guān)系(用含 a的式子表示)；(3) 如圖3,當(dāng)EF與CD相交時(shí)，且-=，請(qǐng)你寫(xiě)出線(xiàn)段EG、AG、BG 之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.13、(2015初二上期末昌平區(qū))二二為等腰直角三角形，點(diǎn)匚在三邊上(不與點(diǎn)八三重合)，以二為腰作等腰直角二二,-二-：(1) 如圖1，作二一二-于-=，求證：_二一三二；AD(2) 在圖1中，連接三

7、交二于二，求-的值；(3) 如圖2,過(guò)點(diǎn)三作三_三交工的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)三，過(guò)點(diǎn)二作-:，交于點(diǎn))，連接】二.當(dāng)點(diǎn)匚在邊二上運(yùn)動(dòng)時(shí)，式子 的值會(huì)發(fā)生變化 嗎？若不變，求出該值；若變化請(qǐng)說(shuō)明理由隨堂練習(xí)1、已知等腰;，八 ，-匸匚的平分線(xiàn)交于匚,貝廬匚- -=-'2、已知： 如圖，-是正方形， _一匚二 =_匚三 , 求證：三三_二戸=.二三.DC3、(2015中考順義一模)如圖， ABC中，點(diǎn)P是三角形右外一點(diǎn),口，_.二二=一二二 _(1) 如圖1,若-，點(diǎn)P恰巧在/ ABC的平分線(xiàn)上，求PB的長(zhǎng)；(2) 如圖2,若-丄一：探究PA，PB, PC的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)如圖3,若zac=

8、i20c，請(qǐng)直接寫(xiě)出PA, PB, PC的數(shù)量關(guān)系.課后作業(yè)1、如圖，四邊形 ABCD中，AB / DC, BE、CE分別平分/ ABC、/ BCD，且 點(diǎn)E在AD上.求證：三:匸.D2、( 2013黑龍江龍東地區(qū)中考)正方形 ABCD的頂點(diǎn)A在直線(xiàn)MN上，點(diǎn)O 是對(duì)角線(xiàn)AC、BD的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作OE丄MN于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)B作BF丄MN于 點(diǎn)F.(1) 如圖1,當(dāng)O、B兩點(diǎn)均在直線(xiàn)MN上方時(shí)，易證：AF+BF=2OE (不需證 明)(2) 當(dāng)正方形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2、圖3的位置時(shí)，線(xiàn)段AF、BF、 OE之間又有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想，并選擇一種情況給予證明.3、( 2015中考海淀一模)在菱形 二'二中，- -“二，點(diǎn)三是對(duì)角線(xiàn)打上 一點(diǎn)，連接二三，二=-,將線(xiàn)段繞點(diǎn)匸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)：并延長(zhǎng)得到射線(xiàn) 二，交二的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)二.(1)依題意補(bǔ)全圖形；(2) 求證：三一三；(3) 用等式表示線(xiàn)段-三，三匚，：之間的數(shù)量關(guān)系：4、(2014黑龍江齊齊哈爾、大興安嶺、黑河中考)在等腰直角三角形ABC中,/ BAC=90，AB=AC，直線(xiàn)MN過(guò)點(diǎn)A且MN / BC，過(guò)點(diǎn)B為一銳角頂點(diǎn)作 Rt BDE，Z BDE=90，且點(diǎn)D在直線(xiàn)MN上(不與點(diǎn)A重合)