一些很有趣的概率學(xué)問題

1、說到概率，有些好玩的東西不得不提。比如，你知道嗎，23 個人中至少兩個人生日相同的概率竟然超過了1/2；假如你們班上有50個人的話，那更不得了，至少兩人生日相同的概率達到97% ！如果你會計算這個概率問題的話，你可以親自證實這一點。本文適宜的讀者是知道上述問題怎么算的高中朋友，上述問題也是高中階段學(xué)的一些基本概率知識。上面的問題都是簡單概率，它包含了一個最基本的原則，即使沒有系統(tǒng)地學(xué)習(xí)過，平常人們也都在無形之中使用它：概率等于你要算的東西除以總的數(shù)目。比如。我們要計算23 個人中任何兩個人都不在同一天生的概率。假設(shè)2 月 29日與其它日期出現(xiàn)概率相同的話(這是為了便于計算我們做出的假設(shè)，它有悖

2、于常理)，那么它的概率為A(366,23)/36623。它約為。因此，至少兩人在同一天生的概率為=。 當(dāng)然， 對于 “你要算的東西除以總的數(shù)目”的認識是片面的，比如 “投兩個骰子出現(xiàn)的數(shù)字和從2 到 12 共有 11 種可能， 問數(shù)字和大于10 的概率 ”這一問題的答案并不是2/11 ，因為這11 個點數(shù)和出現(xiàn)的概率不是相等的，我們只能從投出的兩個數(shù)字共6*6=36種情況中進行統(tǒng)計，可能的情況只有(5,6)、 (6,5)和 (6,6)(不會有人說還有(6,7)之類的吧)，答案應(yīng)該是3/36=1/12。這些都是廢話，我不細說了。但是， 你有想過這個問題嗎：要是這些數(shù)目是無窮的怎么辦換句話說，統(tǒng)計

3、的東西不是“離散 ”的怎么辦比如看這樣一個問題。明天早上我要和MM 約會， 但是具體見面時間我忘了，好像是8:00-9:00的某個時候。那么我隨便在這個時段中選一個時間去等MM ， 最多等她半個小時，正好能見到MM 的概率是多少(假設(shè) MM 先到的話不會等我)。這個問題和我們平時見到的問題不同的地方在于，它的 “情況 ”是連續(xù)的，不是離散的，不能逐一統(tǒng)計數(shù)目。咋辦呢我們注意到，我的時間隨機取一個，MM 的時間隨機取一個，對于某些組合我們是有緣分的(這些組合無窮多)。這些組合正好對應(yīng)了平面區(qū)域上的點。就是說，搞一個橫坐標表示我的時間，縱坐標表示MM 的時間，那么肯定能畫出那么一塊區(qū)域，區(qū)域里的所

4、有點(x,y)對應(yīng)所有我和MM 可能相見的組合。任何一個時間組合有多大的可能落在這個區(qū)域呢由于在矩形區(qū)域內(nèi)點(x,y)是均勻分布的，我們只需要計算一個面積之比就行了。下圖中顯而易見，答案是3/8。一個類似的問題是Buffon 投針實驗。有一個人，叫Buffon。他在地板上畫了很多間隔相同的平行線，然后叫了一幫狐朋狗友來，把一些長度相同的針扔在地上。 然后， 他統(tǒng)計有多少針和地板上的線相交，并宣稱可以得到圓周率 的值。換句話說，一根針投到間隔相同的平行線中，與平行線相交的概率和 有關(guān)。 我們時常感到數(shù)學(xué)的神奇之處，比如當(dāng)這個 在很多不該出現(xiàn)的場合莫明其妙的出現(xiàn)時。 例如， Stirling近似公

5、式 （黑書上的這個公式寫錯了）出現(xiàn)了 值： n! sqrt（2 n）* （n/e）n （ sqrt 是開方的意思）。再比如，兩個整數(shù)互質(zhì)的概率是6/（ 2，而 ）無窮級數(shù)1+1/4+1/9+1/16+.=（ 2。當(dāng)然，還有最神奇的）/6e（ i）+1=?，F(xiàn)在，0又出現(xiàn)在了這樣一個看似與圓周率更加沒有關(guān)系的概率問題中：針與線相交的概率為兩倍針的長度除以平行線的間隔再除以 。 這個結(jié)論的證明和剛才我等MM的問題是一樣的。建立這樣一個坐標系，x 軸是針的中點到離它最近的那根平行線的距離，y軸是針與平行線的夾角。我們一定能做出這樣一塊“可行區(qū)域 ”，這塊可行區(qū)域中的點（x,y）所對應(yīng)的針的位置和平行線

6、相交。然而，這塊區(qū)域的面積并不像剛才那么簡單，它是由一些方程圍出來的圖形，求這塊區(qū)域的面積需要使用定積分。這里就不再接著說了，反正能求出來。有這么一個笑話。據(jù)說一個飛機上有炸彈的概率為十萬分之一，但某人并不認為這個概率很小。概率小畢竟意味者可能，每天航班這么多，十萬分之一確實不是一個小數(shù)目。因此，這個人從來不敢坐飛機。有一次，他居然和朋友上了飛機，朋友吃驚地問，你咋不害怕了。他說，飛機上有一個炸彈的概率不是十萬分之一么那么飛機上同時有兩個炸彈的概率就是一百億分之一了，對吧。朋友說，對，一百億分之一已經(jīng)很小了。這人說，那好，我自己已經(jīng)帶了一顆炸彈上來。從沒聽過這個笑話的人或許會笑笑說那人真傻，但

7、仔細想想似乎自己解釋一下也很困難。這涉及到了條件概率，這在高中課本里（至少在我的高中課本里）沒有說過，你把書翻爛了都找不到。條件概率，顧名思義，就是有條件的概率。比如，有兩個炸彈的概率和知道已經(jīng)有一個炸彈后存在兩個炸彈的概率是不同的。假如我們把有兩個炸彈的概率記作P（兩個炸彈）=百億分之一，那么后一個問題就是P（兩個炸彈| 已經(jīng)有一個炸彈了）。記號P（A|B）就表示在B已經(jīng)發(fā)生了的情況下，A的概率是多少。后面我們可以知道，它仍然等于十萬分之一。換一個問題。還記得最前面我們說的“投兩個骰子出現(xiàn)的數(shù)字和大于10 的概率 ”這個問題嗎它的答案是3/36?，F(xiàn)在改一下，如果我們事先就知道至少有一個骰子是

8、 6 點。那么概率變成多少了（或者問概率變了沒有）很顯然，多了一個條件， 概率肯定變大了，笨蛋都知道如果有一個骰子搞出那么大一個點數(shù)，那贏的幾率肯定增加了。關(guān)鍵在于，前面分析過數(shù)字和大于10 的情況只有(5,6)、 (6,5)和 (6,6)，它們本來就含有6 啊，為什么概率變了。仔細思考發(fā)現(xiàn)，原來是總的情況變少了。原來總的情況是36 種，但如果知道其中一個骰子是6 點的話，情況數(shù)就只有11 種了。概率變成了3/11 ，大了不少。我們還需要補充，如果把我們“至少有一個骰子是6點 ”換成 “至少有一個骰子是5點 ”的話， 總的情況數(shù)還是11，但 3/11 將變成 2/11 ，因為有一種情況(6,6

9、)不滿足我的已知條件。我們可以純粹用概率來描述這一個思考過程。如果P(E)表示點數(shù)和大于10 的概率，P(F)表示至少有一個5 點的概率，那么我們要求的是P(E|F)，即已知F發(fā)生了，求E發(fā)生的概率。 于是 P(E|F)=P(E F)/P(。F這就是條件概率的公式。)簡單說明一下就是，EF表示滿足E的情況和滿足F的情況的交集，即同時滿足E和 F的所有情況。P(E F)就是 E 和 F 同時發(fā)生的概率。這個公式使用原來的非條件概率(總情況數(shù)目還是36 時的概率)之比來表示條件概率(相當(dāng)于分式同時除以一個數(shù)，就如P(E|F)=2/11=(2/36)/(11/36) 。 回到炸彈問題上，P(A|B)

10、就應(yīng)該等于出現(xiàn)兩個炸彈的概率除以出現(xiàn)一個炸彈，他仍然等于一個炸彈的概率。高中課本里對“獨立事件 ”的定義是模糊的。其實，現(xiàn)在我們可以很好地給獨立事件下定義。如果事件E 和事件 F 獨立， 那么 F 就不能影響E， 于是P(E|F)=P(E。)把P(E|F)展開，就成了P(E F)/P(F)=P(，也即E)P(E F)=P(E)*P(。這不就是F)“兩個獨立事件同時發(fā)生的概率”的計算公式么。條件概率的應(yīng)用很廣泛，下面舉個例子。有兩個人，他們每三句話只有一句是真的(說真話的概率是1/3)。其中一個人說，MatCKQ是女的。另一個人說，對。那么，MatCKQ的確屬于女性的概率是多少？這是一個條件概率

11、問題。如果P(E)表示MatCKQ是女性的概率，P(F)表示第二個人說 “對 ”的概率，那么我們要求的就是P(E|F)，即在第二個人回答后的情況下第一個人說的話屬實的概率。按照公式，它等于P(E F)/P(F。 ) P(E F是說， )MatCKQ是女的，第二個人也說對，表示的實際意義是兩個人都說的真話，他的概率是 1/3 * 1/3=1/9 。 P(F)表示第二個人說“對 ”的概率，這有兩種情況，有可能他說對是因為真的是對的(也即他們倆都說真話)，概率仍是1/9；還有一種可能是前一個人撒謊，第二個人也跟著撒謊。他們都說謊的可能性是2/3 * 2/3 =4/9 。沒有別的情況會使第二個人說“對

12、 ”了，因此P(F)=1/9+4/9=5/9。按照條件概率的公式， P(E|F)=P(E F)/P)(=F(1/9) / (5/9)=1/5。后面我們接著說，這其實是Bayes定理的一個非常隱蔽的形式。再來看 Monty Hall 問題， 這個問題最初發(fā)表在美國的一個雜志上。美國有一個比較著名的雜志叫Parade，它的官方網(wǎng)站是。這個雜志里面有一個名字叫做AskMarylin 的欄目，是那種“有問必答”之類的一個Q&A式欄目。 96 年的時候，一個叫的人給這個欄目寫了這么一個問題。這個問題被稱為Monty Hall Dilemma 問題。他這樣寫到：Suppose you're

13、 on a game show, and you're given the choice of three doors. Behind one door is a car, behind the others, goats. You pick a door, say number 1, and the host, who knows what's behind the doors, opens another door, say number 2, which has a goat. He says to you, "Do you want to pick door

14、number 3" Is it to your advantage to switch your choice of doors？這個問題翻譯過來，就是說，在一個游戲中有三個門，只有一個門后面有車，另外兩個門后面是羊。你想要車，但你不知道哪一個門后面有車。主持人讓你隨便選了一個門。比如說，你選擇了1 號門。但你還不知道你是否選到了車。然后主持人打開了另一扇門，比如2 號。 你清楚地看到2 號門后面是一只羊?，F(xiàn)在主持人給你一個改變主意的機會。請問你是否會換選成3 號門？對于這個問題，Marylin 的回答是：應(yīng)該換，而且換了后得到車的概率是不換的2 倍。對于這個問題，十年來涌現(xiàn)出了無數(shù)

15、總也想不通的人，有一些沖在最前線的戰(zhàn)士以宗教般的狂熱傳播他們的思想。為了說服這些人，人們發(fā)明創(chuàng)造了十幾種說明答案的方法，畫表格，韋恩圖，決策樹，假設(shè)法，捆綁法（我的那篇日志里也提到一種最常見的解釋方法）， 但是都沒用。這群人就是不相信換了拿到車的概率是2/3。他們始終堅定地認為，換與不換的概率同為1/2。下面，我們用一個更科學(xué)的方法來計算換了一個門后有車的概率。我們使用剛才學(xué)習(xí)的條件概率。上面的圖表形象地表明了打開某個門的概率是幾分之幾。橫坐標是選擇的第幾個門，縱坐標是門后面車與羊的排列。對于有些情況(非主對角線上的格子)，主持人打開哪個門只有一種選擇，我們把它標在這個格子上；對于對角線上的格

16、子，打開門有兩種選擇，這兩種選擇出現(xiàn)的幾率相等，因此我們用一條斜線劃開。現(xiàn)在，還是假設(shè)我們選了1 號門，那么此時我選到車的概率顯然是1/3，同時，這個車在 2 號門后面的概率也是1/3， 在 3 號門后面仍為1/3。 當(dāng)主持人打開了第2扇門后， 我們需要計算一下這導(dǎo)致原來的這些1/3 都變成了什么。我們要求在已經(jīng)知道主持人亮出二號門后面的羊后車在這三個門后面的概率分別是多少。由于我 “最初選擇1 號門 ”是整個問題的一個假設(shè)(大前提)，因此對概率的計算只在我們圖表中的第一列進行。我們用事件A、 B、 C分別表示車在1、 2、 3 號門后的概率，事件D 表示主持人打開了2 號門。在第一列中，打開

17、2 號門的情況占了一格半，因此P(D)=3。 AD和CD的部分分別用灰色和紫色畫了出來，BD顯然為空集。于是，P(A|D)=P(A D)/P(D)=3) / 3)=1/，結(jié)果31 號門后面有車的概率仍然是1/3。顯然，P(B|D)變成 0 了，因為P(B D)=0， B 和 D 根本不可能同時發(fā)生。我們驚奇地發(fā)現(xiàn)，3 號門后面有車的概率從1/3 增加到了2/3，因為P(C|D)=P(C D)/P(D)=(1/3) / 3)=2。我們使用條件概率從理論上再一次得到了這/3個雷打不動的事實。我們最后看一個問題。這個問題是條件概率的終極應(yīng)用，是概率學(xué)中一個最重要，應(yīng)用最廣的東西。把下面這個問題搞明白

18、了，從此對概率學(xué)的學(xué)習(xí)就真正入門，可以擺脫 “初級 ”、 “菜鳥 ”的稱號了。這就是傳說中的Bayes定理。我已經(jīng)寫了五千字了，不想再寫了，這保證是我想說的最后一個東西。首先你得知道，P(A|B)和P(B|A)是截然不同的兩個概念。有些條件概率，正著算P(A|B)容易，把條件反過來算P(B|A)卻無從下手，而人們往往更加關(guān)心P(B|A)。生活中有很多這樣的例子，我們小舉一個。某個地區(qū)性病傳播飛快，性病患者高達15%。 醫(yī)院臨床實驗表明，對有性病的人檢測，有95%的人顯陽性；對沒有性病的人檢測，有2%的人陽性?，F(xiàn)在，假如某個人搞了一個小MM ，突然有點擔(dān)心，跑到醫(yī)院去檢測，查出了陽性。那么他確實

19、有性病的概率是多少？假如事件A是顯陽性，B是有性病，我們可以看到在現(xiàn)實生活中P(A|B)比 P(B|A)更容易得到。P(A|B)表示對有性病的人進行檢測搞出陽性的概率，這可以通過醫(yī)院里的抽樣統(tǒng)計得到，題目中已經(jīng)說了是95%。但是，P(B|A)就不好說了，它表示對于某個人來說，顯陽性意味者真的有性病的概率是多少。這是針對個人的，統(tǒng)計資料通常沒有這一項，但人們卻往往更關(guān)心這個問題。事實上， 我們可以通過已有的條件把P(B|A)算出來。把P(B|A)展開，它等于P(B A)/P(A，而因為)P(A|B)=P(A B)/P(，把 B) P(B)乘過去，得到P(B A)=P(A B)=P(A|B)*P。我們把(B)分子的部分轉(zhuǎn)換成了已知量P(A|B)和 P(B)的乘積，它等于95% * 15%。那么P(A)怎么算呢P(A)是由兩種情況構(gòu)成的，可能是有性病的人顯的陽性，即P(A B；)也可能是沒有性病的人顯的陽性，即P(A B)。B 表示 B 的補集，也可以在B上面畫一條橫線表示，我這里畫不出來，算