2[1]1《參數(shù)方程的概念--曲線的參數(shù)方程》教案(新人教選修4-4)(精)

1、曲線的參數(shù)方程 教學(xué)目標(biāo) 1 1 通過(guò)圓及彈道曲線的參數(shù)方程的建立，使學(xué)生理解參數(shù)方程的概念，初步掌握求曲線的參數(shù)方程的思路. 2 2通過(guò)彈道曲線的參數(shù)方程的建立及選取不同參數(shù)建立圓的參數(shù)方程，培養(yǎng)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)能力以及解決實(shí)際 問(wèn)題的能力. 3.3.從彈道曲線的方程的建立，對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)的返璞歸真教育 ，使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)源于實(shí)踐的真諦 ，幫助學(xué)生樹 立空間和時(shí)間是運(yùn)動(dòng)物體的形式這一辯證唯物主義觀點(diǎn). 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn) 曲線參數(shù)方程的探求及其有關(guān)概念是本節(jié)課的重點(diǎn) ；難點(diǎn)是彈道曲線參數(shù)方程的建立. 教學(xué)過(guò)程 師：滿足什么條件時(shí)，一個(gè)方程才能稱作曲線的方程，而這條曲線才能夠稱作方程的曲線 ？ 生:1

2、.:1.必須同時(shí)滿足兩個(gè)條件：（1）曲線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；（2）同時(shí)以這個(gè)方程的第一 組解作為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上那么，這個(gè)方程就稱作曲線的方程，而這條曲線就稱作這個(gè)方程的曲線. 師：請(qǐng)寫出圓心在原點(diǎn)，半徑為 r r 的圓O的方程，并說(shuō)明求解方法. 生2 :60的方程是，+嚴(yán)是利用兩點(diǎn)間距離公式 求得的設(shè)叭丿血0上任一點(diǎn)，由卜匚 艮卩由jF+h r化簡(jiǎn)而得. （師板書o oo o： . .- - ） 師：求圓的方程事實(shí)上是探求圓上任一點(diǎn)M（ x x，y y ）的橫、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系式 . .能用別的方法來(lái)探 x x、y y 之間 的關(guān)系嗎？ 生： 師：（誘導(dǎo)一下）不用剛才的方法給我

3、們直接求 x x、y y 的關(guān)系帶來(lái)了困難，能否考慮用間接的方法來(lái)求？即在 x x、y y 之間是否能建立一座橋梁，使之聯(lián)系起來(lái)？ （計(jì)算機(jī)演示動(dòng)畫，如圖3 1） 師：驅(qū)使M運(yùn)動(dòng)的因素是什么？ 生：旋轉(zhuǎn)角0 . . 師：當(dāng)我們把 x x 軸作為0角始邊，并使OM繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)， 請(qǐng)考慮0在什么范圍內(nèi)取值就可以形成整個(gè) 圓了？ 生：兒丨- 師：至此 x x、y y 之間的關(guān)系已通過(guò) 0聯(lián)系起來(lái)了，誰(shuí)能具體地說(shuō)說(shuō)它們之間的關(guān)系? （c c 0,2 0,2 n , , 0為變量，r r 為常數(shù)） （生3敘述，師板書） 師：式是OO的方程嗎? 生4:式是OO的方程 師：請(qǐng)說(shuō)明理由 （2）任取妬刼）,

4、 = r cos $ 由得即 所以 心 Q . 1 - 生4:（生4敘述，師板書）仇仍），總存在妬訂0創(chuàng)），由三角函數(shù)定義知 圖3-1 所以 M在OO上. . 由（1）、（2 ）知是OO的方程 . . 師：既然是OO的方程，那么它應(yīng)該和 .7二廠是一致的，兩者能統(tǒng)一起來(lái)嗎？ 生：能，消去0即可. 師：這里，我們從另一個(gè)角度重新審視了圓，通過(guò)第三個(gè)變量 0把圓上任意一點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo) x x、y y 聯(lián)系了起 來(lái)，獲得了圓的方程的另一種形式 通過(guò)間接的方法把某兩個(gè)變量聯(lián)系起來(lái)的例子不僅幾何中有，在生產(chǎn)實(shí)踐、軍事技術(shù)、工程建設(shè)中也有 特別 在兩個(gè)變量之間的直接關(guān)系不易建立時(shí)，常用間接的方法將它們聯(lián)系

5、起來(lái) 請(qǐng)同學(xué)們?cè)倏匆粋€(gè)例子 炮兵在射擊目標(biāo)時(shí)，需要考慮炮彈的飛行軌跡、射程等等 現(xiàn)在，我們假設(shè)一個(gè)炮兵射擊目標(biāo)，炮彈的發(fā)射角 為a，發(fā)射的初速度為 v o. .請(qǐng)同學(xué)們幫他求出彈道曲線的方程。（不計(jì)空氣阻力） 師：同學(xué)們是否知道炮彈飛行軌跡的形狀？請(qǐng)同學(xué)們大概地畫一下 （師從同學(xué)們畫出的圖形中，選出一種畫 在黑板上，如圖32 . .） 圖3-2 師：一般同學(xué)們都知道是軌物線的一段 現(xiàn)在的問(wèn)題就是怎樣求彈道曲線的方程（即點(diǎn)的軌跡方程），請(qǐng)思考 求點(diǎn)的軌跡方程的首要工作是什么？ 生：建系 師：怎樣建系？（請(qǐng)同學(xué)們自行建系） （師將同學(xué)們4種不同的建系方式依樣畫在黑板上或用投影儀直接打出。 如圖33

6、 （1）、（2）、（3）、 （4） 師：怎樣建系由我們自己決定，然而我們總希望建立的坐標(biāo)系較合乎常理，且使問(wèn)題的求解方便一些，方程簡(jiǎn) 單一些 現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們從上述4種建系方式中選擇較恰當(dāng)?shù)囊环N 生：（較一致地否定了（1 ）、（2），對(duì)（3）、（4）眾說(shuō)紛紜 . .） 師：（引導(dǎo)學(xué)生作常規(guī)分析）炮彈飛行與時(shí)間 t t 有關(guān)，當(dāng) t=0t=0 時(shí)，炮彈還在炮口位置，它是炮彈飛行的初始位 置（起始點(diǎn)），這個(gè)起始點(diǎn)放在坐標(biāo)系的什么位置才較好地合乎常理呢？ 生：放在原點(diǎn)位置，即取炮口為原點(diǎn)，水平方向?yàn)?x x 軸，建立直角坐標(biāo)系，因此選圖33（4） . . 師：坐標(biāo)系建立起來(lái)了，接著該做什么了呢？ 生：設(shè)

7、標(biāo)，設(shè)炮彈發(fā)射后的位置為M（ x x, y y）. . 師：下面該進(jìn)行哪一步了？ 生：列式. . 師：怎么列？ x x 與 y y 之間的直接關(guān)系明顯嗎? 生：不明顯 師：那么怎樣把 x x、y y 之間的關(guān)系聯(lián)系起來(lái)呢？ 生5:像剛才用第三變量 0表示圓上任一點(diǎn)的坐標(biāo) x x、y y 之間的關(guān)系一樣，通過(guò)間接的辦法把 x x、y y 聯(lián)系起來(lái). . 師：很好！那么這里的第三變量是什么呢？它又能怎樣把 x x、y y 聯(lián)系起來(lái)呢？ 生5:剛才圓上點(diǎn)M是依賴于角 0的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)的，第三變量就選擇了 0，我想這里要把 x x、y y 之間的關(guān)系 建立起來(lái)，也要分析一下炮彈的運(yùn)動(dòng)方式，看看炮彈的位置

8、是依賴于哪個(gè)量的變化而變化的 師：非常好！讓我們一起來(lái)分析炮彈的運(yùn)動(dòng)方式 這里，炮彈的運(yùn)動(dòng)實(shí)際上是物理學(xué)中的斜拋運(yùn)動(dòng) 炮彈在水平方向作勻速直線運(yùn)動(dòng)， 在豎直方向上作豎直上拋運(yùn)動(dòng) （由于受重力作用， 炮彈作初速度不為零的勻 速直線運(yùn)動(dòng)） 顯然在 x x、y y 分別是炮彈飛行過(guò)程中的水平位移和豎直位移（豎直高度），因此“怎樣列式”事實(shí)上是解決如 何刻畫水平位移和豎直位移的問(wèn)題. .故應(yīng)考慮運(yùn)動(dòng)物體的位移與哪些量有關(guān) 生：和速度、時(shí)間有關(guān) 師：這里既有水平位移，又有豎直位移，那么在水平方向的初速度和豎直方向的初速度分別是多少？ 生6：（如圖34）在水平方向的初速度是 v oCOS COS a ,

9、,在豎直方向的初速度是 v oCOS COS a （生6 口述，師標(biāo)在 圖 34 上） 師：時(shí)間有嗎? 生：沒(méi)有 師：怎么辦？ 生：設(shè)出來(lái)，設(shè)為 t.t. 師：現(xiàn)在能分別求 x x 和 y y 了嗎? 生6:能! 1 2 x = cosa /T = sin os1 / - - gi 師：能對(duì)豎直方向上的位移作一解釋嗎? 生7:在豎直方向上，炮彈作豎直上拋運(yùn)動(dòng)，即炮彈受重力的作用作初速度不為零的勻減速直線運(yùn)動(dòng) . .所以 師：這里我們把水平位移和豎直位移都用時(shí)間 一個(gè)確定的范圍？ t t 表示出來(lái)了，即把 x x、y y 都表示成了 t t 的函數(shù)，t t 是否應(yīng)該有 IU 3-4 生：有，令

10、y=0y=0, 2u0 sin os 故 O Ow t t w 二 2m sin a L - 師：當(dāng) 二 時(shí)，炮彈運(yùn)動(dòng)到什么位置了？ 生：剛落地 2uftsin a L - 師：不錯(cuò)！ 二 是炮彈的落地時(shí)刻，為書寫方便，我們記 x = 5 cos 5 . . 1 2 7 = sin CE / - gZ 則：I I 2 2 （o o w t t w T T） 師：（挑戰(zhàn)性的）這個(gè)方程組表示的是彈道曲線的方程嗎？ 生：是 師：誰(shuí)能簡(jiǎn)要地作一下說(shuō)明? 生8:顯然，任給軌跡上一點(diǎn) 細(xì)yj ,由方程組的建立過(guò)程知其坐標(biāo) x xo、y y。適合方程組；反之當(dāng) t t 在 內(nèi)任取某一個(gè)值時(shí)，由方程組就可確定

11、當(dāng)時(shí)炮彈所在位置（即表示炮彈的點(diǎn)在曲線上） 故就是炮彈飛行 的軌跡方程 師：很好！前面我們舉了兩個(gè)例子，這兩個(gè)方程組有一個(gè)共同的特點(diǎn)，就是曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系不是 直接的，而是通過(guò)第三個(gè)變量間接地聯(lián)系起來(lái)的 例 1 1 中旋轉(zhuǎn)角0參與了方程組的建立， 且 x x、y y 都是0的函 數(shù)；例 2 2 中時(shí)間 t t 參與了方程組的建立，且 x x、y y 都是 t t 的函數(shù) 這些特點(diǎn)是以前建立的直接反映 x x、y y 關(guān)系的 方程所不具備的，它和我們以前所熟悉的曲線的方程表達(dá)形式是不一樣的，誰(shuí)能給這樣的曲線方程起個(gè)名字 嗎？ 生：參數(shù)方程sin a （師隨即寫出課題一一參數(shù)方程，指出聯(lián)

12、系 X X、y y 之間關(guān)系的變數(shù)叫做參變數(shù)，簡(jiǎn)稱參數(shù) . .） 師：例1中我們看到圓上任意一點(diǎn)的坐標(biāo) x x、y y，都是參數(shù)0的函數(shù)，且對(duì)于 帆;：內(nèi)的任意一個(gè)0值，由 所確定的點(diǎn)M（ x x、y y）都在圓上；例2中，我們看到炮彈的任意一個(gè)位置，即軌跡上任一點(diǎn)的坐標(biāo) x x、y y 都 是 t t 的函數(shù)，且對(duì)于任一個(gè) t t 的允許值，由確定的點(diǎn)皿（X X、y y）都在軌跡上. .這樣的方程我們剛才稱它為參 數(shù)方程，誰(shuí)能通過(guò)剛才的例子，歸納出一般曲線的參數(shù)方程的定義？ $=畑 生9:（定義）在給定的坐標(biāo)系中，如果曲線上任一點(diǎn)的坐標(biāo) x x、y y 都是某個(gè)變數(shù) t t 的函數(shù) I I

13、且對(duì) 于 t t 的每一個(gè)允許值，由所確定的點(diǎn)M（ x x、y y）都在這條曲線上，則就叫做這條曲線的參數(shù)方程， t t 稱作 參變數(shù)，簡(jiǎn)稱參數(shù) （生9途述，師板書） 師：相對(duì)于參數(shù)方程來(lái)說(shuō)，以前的方程是有所不同的（顯得那樣的普通） 為了區(qū)別起見，我們把以前學(xué)過(guò)的 方程稱作曲線的普遍方程 師：從上面兩個(gè)例子看出，參數(shù)可以有明確的幾何意義（例子中的旋轉(zhuǎn)角 0 ，主何的也可以有顯的物理 意義（例2中的時(shí)間 t t 物理的 ）事實(shí)上，除此之外，還可以是沒(méi)有明顯意義的變數(shù)，即使是同一條曲線， 也可以用不同的變數(shù)作參數(shù). .請(qǐng)同學(xué)們考慮，在例1中還可以用什么變數(shù)作參數(shù)？ 生10:設(shè)弧長(zhǎng) I I 為參數(shù)，

14、由于 l=r l=r 0 , X = 1 r cos-, r 故0 =lr=lr，所以 I = =rsinrsin r （I I 是參數(shù)，o ow I I W2 n r r）.（生10敘述，師板書） 師：還可以用別的變數(shù)作參數(shù)嗎？ 生： 師：（點(diǎn)撥一下）前面我們用旋轉(zhuǎn)角 生11：明白了，可設(shè)M的角速度為 （生11敘述，師板書） 師：曲線參數(shù)方程的建立，不但能使曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)較容易通過(guò)參數(shù)聯(lián)系起來(lái)， 同時(shí)某些情況下還可較好地反 映變數(shù)的實(shí)際意義，如例2中， x x 表示炮彈飛行的水平位移， y y 表示炮彈飛行的豎直高度 能求出炮彈的最大 水平射程和相應(yīng)的最大豎直高度嗎? 0作為參數(shù)，0可以用什

15、么表示？ 3，運(yùn)動(dòng)所用時(shí)間為 t t，旋轉(zhuǎn)角為0 ,貝U 0 = =3 t.t. 所以 為參數(shù)， 竺） 0 t t 生：能！ 師：請(qǐng)一位同學(xué)具體說(shuō)說(shuō) 生12：上面曾求得炮彈落地時(shí)刻 t=2 t=2 v osin sin a g,g, 當(dāng) t=2 t=2 v osin sin a g g 時(shí)， 2 2 X=VX=V0COS COS a g 2v g 2v 0 sin sin a g=v g=v 0 sin2 sin2 a g,g, 當(dāng) 2 a = = n 2,2,即 a = = n 4 時(shí)，x x 最大= =v o g.g. 此時(shí)，即當(dāng) a = = n 4,t= 4,t= v osin sin

16、a g g 時(shí)， 2 2 2 2 2 2 2 2 y y 最大= =v osin sin a v osin sin a g g- -12gv 12gv o sin sin a g = v g = v o sin sin a 2g=v 2g=v o (2 2) 2g=v (2 2) 2g=v o 4g.4g.(生12 敘述，師板書) 師：今天這節(jié)課上，通過(guò)兩個(gè)具體問(wèn)題的研究，我們自行給出了參數(shù)方程的定義(口述)，并且明確了參數(shù)的 意義(結(jié)合例題口述)，初步掌握了求曲線參數(shù)方程的思路 通過(guò)彈道曲線參數(shù)方程的探求，使我們體會(huì)到了數(shù)學(xué)源于實(shí)踐，又服務(wù)于實(shí)踐的真諦，培養(yǎng)了我們善于思考， 勇于探索的精神

17、今天的作業(yè)一一第120頁(yè)第1題 設(shè)計(jì)說(shuō)明 1.未來(lái)社會(huì)對(duì)人才素質(zhì)的要求越來(lái)越高 高素質(zhì)人才的培養(yǎng)對(duì)學(xué)校教育提出了更高的要求 由于人的素質(zhì)是多 方面的，因此課堂教學(xué)的目的不但要向?qū)W生傳授科學(xué)知識(shí)，而且還要努力發(fā)展學(xué)生的思維，提高學(xué)生的能力， 培養(yǎng)學(xué)生的個(gè)性品質(zhì) 顯然這種多元化的教學(xué)目標(biāo)對(duì)于全面提高學(xué)生的素質(zhì)有著重要的作用 本節(jié)課的 3 3 個(gè)教 學(xué)目標(biāo)正是據(jù)于這樣的思考而制定的 2 這節(jié)課按如下6個(gè)步驟逐漸展開： (1) 圓的參數(shù)方程； (2) 彈道曲線的參數(shù)方程； 請(qǐng)學(xué)生幫助炮兵求彈道曲線的方程； 讓學(xué)生由熟悉的感知事實(shí)得抽象的幾何圖形； 選擇原點(diǎn)，恰當(dāng)建系; 分析炮彈運(yùn)動(dòng)方式，恰當(dāng)選擇參數(shù);

18、 建立方程，檢驗(yàn)二性（純粹性，完備性）； （3 3） 參數(shù)方程的一般定義； （4） 兩個(gè)例子的進(jìn)一步研究（兼作例題）； （5） 課堂小結(jié)； （6） 布置作業(yè). . 主要據(jù)于如下理由： 相對(duì)于彈道曲線來(lái)說(shuō)，學(xué)生對(duì)圓感到既熟悉，又簡(jiǎn)單 從簡(jiǎn)單而又熟悉的圓開始研究，符合循序漸進(jìn)的原則， 縮短了學(xué)生思維的“跨度/ /加快了學(xué)生思維的步伐，為學(xué)生利用類比的方法，進(jìn)一步研究彈道曲線的方程（參 數(shù)方程），提供了可參照的“樣本” 這對(duì)于發(fā)展學(xué)生的思維品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力都是十分有益的 在探求彈道曲線的參數(shù)方程中，如果按教材中直接取炮口為原點(diǎn)，水平方向?yàn)?x x 軸，建立直角坐標(biāo)系，并直接 由物理學(xué)中的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直上拋運(yùn)動(dòng)的位移公式得參數(shù)方程 x = v0 cos （t為參數(shù)）， 那么，2（2 ）