2011屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)直通車課件-不等式

1、數(shù)學(xué)直通車數(shù)學(xué)直通車-不等不等式式知識(shí)體系知識(shí)體系第一節(jié)第一節(jié) 不等關(guān)系與不等式不等關(guān)系與不等式 基礎(chǔ)梳理基礎(chǔ)梳理1. 不等式的定義：用不等號(hào)、連接兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式的式子叫做不等式.2. 不等式的基本性質(zhì)(1) ab b a;(2) ab,bca c;(3) ab a+c b+c;(4) ab,c0ac bc;(5) ab,c0ac b,cda+c b+d;(7) ab0,cd0ac bd;(8) ab0,nN*,n1 , .3. 實(shí)數(shù)比較大小的方法（1）a-b0 a b;（2）a-b=0 a = b;（3）a-b0 a 至多小于”、“b,則acb;若abab0,則若ab, ,則a0,b0,則a

2、b,故為真命題.中，由 得 ,由 ,可得 , 為真命題.中，由ab,得-a-b,c-aab0,0c-ab0, 為真命題.中，由 ,abb,a0,bb0,cd0,e0,求證：.d)-(bec)-(ae22題型三題型三 比較大小比較大小【例3】建筑學(xué)規(guī)定，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積，但按采光標(biāo)準(zhǔn)，窗戶面積與地板面積的比不應(yīng)小于10%，并且這個(gè)比值越大，住宅的采光條件越好.問：同時(shí)增加相等的窗戶面積和地板面積，住宅采光條件是變好了，還是變壞了？請(qǐng)說明理由.證明： cd-d0.又ab0,a-cb-d0, ， .又e0,b0,c0,又由題設(shè)條件可知ab,故有 成立，即所以同時(shí)增加相等的窗戶面積和

3、地板面積后，住宅的采光條件變好了.bacbcacbca.c)b(ba)c-(bba-cbcacbcaab10%.acbcab學(xué)后反思 實(shí)數(shù)大小的比較問題常常用“比較法”來解決，“比較法”有“作差比較法”和“作商比較法”兩種，可根據(jù)代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)靈活選用.“作差比較法”的依據(jù)是 “ ” ，其過程可分為三步：作差；變形；判斷差的符號(hào).其中關(guān)鍵一步是變形，手段可有通分、因式分解、配方等，變形的目的是有利于判斷符號(hào)，因此變形越徹底，越有利于下一步的判斷.“作商比較法”的依據(jù)是“ ”,是把兩數(shù)的大小比較轉(zhuǎn)化為一代數(shù)式與“1”進(jìn)行比較，在代數(shù)式結(jié)構(gòu)含有冪、根式或絕對(duì)值時(shí)，可采用此方法.在用“比較法”時(shí)，

4、有時(shí)可先將原代數(shù)式變形后再作差或作商進(jìn)行比較，若是選擇題還可用特殊值法判斷數(shù)的大小關(guān)系.ba0b-ab;a0b-ab;a0b-aba0b1,bab;a0b1,ba舉一反三舉一反三3. 設(shè)a、b是不相等的正數(shù)， ,試比較A、G、H、Q的大小.2baQ,2b1a11H,abG,2baA22解析： a,b為不相等的正數(shù), 即HG;由 ,即GA;由 ,即AQ.綜上可知，當(dāng)a、b是不相等的正數(shù)時(shí)，HGAQ.0,ba)b-a(abbab)ab2-(aabba2ab-abb)(aba2ab-abb1a12-abH-G202)b-a(2bab2-aab-2baG-A202ba-4b2aba2ba-4)b2(a

5、2ba-2baA-Q222222即AQ題型四題型四 利用不等式性質(zhì)求范圍利用不等式性質(zhì)求范圍【例4】(12分)設(shè) ,1f(-1)2,2f(1)4,求f(-2)的取值范圍.bx axf(x)2分析 易知1a-b2，2a+b4,只要將f(-2)=4a-2b用a+b和a-b表示出來，再利用不等式性質(zhì)求解4a-2b的取值范圍即可.解 方法一：設(shè)f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m、n為待定系數(shù))，則4a-2b=m(a-b)+n(a+b)，2即4a-2b=(m+n)a+(n-m)b,.4于是得 ,解得 ,.6f(-2)=3f(-1)+f(1).8又1f(-1)2,2f(1)4,53f(-1)+f(1

6、)10,.10即5f(-2)10.12-2m-n4,nm1n3,m方法二：由得f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1)9又1f(-1)2,2f(1)4,1053f(-1)+f(1)10,即5f(-2)1012b,af(1)b,-af(-1)6f(-1),-f(1)21b3f(1),f(-1)21a學(xué)后反思 由 ,求 的取值范圍，可利用待定系數(shù)法解決，即設(shè) 用恒等變形求得p,q，再利用不等式的性質(zhì)求得 的范圍.此外，本例也可用線性規(guī)劃的方法來求解.d)y,(xfcb,)y,(xfa112111)y,g(x11),y,(xqf)y,(xpf)y,g(x11211111)y,g(x11舉一反三

7、舉一反三4. 已知 ，求 的取值范圍.2-,222-解析： , , +得-+， . , . -, .又0且x1),試比較f(x)與g(x)的大小.22logg(x)3,log1f(x)xx解析： .(1)當(dāng) ,即 或 也就是x 或0 xg(x);x43log4log-3xlog22log-3log1g(x)-f(x)xxxxx0 x43logx1x431,x1x4301,x03410. （2009棗莊模擬）對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a(a0)和b,不等式|a+b|+|a-b|a|(|x-1|+|x-2|)恒成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是 .解析: |a+b|+|a-b|(a+b)+(a-b)|=2|a|,|x

8、-1|+|x-2|2,根據(jù)數(shù)軸法易得 .1522x答案: 1 5,2 2考點(diǎn)演練考點(diǎn)演練(3)當(dāng) ,即 或 也就是 時(shí),f(x) 或0 xg(x);當(dāng)x= 時(shí),f(x)=g(x);當(dāng)1x 時(shí),f(x)2t,故乙先到教室.0,b)2ab(ab)-s(ab)2ab(a4ab-b)(asba2s-2abb)s(a2t-T,ba2s2tstbta,2abbas2bs2asb2sa2sT22基礎(chǔ)梳理基礎(chǔ)梳理第二節(jié)第二節(jié) 一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法1. 一元二次不等式的定義只含有1個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式叫做一元二次不等式.2. 一元二次不等式的解集如下表 判別式0=0

9、0二次函數(shù) 的圖象一元二次方程的 根有兩相異實(shí)根有兩相等實(shí)根沒有實(shí)數(shù)根的解集. . . .R的解集. . . .4ac-b2)(x,x2121xx xxxx|x21或xxx|x212abxx2abxx210)(acbxaxy 20)(a0cbxax20)(a0cbxax20)(a0cbxax23. 分式不等式與一元二次不等式的關(guān)系設(shè)a0; 等價(jià)于（x-a）(x-b)0,且方程 的根是所以原不等式的解集是 .026x-3x2026x-3x2,331x,33-1x2133133-1xx(2)方法一：原不等式即為 ,其相應(yīng)方程為 , ,上述方程有兩相等實(shí)根 ,結(jié)合二次函數(shù) 的圖象知，原不等式的解集為

10、R.018x-16x2018x-16x20164-(-8)241x 18x-16xy2方法二：xR,不等式的解集為R.0,1)-(4x018x-16x16x1-8x222學(xué)后反思 一般地，對(duì)于a0時(shí)的解題步驟求解；也可以先把它化成二次項(xiàng)系數(shù)為正的一元二次不等式，再求解.舉一反三舉一反三1. 已知二次函數(shù) ,當(dāng)y0時(shí),有 ,解不式 .解析：因?yàn)楫?dāng)y0時(shí) ，有 ，所以 是方程 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.由根與系數(shù)的關(guān)系得 解得 ，所以不等式 ,解得-2x3,即不等式 的解集為x|-2x3.qpxxy231x21-01pxqx231x21-31 x21-x21與0qpxx2q21-13-p,21-3161-q,

11、61p06-xx01x61x61-01pxqx22201pxqx2題型二題型二 一元二次不等式的恒成立問題一元二次不等式的恒成立問題【例2】函數(shù) (1)當(dāng)xR時(shí)，f(x)a恒成立,求a的取值范圍；（2）當(dāng)x-2,2時(shí)，f(x)a恒成立，求a的取值范圍.3.axxf(x)2分析 設(shè) 恒成立問題轉(zhuǎn)化為g(x)0恒成立問題. （1）中xR時(shí),g(x)0恒成立，即g(x)的圖象不在x軸下方，故0.(2)中當(dāng)x-2,2時(shí)，g(x)0恒成立，并不能說明拋物線恒在x軸上方，應(yīng)根據(jù)函數(shù)圖像分類討論. af(x)a,-3axxa-f(x)xg2解（1）xR時(shí)，有 恒成立， 則 ,即0a-3axx20a)-4(3

12、-a22.a-60,12-4aa2(2)方法一：當(dāng)x-2,2時(shí)， ,分如下三種情況討論： 0a-3axxxg2 圖1 圖2 圖3如圖1，當(dāng)g(x)的圖象恒在x軸上方時(shí)，有 ,即-6a2.0a)-4(3-a2如圖3,g(x)的圖象與x軸有交點(diǎn),但在x(-,2時(shí),g(x)0, 即 即解得-7a-6.如圖2，g(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)，但在x-2,+)時(shí)，g(x)0,即 即解得 .0g(-2)-2,2a-x0,37a4,a-6,2a0a-32a-4-2,2a-0,a)-4(3-a2a或a綜合得a-7,2.0,ax-2,2g(2)0 2a -4(3-a)0,a2-6,a-2,a-4,2a-7,4+2a

13、3-a0a或方法二： ,只要f(x)的最小值大于或等于a即可. .當(dāng) ，即-4a4時(shí), .令 ,再結(jié)合-4a4,得-4a2.當(dāng) ，即a-4時(shí)， .令2a+7a，則a-7,-7a4時(shí), .令7-2aa，則a ，a.由得-7a2.即當(dāng)a-7,2時(shí)，在x-2,2時(shí)，有f(x)a恒成立.a3axxf(x)24a-32ax3axxf(x)22222a-2-4a-3f(x)2min264a-32aa22a-72af(2)f(x)min22a-2a-7f(-2)f(x)min73學(xué)后反思 (1) 對(duì) xR恒成立時(shí)，只要求滿足 即可.另外： 恒成立 恒成立 恒成立 (2) 區(qū)別“f(x)0對(duì)xR恒成立”與“f

14、(x)0對(duì)xm,n恒成立”的不同.f(x)0對(duì)xm,n恒成立，即f(x)在m,n上的最小值 .0)0(acbxaxf(x)20 0,a0 0,a0)0(acbxax20 0,a0)0(acbxax20)0(acbxax20 0,a0f(x)min舉一反三舉一反三2. 不等式 對(duì)于xR恒成立，則a的取值范圍是（）A.(-,2 B.(-，-2) C.(-2,2) D.(-2,2 04-2)x-2(ax2-a2答案：D解析：當(dāng)a=2時(shí)，不等式恒成立；當(dāng) 時(shí) ， 解得-2a2.綜上,-20.分析 由于字母系數(shù)a的影響，不等式可以是一次的也可以是二次的.在二次的情況下，二次項(xiàng)系數(shù)a可正可負(fù),且對(duì)應(yīng)二次方

15、程的兩個(gè)根2, 的大小也受a的影響,注意對(duì)a進(jìn)行分類討論.2a解 (1)當(dāng)a=0時(shí)，原不等式可化為x-20，其解集為x|x2;(2)當(dāng)a ,原不等式可化為(x-2)(x- )0，其解集為x| x2;(3)當(dāng)0a1時(shí)，有20,其解集為 (4)當(dāng)a=1時(shí)，原不等式可化為 ，其解集為x|x2;(5)當(dāng)a1時(shí)，有2 ,原不等式可化為(x-2)(x- )0,其解集為 .2a2a2a2a2a2x|xx2a或2x202a2a2x|x2xa或?qū)W后反思 對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)含有字母的不等式,一定要注意對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行分類討論，可分為一元一次不等式和一元二次不等式兩種情況.舉一反三舉一反三3.解關(guān)于x的不等式：解析:由

16、判別式與零的關(guān)系，分以下三種情況討論.（1）當(dāng)0時(shí)，即4 -430,解得- a ,此時(shí)， 的解集為R；（2）當(dāng)=0時(shí)，即4 -43=0， 解得a= ,此時(shí)的解為x ;（3）當(dāng)0時(shí)，即4 -430，解得a 或a- ，此時(shí) 的解為x 或x .3233aa 2a3233aa 2a323210 xax 2a3323210 xax 23210 xax 23210 xax 3題型四題型四 一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用【例4】(12分)國(guó)家原計(jì)劃以2 400元/t的價(jià)格收購(gòu)某種農(nóng)產(chǎn)品m t,按規(guī)定，農(nóng)戶向國(guó)家納稅為：每收入100元納8元（稱作稅率為8個(gè)百分點(diǎn)，即8%）.為了減輕農(nóng)民負(fù)擔(dān),

17、制定積極的收購(gòu)政策.根據(jù)市場(chǎng)規(guī)律,稅率降低x個(gè)百分點(diǎn),收購(gòu)量能增加2x個(gè)百分點(diǎn).試確定x的范圍,使稅率調(diào)低后,國(guó)家此項(xiàng)稅收總收入不低于原計(jì)劃的78%.分析 理解題意,巧設(shè)未知數(shù),正確將不等關(guān)系轉(zhuǎn)化成不等式是解題關(guān)鍵.解 設(shè)稅率調(diào)低后的稅收總收入為y元,.1則 .4依題意,得y2 400m8%78%,即 2 400m8%78%.6整理得 ,解得-44x2.9根據(jù)x的實(shí)際意義,知0 x8,所以0 x2為所求.11即x的取值范圍是(0,2.128).x400)(0-42xm(x2512-x)%-2x%)(8400m(1 2y2400)-42xm(x2512-2088-42xx2學(xué)后反思 解不等式應(yīng)用

18、題，可分以下幾步思考：（1）認(rèn)真審題，抓住問題中的關(guān)鍵詞，找準(zhǔn)不等關(guān)系;（2）引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，用不等式表示不等關(guān)系，使其數(shù)學(xué)化;（3）求解不等式;（4）還原實(shí)際問題.舉一反三舉一反三4.已知汽車從剎車到停車所滑行的距離（m）與時(shí)速（km/h）的平方及汽車總重量成正比例.設(shè)某輛卡車不裝貨物以時(shí)速50 km/h行駛時(shí),從剎車到停車走了20 m.如果這輛卡車裝著等于車重的貨物行駛時(shí),發(fā)現(xiàn)前面20 m處有障礙物,這時(shí)為了能在離障礙物5 m以外處停車,最大限制時(shí)速應(yīng)是多少(結(jié)果只保留整數(shù)部分,設(shè)卡車司機(jī)發(fā)現(xiàn)障礙物到剎車需經(jīng)過1 s)?解析：設(shè)卡車從剎車到停車滑行距離為s m,時(shí)速為v km/h,卡車總質(zhì)量

19、為t,則有 (k為常數(shù)).設(shè)卡車空載時(shí)的總質(zhì)量為 ,則 ,解得 .設(shè)卡車的限速為x 千米/小時(shí)（x0),由題意得 ，解得0 x23.所以卡車的最大限速為23 千米/小時(shí).tkvs20t02t50k202020k50 t245xx-15025018【例1】解不等式 錯(cuò)解 原不等式化為解得x2，故原不等式的解集為x|x2.2(1)20.xxx21020 xxx錯(cuò)解分析 本題錯(cuò)誤的原因在于忽視了原不等式中“”具有相等與不相等的兩重性.正解 原不等式等價(jià)于 或 解， 得x2.解，由 或x-1=0且 有意義，得x=-1或x=2，綜上可知，原不等式的解集是x|x2或x=-1.2(1)20.xxx2(1)2

20、0.xxx21020 xxx220 xx22xx易錯(cuò)警示易錯(cuò)警示【例【例2 2】不等式2x(x+2)3(x+2)的解集為 . 錯(cuò)解 原不等式等價(jià)于2x3，即x ，不等式的解集為323.2x x錯(cuò)解分析 本題錯(cuò)誤的原因在于不等式兩邊同時(shí)約掉（x+2），導(dǎo)致不等式?jīng)]有恒等變形，產(chǎn)生丟解情況.正解 原不等式化為2 +4x-3x-60,即2 +x-60，(2x-3)(x+2)0，得-2x ，原不等式解集為2x2x3232.2xx 考點(diǎn)演練考點(diǎn)演練10. （創(chuàng)新題）不等式 的解集為A，不等式 的解集為B，若 ,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .302xx210 xxaAB解析: A=x|2a,又 ,a2.AB答案

21、: (-,211. 某摩托車廠上年度生產(chǎn)摩托車的投入成本為1萬元/輛，出廠價(jià)為1.2萬元/輛,年銷售量為1 000輛.本年度為適應(yīng)市場(chǎng)需求,計(jì)劃提高產(chǎn)品質(zhì)量,適度增加投入成本.若每輛車投入成本增加的比例為x(0 x1),則出廠價(jià)相應(yīng)地提高比例為 0.75x,同時(shí)預(yù)計(jì)年銷售量增加的比例為0.6x,已知年利潤(rùn)y=（出廠價(jià)-投入成本）年銷售量.(1)寫出本年度預(yù)計(jì)的年利潤(rùn)y與投入成本增加的比例x的關(guān)系式;(2)為使本年度的年利潤(rùn)比上年度有所增加，則投入成本增加的比例x應(yīng)在什么范圍內(nèi)?解析：(1)由題意得y=1.2(1+0.75x)-1(1+x)1000(1+0.6x)(0 x1),整理得(2)要保證

22、本年度的年利潤(rùn)比上年度有所增加,必須有即 解得0 x0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax+By+C=0某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域.我們把直線畫成虛線以表示區(qū)域不包括邊界.當(dāng)我們?cè)谧鴺?biāo)系中畫不等式Ax+By+C0所表示的平面區(qū)域時(shí),此區(qū)域應(yīng)包括邊界,則把邊界畫成實(shí)線.（2）判定方法對(duì)于直線Ax+By+C=0同一側(cè)的所有點(diǎn),把它的坐標(biāo)(x,y)代入Ax+By+C,所得的符號(hào)都相同,因此只需在此直線的同一側(cè)取某個(gè)特殊點(diǎn)( )作為測(cè)試點(diǎn),由 的符號(hào)即可判斷Ax+By+C0表示的是直線哪一側(cè)的平面區(qū)域.當(dāng)C0時(shí),常取原點(diǎn)作為測(cè)試點(diǎn).（3）不等式組表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示平面點(diǎn)集的交集,因而是各個(gè)不等

23、式所表示平面區(qū)域的公共部分.CByAx0000y,x2. 線性規(guī)劃的有關(guān)概念名稱意義約束條件由變量x,y組成的不等式組線性約束條件由x,y的一次不等式(或方程)組成的不等式組目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x,y的函數(shù)解析式,如z=2x+3y等線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x,y的一次解析式可行解滿足線性約束條件的解(x,y)可行域所有可行解組成的集合最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問題在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題典例分析典例分析題型一題型一 用二元一次不等式（組）表示平面區(qū)域用二元一次不等式（組）表示平面區(qū)域 【例1】如圖，在ABC中，A（0，1），B（-2，2），C（2，6），寫出A

24、BC區(qū)域所表示的二元一次不等式組.分析 首先寫出直線AB、AC、BC的方程,再確定陰影部分在直線的哪一側(cè)，寫出相應(yīng)的二元一次不等式,再組成不等式組.解 由兩點(diǎn)式得直線AB、BC、CA的方程并化簡(jiǎn)為：直線AB:x+2y-2=0,直線BC：x-y+4=0,直線CA:5x-2y+2=0.原點(diǎn)（0,0）不在各直線上，將原點(diǎn)坐標(biāo)代入到各直線方程左端，結(jié)合式子的符號(hào)可得不等式組為0.22y-5x0,4y-x0,2-2yx學(xué)后反思 直線把平面分成的每一個(gè)區(qū)域內(nèi)所有的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足一個(gè)不等式，確定不等式Ax+By+C0(0,0,0)表示直線Ax+By+C=0的哪一側(cè)區(qū)域，常用下列方法：先由等式定直線，然后在直

25、線的某一側(cè)任取( ),把它的坐標(biāo)代入Ax+By+C0,若不等式成立，則和( )同側(cè)的點(diǎn)都滿足不等式，從而平面區(qū)域被找到.否則，直線的另一區(qū)域?yàn)椴坏仁紸x+By+C0所表示的區(qū)域.當(dāng)C0時(shí)，常用原點(diǎn)來判別或者根據(jù)B的符號(hào)和不等式的符號(hào)來判別，若B的符號(hào)和不等式的符號(hào)同號(hào)，則不等式表示的區(qū)域在直線上方；若異號(hào)，則在直線的下方.00y,x00y,x舉一反三舉一反三1. (教材改編題)若不等式組 表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形,則a的取值范圍是( )A.a5 B.a7 C.5a7 D.a0,將C(7,9)代入z得最大值為21.(2) 表示可行域內(nèi)任一點(diǎn)(x,y)到定點(diǎn)M(0,5)的距離的平方,過M作直線A

26、C的垂線,易知垂足N在線段AC上,故z的最小值是 .(3) 表示可行域內(nèi)任一點(diǎn)（x,y）與定點(diǎn) 連線的率的兩倍，因?yàn)?,所以z的取值范圍為 .225)-(yx z92|MN|2(-1)-x21-y2z21- , 1-Q27,43學(xué)后反思 線性規(guī)劃求最值問題,要充分理解目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,諸如直線的截距、兩點(diǎn)間的距離（或平方）、點(diǎn)到直線的距離、過已知直線兩點(diǎn)的直線斜率等. QAQB73k,k483. 如果點(diǎn)P在平面區(qū)域 上，點(diǎn)Q在曲線 上，那么|PQ|的最小值為（ ）舉一反三舉一反三01-2y0,2-yx0,2y-2x12)(yx221-2D. 1-2C.2 1-54B. 23A.答案： A解析

27、： 如圖，當(dāng)P取點(diǎn) ，Q取點(diǎn)（0，-1）時(shí)，|PQ|有最小值為21, 032題型四題型四 線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用【例4】 (12分)某公司計(jì)劃2008年在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)做總時(shí)間不超過300分鐘的廣告，廣告費(fèi)用不超過9萬元.甲、乙電視臺(tái)的廣告收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)分別為500元/分鐘和200元/分鐘.假定甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)為該公司每分鐘所做的廣告，能給公司帶來的收益分別為0.3 萬元和0.2萬元.問：該公司如何分配在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)的廣告時(shí)間，才能使公司收益最大，最大收益是多少萬元？ 分析 根據(jù)題意，列出線性約束條件，正確作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃問題解決.解 設(shè)公司在甲

28、電視臺(tái)和乙電視臺(tái)做廣告的時(shí)間分別為x分鐘和y分鐘,總收益為z元.2由題意得 z=3 000 x+2 000y.6二元一次不等式組等價(jià)于 作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域,即可行域.如圖: 0.y0,x000, 90200y500 x300,yx0.y0,x900,2y5x300,yx作直線l:3 000 x+2 000y=0,3x+2y=0.8平移直線l,從圖中可知，當(dāng)直線l過M點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值.9聯(lián)立 ,解得x=100,y=200.10點(diǎn)M的坐標(biāo)為(100,200), =3 000 x+2 000y=700 000 （元）.11所以該公司在甲電視臺(tái)做100分鐘廣告,在乙電視臺(tái)做2

29、00分鐘廣告,公司的收益最大,最大收益是70萬元.129002y5x300,yxmaxz學(xué)后反思 (1)解線性規(guī)劃應(yīng)用問題的步驟是:設(shè)出未知數(shù)；列出約束條件，確定目標(biāo)函數(shù)；作出可行域；作平行線，使直線與可行域有交點(diǎn)；求出最優(yōu)解，并作答;(2)用圖解法解答線性規(guī)劃應(yīng)用題時(shí)應(yīng)注意:仔細(xì)審題,對(duì)關(guān)鍵部分進(jìn)行“精讀”,準(zhǔn)確理解題意,明確有哪些限制條件,探求的目標(biāo)如何?起關(guān)鍵作用的變量有哪些?由于線性規(guī)劃應(yīng)用題中的量較多,為了理順題目中量與量之間的關(guān)系,一般可將數(shù)據(jù)列成一個(gè)表格來幫助分析數(shù)量關(guān)系;(3)要注意結(jié)合實(shí)際問題,確定未知數(shù)x,y等是否有限制,如本題中必須x0,y0;(4)能建立線性規(guī)劃的實(shí)際問

30、題的類型:給定一定數(shù)量的人力、物力資源，問怎樣運(yùn)用這些資源使完成的任務(wù)量最大，收到的效益最大；給定一項(xiàng)任務(wù)，問怎樣統(tǒng)籌安排，使完成這項(xiàng)任務(wù)耗費(fèi)的人力、物力資源量最小.舉一反三舉一反三4. 某化工集團(tuán)在靠近某河流修建兩個(gè)化工廠，流經(jīng)第一化工廠的河流流量為500萬立方米/天，在兩個(gè)化工廠之間還有一條流量為200萬立方米/天的支流并入大河（如圖）.第一化工廠每天排放含有某種有害物質(zhì)的工業(yè)廢水2萬立方米，第二化工廠每天排放這種工業(yè)廢水1.4萬立方米,從第一化工廠排出的工業(yè)廢水在流到第二化工廠之前,有20%可自然凈化.環(huán)保要求:河流中工業(yè)廢水的含量應(yīng)不大于0.2%,因此,這兩個(gè)工廠都需各自處理部分工業(yè)廢

31、水,第一化工廠處理工業(yè)廢水的成本是1 000元/萬立方米,第二化工廠處理工業(yè)廢水的成本是800元/萬立方米.試問:在滿足環(huán)保要求的條件下,兩個(gè)化工廠應(yīng)各自處理多少工業(yè)廢水,才能使這兩個(gè)工廠總的工業(yè)廢水處理費(fèi)用最小?解析：設(shè)第一化工廠每天處理工業(yè)廢水x萬立方米,需滿足：設(shè)第二化工廠每天處理工業(yè)廢水y萬立方米,需滿足:兩個(gè)化工廠每天處理工業(yè)廢水總的費(fèi)用為1 000 x+800y元.問題即為:在約束條件 即 下求目標(biāo)函數(shù)z=200(5x+4y)的最小值.2x00.2%500 x-2.1.4y00.2%700y)-(1.4x)-0.8(21.4,y02,x00.2%,700y)-(1.4x)-0.8(

32、20.2%,500 x-21.4y02,x00,8-5y4x1,x如圖,作出可行域.可知當(dāng)x=1,y=0.8時(shí)目標(biāo)函數(shù)有最小值,即第一化工廠每天處理工業(yè)廢水1萬立方米,第二化工廠每天處理工業(yè)廢水0.8萬立方米,能使這兩個(gè)工廠總的工業(yè)廢水處理費(fèi)用最小.易錯(cuò)警示易錯(cuò)警示【例】在R上可導(dǎo)的函數(shù) ,當(dāng)x(0,1)時(shí)取得極大值,當(dāng)x(1,2)時(shí)取得極小值,求點(diǎn)(a,b)對(duì)應(yīng)的區(qū)域的面積以及 的取值范圍.c2bxax21x31f(x)231-a2-b易錯(cuò)分析 本題解答易出現(xiàn)如下誤區(qū)：（1）不能根據(jù)條件準(zhǔn)確作出可行域或不理解所要解答問題的幾何意義;（2）易忽視可行域不包括邊界而得出 .1-a2-b,141正

33、解 函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為 ,當(dāng)x(0,1)時(shí)f(x)取得極大值,當(dāng)x(1,2)時(shí),f(x)取得極小值,則方程 有兩個(gè)根,一個(gè)根在區(qū)間(0,1)內(nèi),另一個(gè)根在區(qū)間(1,2)內(nèi),由二次函數(shù) 的圖象與 方程 的根的分布之間的關(guān)系可以得到2baxx(x)f22baxx(x)f202baxx202baxx2, 02ba0,12ba, 0b0(2)f, 0(1)f, 0(0)f在aOb平面內(nèi)作出滿足約束條件的點(diǎn)(a,b)對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)锳BD（不包括邊界,如圖陰影部分），其中點(diǎn)A(-3,1),B(-1,0),D(-2,0), (h為點(diǎn)A到a軸的距離).點(diǎn)C(1,2)與點(diǎn)(a,b)連線的斜率為 ,顯然 ( ),

34、即 . 21h|BD|21SABD1-a2-b1-a2-bCBCAk,k1-a2-b1,1410.（2009廈門市高三質(zhì)量檢查測(cè)試）已知平面區(qū)域D是由以A（1,3）、B（2,0）、C（3,1）為頂點(diǎn)的三角形內(nèi)部和邊界組成若目標(biāo)函數(shù)z=ax+y（a0）在區(qū)域D內(nèi)僅在點(diǎn)（2,0）處取得最小值，則a的取值范圍為 .解析 平面區(qū)域D如圖. 若目標(biāo)函數(shù)z=ax+y(a0)在區(qū)域D內(nèi)僅在點(diǎn)B處取得最小值，應(yīng)滿足-3-a1，即-1a3，又因?yàn)閍0，所以a的取值范圍為0a3. 301 03,1,1232ABBCKK 11. 某工廠的一個(gè)車間生產(chǎn)某種產(chǎn)品,其成本為每公斤27元,售價(jià)為每公斤50元.在生產(chǎn)產(chǎn)品的同

35、時(shí),每公斤產(chǎn)品產(chǎn)生0.3立方米的污水,污水有兩種排放方式:其一是輸送到污水處理廠,經(jīng)處理(假設(shè)污水處理率為85%)后排入河流;其二是直接排入河流.若污水處理廠每小時(shí)最大處理能力是0.9立方米污水,處理成本是每立方米污水5元;環(huán)保部門對(duì)排入河流的污水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是每立方米污水17.6元,根據(jù)環(huán)保要求該車間每小時(shí)最多允許排入河流中的污水是0.225立方米.試問:該車間應(yīng)該選擇怎樣的生產(chǎn)與排污方案,使其凈收益最大？解析：設(shè)該車間凈收入為每小時(shí)z元,生產(chǎn)的產(chǎn)品為每小時(shí)x公斤,直接排入河流的污水量為每小時(shí)y立方米,每小時(shí)車間污水產(chǎn)生量為0.3x;污水處理廠污水處理量為0.3x-y;經(jīng)污水處理廠處理后的污水排

36、放量為 (1-0.85)(0.3x-y);車間產(chǎn)品成本為27x;車間生產(chǎn)收入為50 x;車間應(yīng)交納排污費(fèi)用為17.6(1-0.85)(0.3x-y)+y;車間交納的污水處理費(fèi)為5(0.3x-y).這樣,車間每小時(shí)凈收入為:z=50 x-27x-5(0.3x-y)-17.60.15(0.3x-y)+y=20.708x-9.96y.由于污水處理廠的最大處理能力為0.3x-y0.9.根據(jù)允許排入河流的最大污水量的限制,有y+(1-0.85)(0.3x-y)0.2259x+170y45.輸送給污水處理廠的污水量應(yīng)滿足0.3x-y0綜上所述,這個(gè)環(huán)保問題可歸結(jié)為以下的數(shù)學(xué)模型:z=20.708x-9.9

37、6y0.y0,x0,y-0.3x45,170y9x0.9,y-0.3x畫出可行域,如圖所示,從圖中可以看出,直線z=20.708x-9.96y在直線0.3x-y=0.9和9x+170y=45的交點(diǎn)上達(dá)到最大值.求出交點(diǎn)坐標(biāo)(3.3,0.09),即當(dāng)x=3.3,y=0.09時(shí)，z有最大值,最大值為67.44.即該車間每小時(shí)生產(chǎn)3.3公斤,直接排入河流的污水量為每小時(shí)0.09立方米時(shí),凈收益最大. 約束條件12. （2009全國(guó))設(shè)函數(shù) 有兩個(gè)極值點(diǎn) ，且 (1)求b，c滿足的約束條件，并在下面的坐標(biāo)平面內(nèi)，畫出滿足這些條件的點(diǎn)(b,c)的區(qū)域；（2）證明： 32f xx3bx3cx12xx，12

38、x1,0 ,x1,2 2110f x.2 解析： (1)f(x)= ,依題意知，方程f(x)=0有兩個(gè)根 ，且 等價(jià)于f(-1)0,f(0)0,f(1)0,f(2)0.由此得b、c滿足的約束條件為滿足這些條件的點(diǎn)（b,c）的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分 2363xbxc12xx，12x1,0 ,x1,2 c2b 1,c0,c2b 1c4b4 (2)證明： 于是由于 1,2，而由(1)知c0，故又由(1)知-2c0，所以 222222211()3630,22fxxxcbxxc 故32322222213()3322cf xxbxcxxx 2x21343cf x22c 2110f x.2 1. 基本不等式 (

39、1)基本不等式成立的條件: a0,b0 .(2)等號(hào)成立的條件:當(dāng)且僅當(dāng) a=b 時(shí)取等號(hào).2. 幾個(gè)重要的不等式(1) 2ab(a,bR).(2) 2 (a,b同號(hào)).(3) (a,bR). .3. 利用基本不等式求最值問題已知x0,y0,則(1)如果積xy是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí),x+y有最小值是 .(簡(jiǎn)記:積定和最小)（2）如果和x+y是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y 時(shí), xy有最大值是 .(簡(jiǎn)記:和定積最大)基礎(chǔ)梳理基礎(chǔ)梳理2baab22ba baab22baabp242p第四節(jié)第四節(jié) 基本不等式基本不等式: :( ,0)2abab a b典例分析典例分析題型一題型一 證明不等式證

40、明不等式【例1】已知a0,b0,c0,且a+b+c=1, 求證:9.1 1 1 cba分析 將1=a+b+c代入不等式左邊,構(gòu)造基本不等式模型，再利用基本不等式證明.證明 . 92223331 111 1 1 cacbbcbaacabcacbbcbaacabcbaccbabcbaacba9.1 1 1cba cba學(xué)后反思 本題如果改為a0,b0,c0,求證 就比較明顯.用a+b+c=1的條件將（a+b+c）“隱”去，造成了思考上的困難，因此應(yīng)注意“1”的代換，構(gòu)造基本不等式，使其積為定值，并使得等號(hào)同時(shí)成立.舉一反三舉一反三1. 已知x,y,z是互不相等的正數(shù),且x+y+z=1,求證:8.1

41、-z1 1-y1 1-x1 證明: x,y,z是互不相等的正數(shù)，且x+y+z=1, 又0 x1, .同理, 將三式相乘,得 yxzyzxyxyzxzy2zx1-y12zyx1-z12xx-1 1-x111x11, 11yz8.1-z1 1-y1 1-x1 題型二題型二 求最值求最值【例2】 (1)設(shè)0 x0,y0,且x+y=1,求 的最小值.3x)-3x(8y a4-a3yx2 8 分析 (1)由0 x0,8-3x0.由于3x+(8-3x)=8,可由基本不等式得3x(8-3x) =16.(2)先將原式化為 ，再討論a-4的正負(fù).(3)由 ,再用基本不等式求最值.223x)-(83x44)-(a

42、4-a3yxxyyxyxyx28102 82 8解 (1)0 x2,03x20, ,當(dāng)且僅當(dāng)3x=8-3x,即x=時(shí)取等號(hào),當(dāng)x= 時(shí), 的最大值是4.42823833x)-3x(8yxx343x)-3x(8y 43(2)顯然a4,當(dāng)a4時(shí),a-40, 當(dāng)且僅當(dāng) ,即 時(shí)取等號(hào);當(dāng)a4時(shí),a-40,y0,且x+y=1, ，當(dāng)且僅當(dāng) ,即x=2y時(shí)等號(hào)成立，當(dāng) 時(shí)， 有最小值18.182821028102 82 8 yxxyyxxyyxyxyxyxxy2831,32yxyx2 8學(xué)后反思 (1)在利用基本不等式求函數(shù)或代數(shù)式的最值時(shí),有時(shí)不一定恰好能用上基本不等式,因此還必須對(duì)所給的函數(shù)或代數(shù)式

43、進(jìn)行變形整理,通過湊項(xiàng)的辦法(一般是湊和或者積為定值)構(gòu)造出基本不等式的形式再進(jìn)行求解.本題第(2)小題中 雖不是定值,但變形為 即可發(fā)現(xiàn) 為定值,故可用基本不等式求之.分式函數(shù)求最值,通?；?,g(x)恒正或恒負(fù))的形式,然后運(yùn)用基本不等式來求最值. a4-a3444-a3 a344-a3 a0m0,ABg(x)Amg(x)y(2)第(3)小題要求根據(jù)條件求最值,如何合理利用條件x+y=1是解答本題的關(guān)鍵,方法是在式子上乘以(x+y).利用基本不等式求最值時(shí),要注意三個(gè)條件,即“一正、二定、三相等”，本題常見的錯(cuò)解為：x0,y0, .此法錯(cuò)誤的原因是沒有考慮等號(hào)成立的條件 和x=y同時(shí)成立

44、是不可能的.所以在不等式連續(xù)放縮的時(shí)候,要時(shí)刻注意是否在同一條件下進(jìn)行放縮,放縮時(shí)還要注意目的性、同向性，不要出現(xiàn)放縮后不能比較大小的情況.在第(2)小題中當(dāng)a4,即a-40時(shí),要用基本不等式必須前面添負(fù)號(hào)變?yōu)檎?1621622 8xyxyyxyxyx2 8舉一反三舉一反三2. 求f(x)= 的值域.x2-x1解析：由已知得 .(1)若x2,則x-20.故 ,當(dāng)且僅當(dāng) ,即x=3時(shí)取等號(hào);22-x2-x1x2-x1f(x)422-x2-x1222-x2-x1f(x)2-x2-x1x-2x-2102222-x2-x122x-2x-2122-x2-x1f(x)-x2-x1(2)若x2,則x-20),即x=10時(shí)取等號(hào).5當(dāng)長(zhǎng)為16.2米，寬為10米時(shí)總造價(jià)最低，最低總造價(jià)為38 880元.6x100（2）由限制條件知 .8設(shè) .9g(x)在 上是增函數(shù),.10當(dāng) 時(shí) , g(x)有最小值,即f(x)有最小