電容放電微分方程

1、常微分方程知識的應(yīng)用1研究電容器的充電和放電規(guī)律，應(yīng)用一階微分方程知識此問題主要出現(xiàn)在機電一體化專業(yè)的 電工學(xué)、電工電子技術(shù)等課程中， 主要應(yīng)用于研究電工電子技術(shù)中電容器充電及放電時電容電壓Uc、電流ic、電阻元件的端電壓Ur分別隨時間t的變化規(guī)律。所謂電容器是指電學(xué)中能儲存電 荷的裝置，電容器是常見的電路元件和電工設(shè)備。它的品種和規(guī)格很多，但是， 就其基本原理而言，都是由兩片金屬板被絕緣物質(zhì)隔離而成， 并在金屬板上引出 兩根端線。若在電容器二端接上直流電源 E,就在金屬板上分別聚集等量的正、 負(fù)電荷Q.當(dāng)電源撤除之后，電荷仍然積聚在極板上，此時電容器兩端有電壓 Uc. 因此，電容器有儲存電荷

2、的作用。同時在兩極板之間建立電場、并儲存電場能量。 若電容元件儲存的電荷量為 Q,其兩端電壓為Uc,則Q與Uc之比稱為電容元 件的電容量C,即C=Q/Uc (F).電容器能反復(fù)的充電與放電，電容器的充電與 放電有著重要的實用意義，如電子電路中的濾波電路、振蕩電路、微分及積分電 路等都是以電容的充、放電為基礎(chǔ)進行工作的(如圖所示)。u小i實例1如圖所示的RC電路，已知在開關(guān)K合上前電容C上沒有電荷,電容C兩端的電場為零，電源的電動勢為 E。把開關(guān)K合上，電源對電容C充 電，電容C上的電壓Uc逐漸升高，求電壓Uc隨時間t變化的規(guī)律。TEc分析：首先建立微分方程。根據(jù)回路電壓定律可知，電容C上的電壓

3、Uc與電阻R上的電壓Ur之和等于電源電動勢 E,即Uc+Ur=E.電容充電時，電容上 電量Q逐漸增加，根據(jù)電容性質(zhì)，Q與Uc有關(guān)系式Q=CUc.于是，i-dQndQUcXCdUJ代入Uc+Ri=E中，得到Uc （t）所滿足的微分方程為 dt dtdtRCdUC+Uc =E.然后，求此微分方程的通解與特解，便可得出電容器的充電規(guī) dt律。解答：（計算過程略） tUc =E（1 -e十）.實例2已知如圖所示的RC電路中，電容C的初始電壓為U0,當(dāng)開關(guān)K閉合時電容就開始放電，求開關(guān) K閉合后電路中的電流強度i的變化規(guī)律。解答：（計算過程略）U 0"Re2研究機械振動現(xiàn)象，應(yīng)用二階線性常系數(shù)

4、微分方程知識此問題主要出現(xiàn)在機電一體化專業(yè)的機械設(shè)計基礎(chǔ)課程中，主要應(yīng)用于 研究無阻尼簡諧振動、阻尼振動、有阻尼強迫振動、共振等現(xiàn)象和規(guī)律。在機電 工程技術(shù)領(lǐng)域中，振動現(xiàn)象比比皆是。例如，機床和刀具在加工時的振動，各種 動力機械的振動，控制系統(tǒng)中的自激振動等。隨著機械化工業(yè)的大力發(fā)展，當(dāng)前 不斷出現(xiàn)機械振動的新設(shè)備和振動新工藝，如振動傳輸（振動傳輸機），振動篩選（共篩機），振動研磨，振動拋光，振動沉樁，振動消除內(nèi)應(yīng)力等，利用振動 原理工作的機械設(shè)備，應(yīng)能產(chǎn)生預(yù)期的振動。但是，振動也會給物體帶來一定的 危害，主要表現(xiàn)為：振動會引起工程結(jié)構(gòu)的變形破壞， 會影響精密儀器設(shè)備的功 能，降低加工精度和光

5、潔度，加劇構(gòu)件的疲勞和磨損，從而影響機器和結(jié)構(gòu)物的 工作性能，并縮短其使用壽命。隨著現(xiàn)代化機械結(jié)構(gòu)日益復(fù)雜， 運轉(zhuǎn)速度日益提 高，振動可能造成的危害將更加突出。為此，在機械設(shè)計時，必須充分考慮并研 究機械的振動現(xiàn)象。實例運用二階線性微分方程知識，分析、研究阻尼振動現(xiàn)象及特點。分析：把空氣阻力的影響考慮進去。由實驗可知，空氣阻力Fi與物體的運動速度成正比： = -ki dx ,其中ki為比例系數(shù)（ki>0）,稱為阻尼系數(shù)，負(fù)號表示,2.,出 m dt m阻力與運動方向相反。這時，物體的運動方程為 d等+顯,以+Kx = 0,這是二階常系數(shù)線性齊次方程，其特征方程為片+匕九+K = o ,特

6、征根為 m m, 2k1 _ ki 14km222%2=.然后，分 k1 - 4km >0、 k1 -4km=0、 k1 -4km <0 二種2m解的情況進行討論。最后，分析得出阻尼振動現(xiàn)象及特點。解答：(計算過程略)當(dāng)ki2 -4km <0時，腦、九2為一對共腕復(fù)數(shù)，其微分方程的通解為 ki tki tx(t) =e 2m (ci cosoM+c2sin st),或改寫為 x(t) = e 2m Ai sinQit+Q).此解含有周期函數(shù)，因而物體產(chǎn)生振動，振動角頻率 弗=.km-ki .但是隨著時間的延2m續(xù)，振幅越來越小，最后位移消失、物體停止振動。這種振幅隨時間而減小

7、的振 動，稱之為阻尼振動。阻尼振動現(xiàn)象在實際應(yīng)用中很有意義。3研究電學(xué)中的振蕩現(xiàn)象，應(yīng)用二階線性常系數(shù)微分方程知識此問題主要出現(xiàn)在機電一體化專業(yè)的電工電子技術(shù)課程中，應(yīng)用于研究 電磁振蕩現(xiàn)象和規(guī)律。與機械振蕩相仿，在有些電路中電荷和電流也會作周期性 變化，這稱為電磁振蕩，能產(chǎn)生電磁振蕩的電路稱為振蕩電路。 如圖所示的電路， 它包括電阻R,電容C,電感L及電動勢E=Eocos0t ,則根據(jù)電學(xué)知識可建立關(guān) 于電容器上儲存的電量 Q=Q ( t)的微分方程：d2QdQ iL2- R Q = Eocos t (i) dt2dt C電磁振蕩也分為阻尼振蕩、受迫振蕩、電共振等幾種形式。例如共振現(xiàn)象，當(dāng)方 程(i)中電動勢的頻率切等于LRC回路的固有頻率時，也會使電路出現(xiàn)共振現(xiàn) 象。含有電動勢 E的LRC