二重積分習(xí)題課最新版本

1、精選ppt 第十章 習(xí)題課習(xí)題課（一一）一、二重積分基本概念二重積分基本概念 二、直角坐標(biāo)下計(jì)算二重積分二、直角坐標(biāo)下計(jì)算二重積分 三、極坐標(biāo)下計(jì)算二重積分三、極坐標(biāo)下計(jì)算二重積分 二重積分概念與計(jì)算二重積分概念與計(jì)算精選ppt內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)(1) 二重積分化為二次積分的方法直角坐標(biāo)系情形直角坐標(biāo)系情形 : 若積分區(qū)域?yàn)閄型)()(,),(21xyyxybxayxD則)()(21d),(dd),(xyxybaDyyxfxyxf 若積分區(qū)域?yàn)閅型)()(,),(21yxxyxdycyxD則)()(21d),(dd),(yxyxdcDxyxfyyxf)(1xyy )(2xyy xybaDOxy)

2、(1yxx Ddc)(2yxx O精選ppt)()(,),(21DDDfyxf)sin,cos(d),(則)()(21d)sin,cos(df(2) 一般換元公式),(),(vuyyvuxxDyx),(,),(Dvu0),(),(vuyxJ且則DDvuvuyvuxfyxfdd ),(),(d),(J極坐標(biāo)系情形極坐標(biāo)系情形: : 若積分區(qū)域?yàn)閐d在變換下D)(1)(2Ox精選ppt(3) (3) 計(jì)算步驟及注意事項(xiàng)計(jì)算步驟及注意事項(xiàng) 畫出積分域 選擇坐標(biāo)系 確定積分序 寫出積分限 計(jì)算要簡便域邊界應(yīng)盡量多為坐標(biāo)線被積函數(shù)關(guān)于坐標(biāo)變量易分離積分域分塊要少累次積分好算為妙圖示法不等式( 先找兩端點(diǎn)

3、，后積一條線 )充分利用對稱性應(yīng)用換元公式精選pptxyoD 設(shè)函數(shù)),(yxf(上下對稱) D 位于 x 軸上方的部分為D1 , ),(),() 1 (yxfyxf),(),()2(yxfyxfd),(Dyxf0d),(Dyxf當(dāng)區(qū)域關(guān)于 y 軸對稱（左右對稱）, 函數(shù)（看x)關(guān)于1D在 D 上d),(21Dyxf在閉區(qū)域D上連續(xù),區(qū)域D關(guān)于x 軸對稱則（變量看y)則變量 x 有奇偶性時, 仍有類似結(jié)果.二重積分的對稱性二重積分的對稱性精選ppt在第一象限部分, 則有22:1D xyDyxyxdd)(22Dyxyxdd)(1dd)(422Dyxyx0二重積分的對稱性特別重要！二重積分的對稱性

4、特別重要！如，D1為精選pptyx1xy 1O典型例題典型例題例例1 1. 設(shè), 1 ,0)(Cxf且,d )(10Axxf則.d)()(d110yyfxfxIx分析分析:交換積分順序后, x , y互換 yxIxyfxfyd)()(010d yyyfxfxd)()(010d xI2yyfxfxxd)()(d110yyfxfxd)()(010d x10d xyyfxfd)()(101010d)(d)(yyfxxf2A等于（ ）22AI22A精選pptttydxxfdytF1)()()2(F2 (2)f(2)f2 (2)f例例2 設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，則等于（ ）. B. C. D. 0 A.

5、分析：. 交換積分次序，變成定積分積分上限函數(shù)ttydxxfdytF1)()(1( )tf x dx1(1) ( )txf x dx( )(1) ( )F ttf t(2)(2)Ff選 B. B O. x. y. t. 1. y=x. 1. 1xdy精選pptD12 xy21xy2()Daxybydxdyabbaab例例3 3.設(shè) 是由曲線和圍成的平面區(qū)域，則A. 等于0 B. 符號與有關(guān)，與 C. 符號與有關(guān)，與無關(guān) D. 符號與、都有關(guān).（ ）無關(guān)分析：. 如圖：. x. y. o. 由積分區(qū)域的對稱性2()Daxybydxdy2DDaxydxdyby dxdy20Dby dxdy2Dby

6、 dxdy選 C. C精選ppt( , )f x y( , )( , )d dDf x yxyf u vu vD0y 2yx1x ( , )f x y xy2xy18xy1xy 例例4 4.設(shè)連續(xù),且是由圍成,則（ ）A.B.C.D.分析：. 注意到二重積分是數(shù)，故設(shè). ( , )d dDAf u vu v則. ( , )f x yxyA( , )d dDAf u vu v()DuvA dudv o. u. v. 1123A18A 選C. C2100()uduuvA dv . 精選ppt例例5 5. . 計(jì)算,dd)1ln(2yxyyxID其中D 由,42xy1,3xxy所圍成.oyx124x

7、yxy32D1D1x解解: : 令)1ln(),(2yyxyxf21DDD(如圖所示)顯然,在1D),(),(yxfyxf2D),(),(yxfyxfyxyyxIDdd)1ln(120yxyyxDdd)1ln(224上在上(-1,0)(1,0)精選pptD2D3D4D例例6則yxyxyxDdd)sincos(yxyxADddsincos2)(1yxyxBDdd2)(1yxyxyxCDdd)sincos(4)(10)(D1D分析分析: 如圖 ,4321DDDDD由對稱性知0ddyxyxD在43DD yxsincos上是關(guān)于 y 的奇函數(shù)在21DD 上是關(guān)于 x 的偶函數(shù)A,),(ayxaxayx

8、D),(1yxD ,0ayxaxxyaaaO精選pptDdyxx)963(2，其中D為圓周 222ayx所圍成的閉區(qū)域。.例例7 7xayo解：如圖 由積分區(qū)域的對稱性，有Ddyxx)963(22369DDDDx dxdydd2221()92Dxyda22200192adda 2294aa精選ppt22Dx1(xy )dxdyyfD3yx1y 1x ufD例例8 8. 計(jì)算其中是由及所圍成的區(qū)域，是上的連續(xù)函數(shù).解：如圖yox做輔助線將區(qū)域分成兩部分D1，D2，D1D222Dx1(xy )dxdyyf1122()DDxdxdyxyf xydxdy2222()DDxdxdyxyf xydxdy1

9、Dxdxdy30012xdxxdy25 精選ppt例例9 9. 計(jì)算,ddsinDyxxx其中D 是直線 ,0,yxy所圍成的閉區(qū)域.OxyDxxy 解解: : 由被積函數(shù)可知,因此取D 為X - 型域 :0:0 xDyxDyxxxddsinxy0d0dsinxx0cos x20dsinxxxx先對 x 積分不行, 精選pptcosaxaO例例1010. .交換積分順序aarccos)0(d),(dcos022afIa解解: : 積分域如圖rra0daarccosaarccosId),(f精選pptaxy2解：解：原式ay0daay2d22xaxy22yaax例例1111. 給定改變積分的次序

10、.)0(d),(d20222ayyxfxIaaxxaxay0d2222d),(yaaayxyxfayaaxyxf222d),(aayxyxf222d),(ayx22a2a2aOxyayx2222yaax22yaax精選ppt2|Dyxdxdy,其中( , )11,02Dx yxy 例例12. 計(jì)算oxy2yx解：如圖解：如圖為去掉絕對值，做輔助線為去掉絕對值，做輔助線將區(qū)域分成兩部分D1，D2，D1D22|Dyxdxdy12Dxy dxdy22Dyx dxdy由積分區(qū)域的對稱性，有212002xdxxydy212202xdxyx dy231220012()2xxydx223122012()2x

11、yxdx532精選ppt例例13. 解解: 精選ppt.24212sinsin22xxxxxdxdydxdyyy例例14. 計(jì)算解：如圖解：如圖oxy1 12 24 4（2,22,2）（1,11,1）24212sinsin22xxxxxdxdydxdyyy221sin2yyxdydxy2212( cos)2yyyxdyy212(coscos)22yydy34(2)精選pptDr2222201limcos()d dxyrDexyx yr例例15.設(shè)區(qū)域是中心在原點(diǎn)，半徑為的圓盤，求解：如圖解：如圖xr由積分中值定理，存在由積分中值定理，存在( , )D 使使222221cos()d dxyDex

12、yx yr2222221cos()err2222cos()e于是于是2222201limcos()d dxyrDexyx yr22220lim(cos()re=1=1( , ) 精選ppt或者或者2222201limcos()d dxyrDexyx yr22220001limcosrrdedr 222002limcosrredr 2202coslim2rrrerr由洛必達(dá)法則=1=1xr精選ppt例例16. .設(shè)二元函數(shù)設(shè)二元函數(shù)22211( , )12xxyf x yxyxy解：解：當(dāng)時，1 yx12xyxy計(jì)算計(jì)算( , )Df x y d其中其中( , )2Dx yxy 由對稱性由對稱性

13、1D2D1( , )Df x y d12Dx d112004xdxx dy13當(dāng)時，2( , )Df x y d22sincos10sincos4dxd4 2ln( 21)( , )Df x y d14 2ln( 21)3于是于是精選ppt2222()Dxydab，其中D為圓周 222ayx所圍成的閉區(qū)域。.例例17. .xayo解：如圖由積分區(qū)域的對稱性，有2222()Dxydab222211DDx dy dab22222211()()22DDxydxydab222211()()22Dxydab22220011()22addab 422111()4aab精選ppt例例18. .設(shè)f (x)是

14、在0,1上連續(xù)，單調(diào)減少的正值函數(shù)，1122001100( )( )( )( )xfx dxfx dxxf x dxf x dx證明:證明:x0,1且f (x) 0, 上述四個積分都大于零令1111220000( )( )( )( )Ifx dxyf y dyyfy dxf x dx變成二重積分22( )( )( ) ( )Dfx yf yyfy f x d( ) ( )( ( )( )Dyf x f yf xf y d交換變量符號( ) ( )( ( )( )DIxf x f yf yf x d( , ) 01,01Dx yxy精選ppt( ) ( )( ( )( )DIxf x f yf

15、yf x d( ) ( )( ( )( )DIyf x f yf xf y d于是，將上兩式相加，得1( ( ) ( )( ( )( )()2DIf x f yf yf xxy d因 f (x)單調(diào)遞減，所以當(dāng)xy時( )( )0f yf x當(dāng)xy( )( )0f yf x于是總有0I 從而有1122001100( )( )( )( )xfx dxfx dxxf x dxf x dx精選ppt例例19.設(shè) f (x) 在0,1上連續(xù)，( )( )1()( )( )2Daf xbf ydabf xf y( , ) 01,01Dx yxy證明:證明: 因?yàn)镈關(guān)于x= y對稱，所以( )( )DDf

16、 x df y d設(shè)( )( )( )( )( )( )DDf xf yIadbdf xf yf xf y( )( )( )( )( )( )DDf yf xadbdf xf yf xf y所以1( ( )( )( ( )( )2( )( )Da f xy yb f xy yIdf xf y1()2ab(交換變量符號)精選ppt2222230()2lim(0)3xyttfxydxdyft(0)0f( )f u例例20.設(shè)為可微函數(shù)且證明：證明：2222230()limxyttfxydxdyt20030( )limttdfdt 0302( )limttfdt 202( )lim3ttf tt02( )0lim30tf tt2(0)3f 精選ppt220lim2(0,0)Dffxyxydxdyfxy ( , )f x y例例2121.設(shè)在單位圓上有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),