線性代數(shù)二次型講義

1、2021/8/61通識教育平臺數(shù)學(xué)課程系列教材通識教育平臺數(shù)學(xué)課程系列教材2021/8/622021/8/631 1了解二次型及其矩陣表示。了解二次型及其矩陣表示。2 2會用正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。知道化會用正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。知道化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的配方法。二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的配方法。3 3知道慣性定律、二次型的秩、二次型的正定知道慣性定律、二次型的秩、二次型的正定性及其判別法。性及其判別法。本章學(xué)習(xí)要求：本章學(xué)習(xí)要求：對于概念和理論方面的內(nèi)容，從高到低分別用“理解”、“了解”、“知道”三級來表述；對于方法，運算和能力方面的內(nèi)容，從高到低分別用“熟練掌握”、“掌握”、“能”（或“會”）

2、三級來表述。2021/8/64 二次型就是二次多項式二次型就是二次多項式. 在解析幾何中討論的有心二在解析幾何中討論的有心二次曲線次曲線, 當(dāng)中心與坐標(biāo)原點重合時當(dāng)中心與坐標(biāo)原點重合時, 其一般方程是其一般方程是 ax2+2bxy+cy2=f (1) 方程的左端就是方程的左端就是x,y的一個二次齊次多項式的一個二次齊次多項式. 為了便于為了便于研究這個二次曲線的幾何性質(zhì)研究這個二次曲線的幾何性質(zhì), 通過基變換通過基變換(坐標(biāo)變換坐標(biāo)變換), 把把方程方程(1)化為不含化為不含x,y混合項的標(biāo)準(zhǔn)方程混合項的標(biāo)準(zhǔn)方程 ax2+cy2=f (2)在二次曲面的研究中也有類似的問題在二次曲面的研究中也有

3、類似的問題.2021/8/65考察：方程考察：方程172137210721322yxyx表示表示 x y 平面上一條怎樣的曲線？圖形如何？平面上一條怎樣的曲線？圖形如何？將將 x y 坐標(biāo)系逆時針旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系逆時針旋轉(zhuǎn)/4，即令，即令,2222,2222vuyvux則得此曲線在新的則得此曲線在新的 u v 坐標(biāo)系下的方程坐標(biāo)系下的方程. 19422vu2021/8/66上述問題從幾何上看，就是通過坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)，消去式子上述問題從幾何上看，就是通過坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)，消去式子中的交叉項，使之成為標(biāo)準(zhǔn)方程中的交叉項，使之成為標(biāo)準(zhǔn)方程.而其中坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)所表示的線性變換是正交變換而其中坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)所表示的線性變

4、換是正交變換. .綜上所述，從代數(shù)學(xué)的角度看，上述過程是通過正交變綜上所述，從代數(shù)學(xué)的角度看，上述過程是通過正交變換將一個二次齊次多項式化為只含有平方項的二次多項換將一個二次齊次多項式化為只含有平方項的二次多項式式.二次型就是二次齊次多項式二次型就是二次齊次多項式.2021/8/67定義定義第七章 二次型與二次曲面二次齊次多項式二次齊次多項式f (x, y, z) = a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2 a13xz + 2 a23yz稱為稱為 其中其中aij 為實常數(shù)為實常數(shù). 取取 a21 = a12 , a31 = a13 , a32 = a23 ,從而從

5、而, , 2a12xy = a12xy + a21yx , 2a13xz = a13xz + a31zx ,2a23yz = a23yz + a32zy .f = a11x2 + a12xy + a13xz + a21yx + a22y2 + a23yz + a31zx + a32zy + a33z2 = x (a11x + a12y + a13z) + y (a21x + a22y + a23z)+ z (a31x + a32y + a33z)2021/8/68第七章 二次型與二次曲面zayaxazayaxazayaxazyx333231232221131211),(zyxaaaaaaaaa

6、zyx ),(333231232221131211= XT AX .稱稱 A 為二次型為二次型 f 的矩陣，它是一個對稱矩陣的矩陣，它是一個對稱矩陣.三元實二三元實二 次型次型 f三階實對稱矩陣三階實對稱矩陣 A一一對應(yīng)一一對應(yīng)AX2021/8/69例 2第七章 二次型與二次曲面例 1. .26252 222fAxzyzxyzyxf并并用用矩矩陣陣形形式式表表示示的的矩矩陣陣寫寫出出A. 531321111 ),(zyxzyxf125113311上一頁2021/8/610例 2第七章 二次型與二次曲面上一頁.42222yzxzxyyxzyxzyxf22122101211 ),(例 2若二次型若

7、二次型 f 的矩陣為的矩陣為22122101211A試寫出試寫出 f .2021/8/611例 2第七章 二次型與二次曲面練習(xí). .3243 222fAyzxyzyxf并并用用矩矩陣陣形形式式表表示示的的矩矩陣陣寫寫出出A.42302331011),(zyxzyxf一頁2021/8/612例 2第七章 二次型與二次曲面上一頁.22232222xzxyzyxzyxzyxf302021211 ),(練習(xí)若二次型若二次型 f 的矩陣為的矩陣為302021211A試寫出試寫出 f .2021/8/613定義定義1 1第七章 二次型與二次曲面稱稱 n 元實二次齊次式元實二次齊次

8、式nnnxxaxxaxaxxxf11211221112122),(nnxxaxa22222222nnnxa為為 記記 aij = aji, 則則ninjjiijnxxaxxxf1121),()(1,njijiijxxa或或記記 X = ( x1, x2, , xn)T, A =( aij )n n , 則則f ( x1, x2, , xn) = X TAX ,其中其中 A 稱為二次型的矩陣，稱為二次型的矩陣，2021/8/614第七章 二次型與二次曲面 由于由于aij = aji , 所以所以 A T= A , A中中 aii 是是 xi2 的系數(shù)的系數(shù), aij 是交叉項是交叉項 xixj

9、系數(shù)的一半系數(shù)的一半.注注: :n 元實二次型元實二次型 fn 階實對稱矩陣階實對稱矩陣 A一一對應(yīng)一一對應(yīng)定義定義2 2稱只含平方項的二次型稱只含平方項的二次型 為為niiixf12n 元標(biāo)準(zhǔn)二次型元標(biāo)準(zhǔn)二次型 fn 階對角階對角 矩矩 陣陣一一對應(yīng)一一對應(yīng)2021/8/615第七章 二次型與二次曲面二次型二次型 f = X TAX 經(jīng)過滿秩線性變換經(jīng)過滿秩線性變換 X = CY 后后還是二次型嗎還是二次型嗎?對于二次型對于二次型 f = X TAX ，作滿秩變換，作滿秩變換 X = CY ,則則 f = X TAX = (CY )TA(CY) = Y T(C TAC ) Y .而而 (C

10、TAC )T = C TAT(C T )T = C TAC ,所以所以 f = Y T(C TAC ) Y 仍是關(guān)于新變量仍是關(guān)于新變量 Y 的二次型的二次型, 且二次型的矩陣為對稱矩陣且二次型的矩陣為對稱矩陣 B=C TAC .滿秩變換滿秩變換 X = CYf = X TAXF = Y TBY B = C TAC2021/8/616定義定義3 3第七章 二次型與二次曲面對于對于 n 階實對稱矩陣階實對稱矩陣 A 和和 B ，若存在可逆矩，若存在可逆矩陣陣 P 使使P TAP = B則則，記作記作 A B因此，二次型經(jīng)滿秩線性變換后所得的新二次型，因此，二次型經(jīng)滿秩線性變換后所得的新二次型，其

11、矩陣與原二次型的矩陣是合同的其矩陣與原二次型的矩陣是合同的.上一頁合同矩陣的性質(zhì)：合同矩陣的性質(zhì)：.,)3(;)2(;) 1 (CACBBAABBAAAXTAXYTBY經(jīng)滿秩的線性變換經(jīng)滿秩的線性變換 X=PYAB左乘以左乘以PT且右乘以且右乘以P2021/8/617定義定義如果滿秩變換如果滿秩變換 X = CY 將二次型將二次型 f = X TAX 化成了標(biāo)準(zhǔn)二次型化成了標(biāo)準(zhǔn)二次型, niiiy12niiiy12 則則稱稱 的一個的一個為為 f = X TAX上一頁這樣的矩陣這樣的矩陣 C 是否存在？是否存在？定理定理1 1對任意的實二次型對任意的實二次型 f =XTAX, 一定存在滿秩一定

12、存在滿秩線性變換線性變換 X=CY, 使二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形使二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形.推論推論 1 1任意給定一個實對稱矩陣任意給定一個實對稱矩陣A, 一定存在可逆矩陣一定存在可逆矩陣 C, 使得使得 CTAC 為對角矩陣為對角矩陣.2021/8/618定義定義設(shè)設(shè) 是是 n 維歐氏空間維歐氏空間 Rn 上的線性變換，若對上的線性變換，若對任意的任意的 X, Y Rn, 有有| (X) (Y ) | = | X Y | , 則稱則稱 為為 Rn 上的上的第七章 二次型與二次曲面定理定理設(shè)設(shè) 是歐氏空間是歐氏空間 Rn 上的線性變換，則下列四上的線性變換，則下列四個條件等價個條件等價(互為充分必要條件互為

13、充分必要條件) .(1) 為正交變換為正交變換 .(2) 把把 Rn 的標(biāo)準(zhǔn)正交基變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)正交基的標(biāo)準(zhǔn)正交基變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)正交基 .(3) | ( )| = | |, Rn ( 保持向量長度不變保持向量長度不變 ) .(4) ( (X ), (Y ) = ( X, Y ) ( 保內(nèi)積不變保內(nèi)積不變 ) .2021/8/619定義定義正交變換在標(biāo)準(zhǔn)正交基下所對應(yīng)的矩陣正交變換在標(biāo)準(zhǔn)正交基下所對應(yīng)的矩陣稱為稱為第七章 二次型與二次曲面定理定理 A 是正交矩陣是正交矩陣 ATA=E ( 或或AAT = E ) .正交矩陣有如下性質(zhì)：正交矩陣有如下性質(zhì)：定理定理 定理定理 設(shè)設(shè) A 是正交矩陣是正交矩陣 ，

14、則，則(1) | A | = 1 .(2) A 1 =AT .設(shè)設(shè) A 是正交矩陣是正交矩陣 A 的列的列(行行)向量組向量組為相互正交的單位向量組為相互正交的單位向量組.2021/8/620定理定理 1 1實對稱方陣的特征值都是實數(shù)實對稱方陣的特征值都是實數(shù) . .證證設(shè)設(shè) 是實對稱方陣是實對稱方陣 A 的特征值，的特征值，X 是對應(yīng)的特征是對應(yīng)的特征向量，即向量，即. 0,XXAX 邊邊同同時時取取共共軛軛，則則得得到到的的向向量量，將將方方程程兩兩數(shù)數(shù)后后的的所所有有分分量量換換成成共共軛軛復(fù)復(fù)表表示示將將向向量量用用XX. 0,XXXA 將上式兩邊同時轉(zhuǎn)置，由將上式兩邊同時轉(zhuǎn)置，由 A

15、 的對稱性，得的對稱性，得.TTXAX 而而,)(XXXXAXXTTT 因此，因此，., 0)(為實數(shù)為實數(shù)即即 XXT2021/8/621定理定理 2 2實對稱方陣的不同的特征值對應(yīng)的特征向量實對稱方陣的不同的特征值對應(yīng)的特征向量必正交必正交. .證證 設(shè)設(shè) 1,2 是實對稱方陣是實對稱方陣 A 的兩個不同的特征值，的兩個不同的特征值，X1, X2 是對應(yīng)的特征向量，即是對應(yīng)的特征向量，即.,222111XAXXAX 因為因為 A 的對稱性，得的對稱性，得21212AXXXXTT 21)(XAXT211)(XXT ,211XXT 從而，從而，, 0)(2121XXT 因此，因此，., 021

16、21正交正交即即XXXXT2021/8/622定理定理 3 3 若若 是是 n 階實對稱方陣階實對稱方陣 A 的的 k 重特征值，則重特征值，則 A 對應(yīng)于對應(yīng)于 的線性無關(guān)特征向量的最大個數(shù)均為的線性無關(guān)特征向量的最大個數(shù)均為 k .實對稱方陣相似于一實對稱方陣相似于一 個對角陣嗎？個對角陣嗎？回答是肯定的！回答是肯定的！單擊單擊 此處此處 可查閱進(jìn)一步內(nèi)容可查閱進(jìn)一步內(nèi)容定理定理 4 4對于任一個對于任一個n 階實對稱方陣階實對稱方陣 A, 必存在一個正必存在一個正交方陣交方陣 P 使使 PTAP 為對角形，且為對角形，且 PTAP 的對角線的對角線上的元素均為上的元素均為 A 的的 n

17、個特征值個特征值( 重數(shù)計算在內(nèi)重數(shù)計算在內(nèi)), P 的列向量為相應(yīng)于的列向量為相應(yīng)于 n 個特征值的標(biāo)準(zhǔn)正交特征個特征值的標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量向量.2021/8/623證證設(shè)實對稱方陣設(shè)實對稱方陣 A 的特征值為的特征值為n 21（重根計算在內(nèi)），則由定理（重根計算在內(nèi)），則由定理3 知，知，.21的的特特征征向向量量個個正正交交向向量量仍仍是是對對應(yīng)應(yīng)于于所所得得的的量量，將將它它們們正正交交化化，個個線線性性無無關(guān)關(guān)的的實實特特征征向向恰恰有有，重重特特征征值值的的某某個個對對于于 kkkAkiii且且化化特特征征向向量量個個兩兩兩兩正正交交的的單單位位將將其其單單位位化化得得到到的的特特征

18、征向向量量個個兩兩兩兩正正交交的的個個特特征征值值，可可得得到到因因此此，對對應(yīng)應(yīng)于于,.21nnnA )., 2 , 1(niAiii 為為正正交交矩矩陣陣，即即則則令令QQn),(21 .1 QQT2021/8/624記記n 21),(21nAAAAQ ),(2211nn nn 2121),(.QA從而，從而，.個個特特征征值值的的為為為為對對角角陣陣，且且對對角角元元恰恰nAAQQT2021/8/625定理定理 5 5任意一個任意一個 n 元實二次型元實二次型AXXxxxfTn),(21,11ninjjiijxxa都存在正交變換都存在正交變換 X = QY 使得使得其中其中 1, 2,

19、, n 就是就是 A 的全部特征值的全部特征值, Q 的的 n 個列向量是個列向量是 A 的對應(yīng)于特征值的對應(yīng)于特征值 1 , 2, , n 的標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量的標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量.,2222211nnTyyyAXXf 2021/8/626第七章 二次型與二次曲面例 1求正交矩陣求正交矩陣 Q 使使 QTAQ 成對角形矩陣，并求此成對角形矩陣，并求此對角形矩陣對角形矩陣.320230002A其中其中 320230002|AE= ( 2)( 2 6 + 5 ) = 0 ,A 的特征值為的特征值為 1 = 1, 2 = 2, 3 = 5. 1 = 1 時時, 由由 (E A)X = 0, 即即, 0

20、220220001321xxx上一頁2021/8/627第七章 二次型與二次曲面解得對應(yīng)的特征向量為解得對應(yīng)的特征向量為 1 = (0, 1, 1)T; 2 = 2 時時, 由由 (2E A)X = 0, 解得對應(yīng)的特征向量為解得對應(yīng)的特征向量為 2 = (1, 0, 0)T ; 3 = 5 時時, 由由 (5E A)X = 0, 解得對應(yīng)的特征向量為解得對應(yīng)的特征向量為 3 = (0, 1, 1)T.上一頁將將 1, 2, 3 單位化，得單位化，得,)21,21, 0(01T ,)0, 0, 1 (02T .)21,21, 0(03T 故所求的正交變換矩陣為故所求的正交變換矩陣為2021/8

21、/6282121Q =021211000對對應(yīng)應(yīng)于于特特征征值值1 1對對應(yīng)應(yīng)于于特特征征值值2 2對對應(yīng)應(yīng)于于特特征征值值5 5且且.500020001Q TAQ =第七章 二次型與二次曲面上一頁2021/8/629第七章 二次型與二次曲面1. 寫出二次型寫出二次型 f 的矩陣的矩陣 A, 并求并求 A 的全部特征值的全部特征值 1, 2, , n ( 重數(shù)計算在內(nèi)重數(shù)計算在內(nèi) ) . 2. 求出各特征值的特征向量；若求出各特征值的特征向量；若 i 是是 k 重根時，重根時，找出找出 i 的的 k 個線性無關(guān)的特征向量，并用施特正個線性無關(guān)的特征向量，并用施特正交化方法將它們正交化交化方法將

22、它們正交化.步驟：步驟：3. 將所得的將所得的 n 個正交向量再單位化，得個正交向量再單位化，得 n 個兩兩正交個兩兩正交的單位向量的單位向量 P1, P2, , Pn , 記記 P = P1, P2, , Pn .則則 X = PY 為所求正交變換，為所求正交變換，f 的標(biāo)準(zhǔn)形為的標(biāo)準(zhǔn)形為.2222211nnyyyf 2021/8/630例 1求一個正交變換求一個正交變換 X=QY 化二次型化二次型434232413121222222xxxxxxxxxxxxf成標(biāo)準(zhǔn)形成標(biāo)準(zhǔn)形.二次型的矩陣二次型的矩陣,0111101111011110A 111111111111|EA).3() 1(3 A

23、的特征值是的特征值是 1 = 2 = 3 = 1, 4 = - -3.上一頁2021/8/631對于對于 4= -3,1111111111111111EA 從而可取特征向量從而可取特征向量 1= ( 1, 1, 0, 0)T , 2= ( 0, 0, 1, 1)T 和和 3 = ( 1, -1, 1, -1)T.上一頁對于對于 1 = 2 = 3 = 1, 0000000000001111通過求齊次線性方程組通過求齊次線性方程組 (A - -E)X=0, 得到其基礎(chǔ)解系得到其基礎(chǔ)解系并正交化并正交化: 3111131111311113EA 00001100101010012021/8/632從

24、而可取特征向量從而可取特征向量4 = ( 1, -1, -1, 1)T.將上述相互正交的特征向量單位化，得將上述相互正交的特征向量單位化，得,)0 , 0 ,21,21(1T ,)21,21, 0 , 0(2T ,)21,21,21,21(3T .)21,21,21,21(4T 則在正交變換則在正交變換432143212121210212121021210212121021yyyyxxxx下，二次標(biāo)準(zhǔn)形為下，二次標(biāo)準(zhǔn)形為.324232221yyyyf2021/8/633第七章 二次型與二次曲面例 2求一個正交變換化二次型求一個正交變換化二次型32312123222184444xxxxxxxxx

25、f成標(biāo)準(zhǔn)形成標(biāo)準(zhǔn)形. .二次型的矩陣二次型的矩陣,442442221AA 的特征多項式為的特征多項式為442442221|EA).9(2A 的特征值是的特征值是 1 = 2 = 0, 3 = 9.上一頁2021/8/634第七章 二次型與二次曲面對于對于 1= 2 = 0,442442221EA000000221從而可取特征向量從而可取特征向量 p 1= (0, 1, 1)T及與及與 p1 正交的另一特征向量正交的另一特征向量 p2 = (4, 1, 1)T.上一頁對于對于 3 = 9,542452228EA,000990542取特征向量取特征向量 p3 = (1, 2, 2)T.2021/8

26、/635第七章 二次型與二次曲面將上述相互正交的特征向量單位化，得將上述相互正交的特征向量單位化，得,)21,21, 0(1T ,)231,231,234(2T ,)32,32,31(3T 屬于特征屬于特征值值0屬于特征屬于特征值值9則存在正交變換則存在正交變換321321 32231213223121312340yyyxxx使二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形使二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形.923yf 上一頁2021/8/636練習(xí)第七章 二次型與二次曲面 已知二次型已知二次型)0(2332),(32232221321axaxxxxxxxf通過正交變換化成標(biāo)準(zhǔn)形通過正交變換化成標(biāo)準(zhǔn)形23222152yyyf求參數(shù)求參數(shù)

27、a 及有所用的正交變換矩陣及有所用的正交變換矩陣.二次型二次型 f 的矩陣的矩陣特征方程為特征方程為= ( 2)( 2 6 + 9 a2) = 0 ,A 的特征值為的特征值為 1 = 1, 2 = 2, 3 = 5 . 3030002 | aaAE,3030002aaA2021/8/637第七章 二次型與二次曲面將將 = 1 ( 或或 = 5 ) 代入特征方程，得代入特征方程，得a2 4 = 0, a = 2.因因 a 0, 故取故取 a = 2 .這時，這時，.320230002A 1 = 1 時時, 由由 (E A)X = 0, 即即, 0220220001321xxx解得對應(yīng)的特征向量為

28、解得對應(yīng)的特征向量為 1 = (0, 1, 1)T, 2 = 2 時時, 由由 (2E A)X = 0 ,解得對應(yīng)的特征向量為解得對應(yīng)的特征向量為 2 = (1, 0, 0)T,2021/8/638第七章 二次型與二次曲面 3 = 5時時, 由由 (5E A)X = 0 ,解得對應(yīng)的特征向量為解得對應(yīng)的特征向量為 3 = (0, 1, 1)T.將將 1, 2, 3 單位化，得單位化，得,)21,21, 0(01T,)0, 0, 1 (02T .)21,21, 0(03T故所求的正交變換矩陣為故所求的正交變換矩陣為2121T =021211000上一頁2021/8/639第七章 二次型與二次曲面

29、練習(xí)已知二次型已知二次型32312123222132166255),(xxxxxxcxxxxxxf的秩為的秩為 2, (1) 求參數(shù)求參數(shù) c 及此二次型對應(yīng)矩陣的特征值及此二次型對應(yīng)矩陣的特征值.(2) 指出方程指出方程 f (x1, x2, x3) = 1 表示何種二次曲面表示何種二次曲面.(1)此二次型對應(yīng)矩陣為此二次型對應(yīng)矩陣為.33351315cA,30012035133351315ccA因因 r(A) = 2, 解得解得 c = 3.2021/8/640第七章 二次型與二次曲面這時，這時， 333351315| AE= ( 4)( 9),故所求特征值為故所求特征值為 = 0, =

30、4, = 9.(2) 由上述特征值可知二次型由上述特征值可知二次型 f 通過變換，可化通過變換，可化為標(biāo)準(zhǔn)形為為標(biāo)準(zhǔn)形為,942322yyf那么那么 f (x1, x2, x3) = 1 表示橢圓柱面表示橢圓柱面.2021/8/641設(shè)設(shè) X = (x, y, z ) T ，則三元二次型，則三元二次型 XTAX 可以看作空間向量可以看作空間向量的函數(shù)，其中的函數(shù)，其中在標(biāo)準(zhǔn)基在標(biāo)準(zhǔn)基1，2，3下的坐標(biāo)就是下的坐標(biāo)就是 X .作滿秩線性變換作滿秩線性變換 X = CY ，所得新的二次型，所得新的二次型 YTCTACY 就是就是關(guān)于空間向量關(guān)于空間向量在另一組基在另一組基1，2，3下的坐標(biāo)下的坐標(biāo)

31、 的的二二次次齊齊次次式式，且且TzyxY),(.),(),(321321C 1AXXT1YYT同一空間曲面在不同空間直角坐標(biāo)系中的方程同一空間曲面在不同空間直角坐標(biāo)系中的方程2021/8/642第七章 二次型與二次曲面當(dāng)當(dāng) n = 1 時，二次型時，二次型已經(jīng)是標(biāo)準(zhǔn)形已經(jīng)是標(biāo)準(zhǔn)形. .21111)(xaxf)., 2 , 1,;(),(1121njiaaxxaxxxfjiijninjjiijn定理定理1 1對任意的實二次型對任意的實二次型 f =XTAX, 一定存在滿秩一定存在滿秩線性變換線性變換 X=CY, 使二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形使二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形.假設(shè)對假設(shè)對n -1-1元的二次型，結(jié)論成立

32、元的二次型，結(jié)論成立. .考慮考慮n元二次型元二次型當(dāng)上面的二次型的矩陣當(dāng)上面的二次型的矩陣 A 為零矩陣時，結(jié)論成立為零矩陣時，結(jié)論成立. .下面假定下面假定 A 不為零矩陣不為零矩陣. .分兩種情形討論：分兩種情形討論：A 的主對角元中至少有一個不為零，不妨設(shè)的主對角元中至少有一個不為零，不妨設(shè)a1111不為零不為零. . 這時這時2021/8/643ninjjiijniiinjjjnxxaxxaxxaxaxxxf22211211211121),(ninjjiijnjjjnjjjxxaxaaxaaxa22221111221111111)()(,)(22221111111ninjjiijnj

33、jjxxbxaaxa其中，其中，ninjjiijnjjjninjjiijxxaxaaxxb2222111122)(令令 , ,222111111nnnjjjxyxyxaaxy或或 , ,222111111nnnjjjyxyxyaayx2021/8/644顯然上述變換為一個滿秩的線性變換，將原二次型化為顯然上述變換為一個滿秩的線性變換，將原二次型化為.),(22211121ninjjiijnyybyaxxxf由歸納假定，對于由歸納假定，對于n-1-1二次型二次型ninjjiijyyb22存在滿秩線性變換存在滿秩線性變換, ,33223333232323232222nnnnnnnnnnycycyc

34、zycycyczycycycz使之成為標(biāo)準(zhǔn)形，即使之成為標(biāo)準(zhǔn)形，即.223322222nnninjjiijzdzdzdyyb2021/8/645于是滿秩的線性變換于是滿秩的線性變換, , ,33222323222211nnnnnnnnycycyczycycyczyz將原二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，即將原二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，即.),(2222211121nnnzdzdzaxxxfA 的主對角元全為零的主對角元全為零. . 此時此時 A 中至少有一個中至少有一個元素元素 aijij （i j）不為零，不妨設(shè)）不為零，不妨設(shè) a1212 0. 0.令令2021/8/646 , ,33212211nnyxyxyy

35、xyyx則它是一個滿秩線性變換，且使得原二次型化為則它是一個滿秩線性變換，且使得原二次型化為nnnnnnnxxaxxaxxaxxxf1, 111211221222),(nnnnnnyyayyyayyyya1, 12112121122)(2)(2nnnnyyayaya1, 122122112222這時，上式右端關(guān)于變量這時，上式右端關(guān)于變量nyyy,21的二次型中的二次型中21y的系數(shù)不為零，故可視為情形的系數(shù)不為零，故可視為情形 I I 處理處理. . 定理得證定理得證. .2021/8/647第七章 二次型與二次曲面例 1化二次型化二次型因為標(biāo)準(zhǔn)形中只含有平方項因為標(biāo)準(zhǔn)形中只含有平方項. 因

36、此逐個將變量配成因此逐個將變量配成一個完全平方的形式一個完全平方的形式. 令令, ,22333223211xyxxyxxxy.72232221yyyf32312123222112446xxxxxxxxxf為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所作的滿秩線性變換為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所作的滿秩線性變換.)(432121xxxxf232232)(4)(4xxxx322322126xxxx2321)22(xxx322322452xxxx2323233222232152)2(2)22(xxxxxxxxx2323223217)(2)22(xxxxxx則則2021/8/648所作的滿秩線性變換為所作的滿秩線性變換為., ,23332

37、2211yxyyxyyx練習(xí)用配方法化二次型用配方法化二次型.62262222為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形yzxzxyzyxf2021/8/649第七章 二次型與二次曲面因因 f 中含有中含有 x 的平方項的平方項. 可將含可將含 x 的項歸到一起的項歸到一起, 配配成一個完全平方的形式成一個完全平方的形式. f = (x2 + 2xy + 2xz) + 2y2 + 6z2 + 6yz= ( x2 + 2xy + 2xz + 2yz +y2 + z2 ) + ( 2y2 y2) + (6z2 z2) + (6yz 2yz) = ( x + y + z)2 + y2 + 5z2 + 4yz = ( x +

38、y + z)2 + ( y2 + 4yz) + 5z2= ( x + y + z)2 + ( y + 2z )2 + z2 ,令令, 2 zzzyyzyxx.222zyxf則則2021/8/650第七章 二次型與二次曲面例 2用配方法化用配方法化 f = 2xy + 2xz 6yz 為標(biāo)準(zhǔn)形為標(biāo)準(zhǔn)形.令令zzyxyyxxzyzxyxf8422 22代代入入得得2222282)242(zzyyzzxx22226)44(2)(2zzzyyzx,6)2(2)(222zzyzx再令再令 zzzyyzxx 2 .622 222zyxf 從而從而上一頁2021/8/651練習(xí)用配方法化二次型用配方法化二次

39、型.2323121為標(biāo)準(zhǔn)形為標(biāo)準(zhǔn)形xxxxxxf令令33212211yxyyxyyx 代代入入配配方方得得32223121yyyyy3yf 322223231yyyy49y23y )(23232231y2y21yy23y )()(2323232231y49y41y21yy23y )()(2021/8/652 33322311yzy21yzy23yz令令 33322311zyz21zyz23zy即即.232221z2zzf 就有就有所用變換矩陣為所用變換矩陣為 10011121110021102301100011011C2021/8/653第七章 二次型與二次曲面.21sPPPC設(shè)設(shè) A 為為

40、n 階實對稱矩陣，由第一節(jié)定理階實對稱矩陣，由第一節(jié)定理 1 知，存在可知，存在可逆矩陣逆矩陣 C, 使得使得 CTAC 為對角陣，即為對角陣，即而可逆矩陣可以表示成一系列初等矩陣的乘積，即而可逆矩陣可以表示成一系列初等矩陣的乘積，即因此，因此，).,(21nTddddiagDACC定理定理 1 1對任意實對稱矩陣對任意實對稱矩陣 A, 存在一系列初等矩陣存在一系列初等矩陣 P1，P2, , Ps , 使使).,(212112nSTTTsddddiagDPPAPPPP2021/8/654由于由于,1221TTTTssCEPPPCPPEP或或,DACCT說明，若矩陣說明，若矩陣 A 經(jīng)過一系列合

41、同變換經(jīng)過一系列合同變換 ( 進(jìn)行初等列變換進(jìn)行初等列變換后再進(jìn)行同樣的初等行變換后再進(jìn)行同樣的初等行變換 ) 化為對角矩陣化為對角矩陣 D, 則單位矩則單位矩陣陣 E 經(jīng)過相同的一系列列變換化為矩陣經(jīng)過相同的一系列列變換化為矩陣 C.這樣，我們就得到利用矩陣初等變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)這樣，我們就得到利用矩陣初等變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法，即形的方法，即.或者，若矩陣或者，若矩陣 A 經(jīng)過一系列合同變換經(jīng)過一系列合同變換 ( 進(jìn)行初等列變換進(jìn)行初等列變換后再進(jìn)行同樣的初等行變換后再進(jìn)行同樣的初等行變換 ) 化為對角矩陣化為對角矩陣 D, 則單位則單位矩陣矩陣 E 經(jīng)過相同的一系列行變換化為矩陣經(jīng)過

42、相同的一系列行變換化為矩陣 CT.CDEA)(TCDEA2021/8/655例 3.121221110,AACCCT為為對對角角陣陣，其其中中使使求求滿滿秩秩矩矩陣陣100010001121221110EA12101000110022313123231cccc12101000110002303123231rrrr111010031100073001312cc111010031100070001312rr2021/8/656故當(dāng)故當(dāng) 時，可使時，可使 111010031C.100070001ACCT2021/8/657例 4化化為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形使使二二次次型型求求滿滿秩秩線線性性變變換換3231

43、21232221822 ,xxxxxxxxxfCYX100141010411001111EA1010300113000011111312rrrr1010300113000010011312cccc10103011233000100132rr10103011236000100132cc2021/8/6582121023001123600010012123rr2121023001120600010012123cc所以，所以，,21210112001TC將將二二次次型型化化為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形且且滿滿秩秩線線性性變變換換CYX .236232221yyyf2021/8/659第七章 二次型與二次曲面但是

44、通過配方法將二次型但是通過配方法將二次型 f 化成標(biāo)準(zhǔn)形后化成標(biāo)準(zhǔn)形后, 對應(yīng)對應(yīng)矩陣的秩不變矩陣的秩不變, 即二次型即二次型 f 的秩就等于它的標(biāo)準(zhǔn)形的的秩就等于它的標(biāo)準(zhǔn)形的秩秩, 也就等于標(biāo)準(zhǔn)形中的項數(shù)也就等于標(biāo)準(zhǔn)形中的項數(shù).配方法不能保持配方法不能保持 R3 中向量的長度中向量的長度, 從而不能保持從而不能保持幾何圖形不變幾何圖形不變 .,2122yx也就是變成了也就是變成了xy平面上一個半徑為平面上一個半徑為.22的的圓圓比如比如, xy 面上圓周面上圓周 x2 + y2 =1, 在變換在變換 x = x + y , y = x y 下下, 變成變成 (x +y )2 + (x y )

45、2 =1. 即即上一頁2021/8/660比如比如, 第二節(jié)例題第二節(jié)例題2中所給的二次型中所給的二次型32312123222184444xxxxxxxxxf在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為 而用配方法得到而用配方法得到.921yf ,)22(2321xxxf故經(jīng)過滿秩線性變換故經(jīng)過滿秩線性變換,2233223211xyxyxxxy可將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形可將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形.21yf 注：注：同一個二次型有不同形式的標(biāo)準(zhǔn)形，但標(biāo)準(zhǔn)形的秩同一個二次型有不同形式的標(biāo)準(zhǔn)形，但標(biāo)準(zhǔn)形的秩相同，即平方項的個數(shù)相同，并且正系數(shù)的平方項個數(shù)也相同，即平方項的個數(shù)相同，并且正系數(shù)的平方項個數(shù)也相同！

46、相同！這就是所謂的慣性定理這就是所謂的慣性定理.2021/8/661定義定義1 1第七章 二次型與二次曲面定理定理1 1一個一個 n 元二次型元二次型 f = XTAX 經(jīng)過不同的滿秩線性經(jīng)過不同的滿秩線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)形后，標(biāo)準(zhǔn)形中正平方項的項數(shù)變換化為標(biāo)準(zhǔn)形后，標(biāo)準(zhǔn)形中正平方項的項數(shù) p 和和負(fù)平方項的項數(shù)負(fù)平方項的項數(shù) q 都是由原二次型唯一確定的，且都是由原二次型唯一確定的，且),(Arqp其中其中 r ( A ) 為矩陣為矩陣 A 的秩的秩.稱二次型稱二次型 f 的標(biāo)準(zhǔn)形中正平方項的項數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形中正平方項的項數(shù) p 為為二次型二次型 f 的正慣性指數(shù)，負(fù)平方項的項數(shù)的正慣性指數(shù)，負(fù)平方

47、項的項數(shù) q 為負(fù)為負(fù)慣性指數(shù)慣性指數(shù). 若二次型若二次型 f 的標(biāo)準(zhǔn)形為如下形式的標(biāo)準(zhǔn)形為如下形式22122221rppzzzzzf則稱為則稱為，簡稱，簡稱. 其中其中 r 為二次為二次型的秩型的秩.（規(guī)范形是唯一的規(guī)范形是唯一的）2021/8/662定義定義2 2第七章 二次型與二次曲面對于兩個對于兩個 n 元二次型元二次型若它們的秩若它們的秩 r 相同，且正慣性指數(shù)相同，且正慣性指數(shù) p 相同（從而負(fù)相同（從而負(fù)慣性指數(shù)也相同），則這兩個二次型可以通過滿秩慣性指數(shù)也相同），則這兩個二次型可以通過滿秩線性變換相互轉(zhuǎn)化線性變換相互轉(zhuǎn)化. 也就可以歸為一類也就可以歸為一類. 參數(shù)參數(shù) r 和和

48、 p 提供的分類的一個標(biāo)準(zhǔn)提供的分類的一個標(biāo)準(zhǔn).設(shè)秩為設(shè)秩為 r 的的 n 元二次型元二次型 f = X TAX 經(jīng)滿秩線經(jīng)滿秩線性變換化為規(guī)范形性變換化為規(guī)范形22122221rppzzzzzf則則(2) 若若 p = r 0 ;因因 A 是正定陣是正定陣, 存在可逆陣存在可逆陣 P , 使使PTAP = E X Rn , X 0, 而而 P 可逆，可逆，即即 A = (PT) 1P 1 , 故故 X TAX = X T ( P T ) - -1 P 1 X = X T ( P 1)T P 1 X= ( P 1 X )T ( P 1 X ) 0 .故故 PX 0, 同理同理 P 1X 0,

49、(1) A 是正定矩陣是正定矩陣 ;(2) 對任意的非零向量對任意的非零向量 X , 有有 X TAX 0 .(3) A 的所有特征值都大于零的所有特征值都大于零.正定二次型的規(guī)范形的矩陣顯然是個單位矩陣正定二次型的規(guī)范形的矩陣顯然是個單位矩陣. 即單即單位矩陣是正定矩陣位矩陣是正定矩陣. 那么，那么，2021/8/664第七章 二次型與二次曲面 若若A有一個非正的特征值，不妨設(shè)有一個非正的特征值，不妨設(shè) i 0, 存在正交陣存在正交陣P, 使得使得.21nTAPP (2) 對任意的非零向量對任意的非零向量 X , 有有 X TAX 0 ;(3) A 的所有特征值都大于零的所有特征值都大于零.

50、令令 X = P 1 , 其中其中 = ( 0, 0, , 0, 1, 0 , , 0 ), X TAX = ( P 1 ) T A P 1 則則 的第的第 i 個分量是個分量是 1，其余分量全為，其余分量全為 0. = i 0.= T (P 1) T AP 1 = T 矛盾矛盾!= T P AP T 上一頁2021/8/665第七章 二次型與二次曲面因為因為 A 的全部特征值都大于的全部特征值都大于 0 ， 則則 A 所對應(yīng)的所對應(yīng)的二次型的規(guī)范形的正慣性指數(shù)就是二次型的規(guī)范形的正慣性指數(shù)就是 n , 故故 A 是是正定矩陣正定矩陣.(1) A 是正定矩陣是正定矩陣(3) A 的所有特征值都

51、大于零的所有特征值都大于零.上一頁例 1.48455323121232221的的正正定定性性判判斷斷二二次次型型xxxxxxxxxff 的矩陣為的矩陣為524212425A,625,625, 1321 可可算算出出其其特特征征值值為為所以所以 f 是正定二次型是正定二次型.2021/8/666第七章 二次型與二次曲面(1) 設(shè)設(shè)定理定理 3 3 若二次型若二次型 XTAX 正定，則正定，則);, 2 , 1(0) 1 (niaAii的的主主對對角角元元. 0|)2(AA的的行行列列式式上一頁.1,njijiijTxxaAXX由由二二次次型型的的正正定定性性有有的的向向量量，即即，其其余余分分量

52、量全全為為個個分分量量為為取取第第 . 0)0 , 0 , 1 , 0 , 0(01ii )., 2 , 1( 0niaAiiiTi (2) 又因為又因為A正定，故存在可逆矩陣正定，故存在可逆矩陣C, 使使 CTAC=E, 即即.)()(1111CCCCATT. 0| |)( | 2111CCCAT從而，從而，2021/8/667第七章 二次型與二次曲面例 2.判判斷斷下下列列矩矩陣陣的的正正定定性性,03| ,01| ,0|DBA故故 A, B, C, D 不是不是 正定矩陣正定矩陣.上一頁.100012021,113142321,1221,8442DCBA另外，另外，C 的對角元的對角元,

53、 0422a2021/8/668第七章 二次型與二次曲面定理定理 4 4 n 元二次型元二次型 f = XTAX 正定的充要條件是正定的充要條件是 A 的的各階順序主子式各階順序主子式 |A k | 0, k =1, 2, , n .其中其中kkkkkkkaaaaaaaaaA212222111211)det(,|11111aaA,|222112112aaaaA .|AAn ,上一頁2021/8/669例 2.445433221232221是是否否正正定定判判斷斷二二次次型型xxxxxxxf520242023Af 的矩陣為的矩陣為因為因為 A 的順序主子式為的順序主子式為, 03|1A, 084223|2A, 028|A所以，二次型所以，二次型 f 是正定的是正定的.2021/8/670第七章 二次型與二次曲面練習(xí)f 的矩陣的矩陣. .232 222的的正正定定性性判判斷斷設(shè)設(shè)fxyzyxf,300021011A由于由于 A1 = 1 0, ,0112 2111 2A|A3 | = | A | = 3A2 = 3 0.故故 f 正定正定.上一頁2021/8/671定