復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算

1、3.2 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算 ，其中，其中a叫做復(fù)數(shù)叫做復(fù)數(shù) 的的 、b叫叫做復(fù)數(shù)做復(fù)數(shù) 的的 . 全體復(fù)數(shù)集記為全體復(fù)數(shù)集記為 .1.對對虛數(shù)單位虛數(shù)單位i 的規(guī)定的規(guī)定 i 2= -1;i 可以與實數(shù)一起進行四則運算可以與實數(shù)一起進行四則運算,并且加、并且加、乘法運算律不變乘法運算律不變.2. 我們把形如我們把形如a+b i(其中其中 )的數(shù)的數(shù) a、b R稱為稱為 復(fù)數(shù), 記作記作：z=a+biz z實部實部z z虛部虛部C0000)0()0(bababb，非純虛數(shù)，純虛數(shù)虛數(shù)實數(shù))00()00()0()0(bababb，非純虛數(shù)，純虛數(shù)虛數(shù)實數(shù)3. 由于由于i2= = -1，知，知

2、i為為-1的一個的一個 、-1的另一個的另一個 ;一般地，一般地，a(a0)的平方根為的平方根為 、(-i)2平方根平方根平方根為平方根為-ia ia - a (a0)的平方根為的平方根為顯然顯然,實數(shù)集實數(shù)集R是復(fù)數(shù)集是復(fù)數(shù)集C的真子集的真子集,即即R C. 5. 兩個兩個復(fù)數(shù)相等設(shè)設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、d R),則則 z1=z2 , dbca即即實部等于實部實部等于實部,虛部等于虛部虛部等于虛部.特別地，特別地，a+bi=0 .a=b=0注意注意:一般地一般地,兩個復(fù)數(shù)只能說相等或不相等兩個復(fù)數(shù)只能說相等或不相等,而不能比較大小而不能比較大小.思考思考:對于任意的兩

3、個復(fù)數(shù)到底能否比較大小對于任意的兩個復(fù)數(shù)到底能否比較大小?答案答案:當(dāng)且僅當(dāng)兩個復(fù)數(shù)都是實數(shù)時當(dāng)且僅當(dāng)兩個復(fù)數(shù)都是實數(shù)時,才能比較大小才能比較大小.即即:若若z1z2 z1,z2R且且z1z2.復(fù)數(shù)的四則運算復(fù)數(shù)的四則運算 復(fù)數(shù)的加法、減法、乘法運算與實復(fù)數(shù)的加法、減法、乘法運算與實數(shù)的運算基本上沒有區(qū)別數(shù)的運算基本上沒有區(qū)別，最主要的最主要的是在運算中將是在運算中將i21結(jié)合到實際運算過結(jié)合到實際運算過程中去程中去。 idbcadicbia 即即:兩個復(fù)數(shù)相加兩個復(fù)數(shù)相加(減減)就是就是實部與實部實部與實部,虛部與虛部與虛部分別相加虛部分別相加(減減).已知兩復(fù)數(shù)已知兩復(fù)數(shù)z1=a+bi,

4、z2=c+di（a,b,c,d是實數(shù)）是實數(shù)） 即即: :兩個復(fù)數(shù)相加兩個復(fù)數(shù)相加( (減減) )就是就是 實部與實部實部與實部, ,虛部與虛部分別相加虛部與虛部分別相加( (減減).).(1)加法法則加法法則：z1+z2=(a+c)+(b+d)i; (2)減法法則減法法則：z1- -z2=(a- -c)+(b- -d)i. (a+bi i )(c+di i) = (ac) + (bd)i i例例.計算計算)43 ()2()65 (iii解解:iiiii11)416()325()43()2()65(xoyZ1(a,b)Z2(c,d)Z(a+c,b+d)z z1 1+ z+ z2 2=OZ=OZ

5、1 1 +OZ+OZ2 2 = OZ= OZ符合向量加法符合向量加法的平行四邊形的平行四邊形法則法則.口訣：口訣：起點相同，起點相同，對角為和對角為和。1.1.復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)加法加法運算的幾何意義運算的幾何意義? ?xoyZ1(a,b)Z2(c,d)復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)z2z1向量向量Z1Z2符合向量減法符合向量減法的三角形法的三角形法口訣：口訣：共起點，共起點，連終點，連終點，指向被減指向被減2.2.復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)減法減法運算的幾何意義運算的幾何意義? ?表示復(fù)平面上兩點表示復(fù)平面上兩點Z Z1 1 ,Z,Z2 2的距離的距離(1)|z(1)|z(1+2i)|(1+2i)|(2)|z+(1+2i)|(2)|z+(1

6、+2i)| 已知復(fù)數(shù)已知復(fù)數(shù)z z對應(yīng)點對應(yīng)點A,A,說明下列各說明下列各式所表示的幾何意義式所表示的幾何意義. .點點A A到點到點(1,2)(1,2)的距離的距離點點A A到點到點( (1, 1, 2)2)的距離的距離(3)|z(3)|z1|1|(4)|z+2i|(4)|z+2i|點點A A到點到點(1,0)(1,0)的距離的距離點點A A到點到點(0, (0, 2)2)的距離的距離1 1、|z|z1 1|= |z|= |z2 2| |平行四邊形平行四邊形OABCOABC是是2 2、| z| z1 1+ z+ z2 2| |= = | z | z1 1- z- z2 2| |平行四邊形平行

7、四邊形OABCOABC是是3 3、 |z|z1 1|= |z|= |z2 2| |，| z| z1 1+ z+ z2 2| |= = | z | z1 1- z- z2 2| |平行四邊形平行四邊形OABCOABC是是z1z2z1+z2oz2-z1ABC菱形菱形矩形矩形正方形正方形3、復(fù)數(shù)加減法的幾何意義應(yīng)、復(fù)數(shù)加減法的幾何意義應(yīng)用用2 2、復(fù)數(shù)的乘法法則：、復(fù)數(shù)的乘法法則： 設(shè)設(shè) ， 是任意兩個復(fù)數(shù)，是任意兩個復(fù)數(shù)，那么它們的積那么它們的積biaz 1dicz 2任何任何 ，Czzz 321,交換律交換律1221zzzz 結(jié)合律結(jié)合律)()(321321zzzzzz 分配律分配律312132

8、1)(zzzzzzz ibcadbdacdicbia)()( 3、復(fù)數(shù)的乘方：、復(fù)數(shù)的乘方：對任何對任何 及及 ，有，有Czzz 21, Nnm,nmnmzzz mnnmzz )(nnnzzzz2121)( 12 iiiii 23134 iiiiiii 1特殊的有：特殊的有：iiiiiinnnn 3424144, 1, 1一般地，如果一般地，如果 ，有，有 NnnZ例例.計算計算)2)(43)(21 (iii解解:iiiiii1520)2)(211()2)(43)(21 (復(fù)數(shù)的乘法與多項式的乘法是類似的復(fù)數(shù)的乘法與多項式的乘法是類似的,但必須但必須在所得的結(jié)果中把在所得的結(jié)果中把i2換成換成

9、-1,并且把實部合并并且把實部合并.兩個復(fù)數(shù)的積仍然是一個復(fù)數(shù)兩個復(fù)數(shù)的積仍然是一個復(fù)數(shù).22.:()()( ,).abi abiab a bR例證明兩個復(fù)數(shù)的和與積都是實數(shù)的充要條件是,這兩個復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù). :a-biZ在復(fù)平面內(nèi)在復(fù)平面內(nèi),如果點如果點Z表示復(fù)數(shù)表示復(fù)數(shù) z ,點點 表表示復(fù)數(shù)示復(fù)數(shù) ,那么點那么點Z和和 關(guān)于實軸對稱關(guān)于實軸對稱.ZZZ復(fù)平面內(nèi)與一對共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點復(fù)平面內(nèi)與一對共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點Z 和和 關(guān)于實軸對稱關(guān)于實軸對稱.ZxyoxyoZ :a+bib-b :a-biZZ :a+bib-b 例例 已知復(fù)數(shù)已知復(fù)數(shù) 是是 的共軛復(fù)數(shù)，求的共軛復(fù)數(shù)，求x的值的值

10、222(32)xxxxii204 解：因為解：因為 的共軛復(fù)數(shù)是的共軛復(fù)數(shù)是 ， 根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，可得根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，可得i204 i204 .2023 , 4222xxxx 6323xxxx或或或或解得解得所以所以 3 x4.4.復(fù)數(shù)的除法法則復(fù)數(shù)的除法法則 先把除式寫成分式的形式先把除式寫成分式的形式, ,再把分子與分母都再把分子與分母都乘以分母的共軛復(fù)數(shù)乘以分母的共軛復(fù)數(shù), ,化簡后寫成代數(shù)形式化簡后寫成代數(shù)形式( (分母分母實數(shù)化實數(shù)化).).即即分母實數(shù)化分母實數(shù)化dicbiadicbia)()()()(dicdicdicbia22)()(dciadbcbdac(0).cdi

11、2222acbdbcadicdcd例例. .計算計算)43()21 (ii解解:iiii4321)43()21 ()43)(43()43)(21 (iiii2510543468322iiii5251先寫成分式形式先寫成分式形式 化簡成代數(shù)形式就得結(jié)果化簡成代數(shù)形式就得結(jié)果. 然后然后分母實數(shù)化分母實數(shù)化即可運算即可運算.(一般分子分母同時乘一般分子分母同時乘以分母的共軛復(fù)數(shù)以分母的共軛復(fù)數(shù))練習(xí)練習(xí).計算計算: (1+i)2= _; (1-i)2= _;_;11_;11iiii._)11(2000ii2i-2ii-i11.復(fù)數(shù)加減法的運算法則復(fù)數(shù)加減法的運算法則2 2、復(fù)數(shù)的乘法法則、復(fù)數(shù)的乘法法則3、復(fù)數(shù)的乘法運算律、復(fù)數(shù)的乘法運算律4、復(fù)數(shù)的除法法則復(fù)數(shù)的除法法則5、復(fù)數(shù)的一個重要性質(zhì)復(fù)數(shù)的一個重要性質(zhì)兩個共軛復(fù)數(shù)兩個共軛復(fù)數(shù)z,z的積