高數(shù)同濟(jì)74一階線性微分方程ppt課件

1、第四節(jié)第四節(jié) 一階線性微分方程一階線性微分方程 一、線性微分方程一、線性微分方程 二、伯努利方程二、伯努利方程 三、小結(jié)三、小結(jié))()(xQyxPdxdy 一階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式一階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式: :, 0)( xQ當(dāng)當(dāng)上方程稱(chēng)為齊次的上方程稱(chēng)為齊次的. .上方程稱(chēng)為非齊次的上方程稱(chēng)為非齊次的. ., 0)( xQ當(dāng)當(dāng)一、線性方程一、線性方程例如例如,2xydxdy ,sin2ttxdtdx , 32 xyyy, 1cos yy線性的線性的; ;非線性的非線性的. . 0)( yxPdxdy,)(dxxPydy ,)( dxxPydy,ln)(|ln1CdxxPy 齊次方程的通解

2、為齊次方程的通解為.)( dxxPCey1. 1. 線性齊次方程線性齊次方程一階線性微分方程的解法一階線性微分方程的解法( (使用分離變量法使用分離變量法) )對(duì)應(yīng)齊次方程通解xxPeCyd)(齊次方程通解非齊次方程特解xxPCed)(2. 解非齊次方程)()(ddxQyxPxy用常數(shù)變易法:,)()(d)(xxPexuxy那么xxPeud)()(xPxxPeud)()(xQ故原方程的通解xexQexxPxxPd)(d)(d)(CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(y即即作變換xxPeuxPd)()(xxPexQxud)()(ddCxexQuxxPd)(d)(兩端積分得.sin1的通解的

3、通解求方程求方程xxyxy ,1)(xxP ,sin)(xxxQ Cdxexxeydxxdxx11sin Cdxexxexxlnlnsin Cxdxxsin1 .cos1Cxx 解法解法1:公式法公式法例例1 1解解法法二二：常常數(shù)數(shù)變變易易法法原方程所對(duì)應(yīng)的齊次微分方程為：原方程所對(duì)應(yīng)的齊次微分方程為：01 yxdxdy分離變量得分離變量得xdxydy 故其通解為故其通解為xcy xxuy)( 令令2)()(xxuxxudxdy ，則則代入所給的非齊次方程，得代入所給的非齊次方程，得.sin1的通解的通解求方程求方程xxyxy 例例1 1xxxxuxxxuxxusin)(1)()(2 xxx

4、xuxxxuxxusin)(1)()(2 xxusin)( 即即兩邊積分得兩邊積分得cxxu cos)(故所求非齊次微分方程的通解為故所求非齊次微分方程的通解為 .cos1cxxy 例2. 求方程的通解 .解解: 注意注意 x, y 同號(hào)同號(hào),d2d,0 xxxx時(shí)當(dāng)yyxyx2dd2yyP21)(yyQ1)(由一階線性方程通解公式 , 得ex yy2dey1yy2dCxlnd故方程可變形為0d2d3yyxyyxxyy1y1 lndCy所求通解為 )0(CCeyyxyCyln這是以x為因變量, y為 自變量的一階線性方程伯努利方程的標(biāo)準(zhǔn)形式伯努利方程的標(biāo)準(zhǔn)形式nyxQyxPdxdy)()( )

5、1 , 0( n方程為線性微分方程方程為線性微分方程. . 方程為非線性微分方程為非線性微分方程方程. .二、伯努利二、伯努利(Bernoulli)(Bernoulli)方程方程時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)1 , 0 n時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)1 , 0 n解法解法: : 需經(jīng)過(guò)變量代換化為線性微分方程需經(jīng)過(guò)變量代換化為線性微分方程. .,1 nyz 令令，則則dxdyyndxdzn )1(),()(1xQyxPdxdyynn ),()1()()1(xQnzxPndxdz 求出通解后，將求出通解后，將 代入即得代入即得nyz 1，得，得兩端除以兩端除以ny代入上式代入上式. )1)()()1()()1(1 CdxenxQez

6、ydxxPndxxPnnnyxQyxPdxdy)()( )1 , 0( n.42的通解的通解求方程求方程yxyxdxdy ,412xyxdxdyy 112,zyy 令令,422xzxdxdz ,22 Cxxz解解得得.224 Cxxy即即解解，得得兩兩端端除除以以y例例 34( ),P xx 2( ),Q xx 12,y伯努利方程伯努利方程. .1,2dzdydxdxy 有有例例4 4 用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q解微分方程用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q解微分方程: :;22. 122xxexyyy 解解,2112 yxexyyx,2)1(1yyz 令令,2dxdyydxdz 則則,22xxexzdxdz 222Cdx

7、exeezxdxxxdx 所求通解為所求通解為).2(222Cxeyx ;1. 2yxdxdy 解解,uyx 令令, 1 dxdudxdy則則代入原式代入原式,11udxdu 分離變量法得分離變量法得,)1ln(Cxuu ,代回代回將將yxu 所求通解為所求通解為,)1ln(Cyxy 11 yeCxy或或另解另解. yxdydx 方程變形為方程變形為例例 求微分方程求微分方程 的通解的通解. .yxyyyysin2sincoscos cossin2sincosdxyyxydyy ,tan2sinyxy ,2sintanyxydydx 注意注意: :y=y( x ) x=x( y ) ,F( y

8、 , y , x )=0 G ( x , x , y ) =0, Cdyeyexyycoslncosln2sin Cdyyyyycoscossin2cos .cos2cosyCy 解解231dydxxyx y 注意注意: :y=y( x ) x=x( y ) ,F( y , y , x )=0 G ( x , x , y ) =0,練習(xí)練習(xí): :思考與練習(xí)判別下列方程類(lèi)型:xyyxyxyxdddd) 1()ln(lndd)2(xyyxyx0d2d)()3(3yxxxy0d)(d2)4(3yxyxyyxxyxydd)2ln()5(提示提示:xxyyydd1 可分離 變量方程xyxyxylndd齊次方程221dd2xyxxy線性方程221dd2yxyyx線性方程2sin2ddyxxyxxy伯努利方程三、小結(jié)三、小結(jié)1.齊次方程齊次方程2.線性非齊次方程線性非齊次方程3.伯努利方程伯努利方程)(xyfy ;xuy 令令;)()( dxxPexuy令令;1zyn 令令作業(yè)作業(yè):P282:1-(3) (7)(9), 2-(2)(4), 6, 7-(3)( 雅各布第一 伯努利 ) 書(shū)中給出的伯努利數(shù)在很多地方有用, 伯努利(1654 1705)瑞士數(shù)學(xué)家, 位數(shù)學(xué)家. 標(biāo)和極坐標(biāo)