導數(shù)壓軸題題型學生版

1、與數(shù)壓軸題題型引例【2016高考山東理數(shù)】(本小題滿分13分)2x 1已知 f (x) a x In x-2 , a R.x(I)討論f(x)的單調(diào)性；(II)當a 1時，證明f(x)>f x 3對于任意的x 1,2成立. 21.高考命題回顧例 1.已知函數(shù) f(x)ae2x+(a- 2) ex-x.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍.例2. (21)(本小題滿分12分)已知函數(shù)f x x 2 ex a x 1 2有兩個零點.(I)求a的取值范圍；2.(II)設x1,x2是f x的兩個零點，證明：x1 x2例3.(本小題滿分12分)-» 乙一

2、一、人 ，、11已知函數(shù) f (x) =x ax ,g(x) In x 4(I)當a為何值時，x軸為曲線y f(x)的切線；(H)用min m, n 表示m,n中的最小值，設函數(shù)h(x) min f (x), g(x) (x 0),討論 h (x)零點的個數(shù)例4.(本小題滿分13分)2丫已知常數(shù)a 0 ,函數(shù)f (x) ln(1 ax) .x 2(I )討論f (x)在區(qū)間(0,)上的單調(diào)性；(H )若f (x)存在兩個極值點xrx2，且f(xj f(x2) 0,求a的取值范圍.例 5 已知函數(shù) f(x) =exln(x + m).(1)設x=0是f(x)的極值點，求m,并討論f(x)的單調(diào)性

3、；(2)當 m<2 時，證明 f(x)>0.1 O例 6 已知函數(shù) f(x)酒足 f (x) f'(1)ef(0)x -x2(1)求f(x)的解析式及單調(diào)區(qū)間;1 c(2)右 f(x) -x ax b,求(a 1)b 的最大值。例7已知函數(shù)f(x) al* b,曲線y f(x)在點(1,f(1)處的切線方程為 x 1 xx 2y 3 0。(I )求a、b的值；(R)如果當x 0,且x 1時，f(x)皿K,求k的取值范圍。 x 1 x例 8 已知函數(shù) f(x) = (x 3+3x2+ax+b)e x.(1)若a=b= 3，求f(x)的單調(diào)區(qū)問；(2)若 f(x)在(一8, a

4、 ),(2, B)單調(diào)增加，在(a ,2),( B,+ oo)單調(diào)減少，證明0 - a > 6.2 .在解題中常用的有關(guān)結(jié)論(1)曲線y f(x)在x xo處的切線的斜率等于f(xo),且切線方程為y f (xo)(x %)f(x。)。(2)若可導函數(shù)y f (x)在x x0處取得極值，則f (xo) 0。反之，不成(3)對于可導函數(shù)f (x),不等式f (x) 0( 0的解集決定函數(shù)f (x)的遞增 (減)區(qū)間。 函數(shù)f(x)在區(qū)間I上遞增(減)的充要條件是：x I f (x) 0( 0)恒成立(f (x)不包為0).(5)函數(shù)f(x)(非常量函數(shù))在區(qū)間I上不單調(diào)等價于f(x)在區(qū)間

5、I上有極值，則可等價轉(zhuǎn)化為方程f (x) 0在區(qū)間I上有實根且為非二重根。(若f(x)為二次函數(shù)且I=R,則有 0)。(6) f(x)在區(qū)間I上無極值等價于f(x)在區(qū)間在上是單調(diào)函數(shù)，進而得到f (x) 0或f(x) 0在I上包成立若x I , f (x) 0恒成立，則f(x)min 0;若x I , f (x) 0包成立,則 f(x)max 0(8)若 x。 I ,使得 f (x0) 0 ,則 f (x)max 0 ；若 I ,使得 f (x0) 0 ,0.則設f(x)與g(x)的定義域的交集為D,若 x D f(x) g(x)恒成立，則 有f(x) g(x)min 0.(10)若對xiI

6、1、頭2 I2, f(xi)g(x2)恒成立，則 f (x)min g(x)max .若對xiIi,x2"使得f(M) g(x?)，則 f (x)ming(x)min .若對xiIi,x2I2 ,使得f (xi) g(xz),則 f(x)max g(x)max .(11)已知f(x)在區(qū)間Ii上的值域為A, g(x)在區(qū)間I2上值域為B,若對xiIi,x2I2 ,使得 f(xi)=g(x2)成立，則 A B o(i2)若三次函數(shù)f(x)有三個零點，則方程f (x) 0有兩個不等實根 及、x2, 且極大值大于0,極小值小于0.(i3)證題中常用的不等式：x?1 In x x 1 (x

7、0)< ln (x+1 x (x 1) ex1 xln x(x1)1212x2(x0)3.題型歸納導數(shù)切線、定義、單調(diào)性、極值、最值、的直接應用(構(gòu)造函數(shù)，最值定位)(分類討論，區(qū)間劃分)(極值比較)(零點存在 性定理應用)(二階導轉(zhuǎn)換)2_例1 (切線)設函數(shù)f(x) x a.(1)當a 1時，求函數(shù)g(x) xf(x)在區(qū)間0，1上的最小值；(2)當a 0時，曲線y f(x)在點P(X1，f(X1)(X1口)處的切線為l , l與x 軸交于點A(x2，0)求證：x1 x2布.1 a例2 (最值問題，兩邊分求) 已知函數(shù)f(x) lnx ax 1 (a R).x,1當aw時，討論f(x

8、)的單調(diào)性；21 .設g(x) x 2bx 4.當a -時，右對任息X (0,2),存在x2 1,2 , 4使f (xi) > g(x2),求實數(shù)b取值范圍.交點與根的分布例3(切線交點)已知函數(shù)f x ax3 bx2 3x a,b R在點1, f 1處的切線方程為y 2 0.求函數(shù)f x的解析式；若對于區(qū)間 2,2上任意兩個自變量的值x1,x2都有f % f x2 | c , 求實數(shù)c的最小值；若過點M 2,m m 2可作曲線y f x的三條切線，求實數(shù)m的取 值范圍.,3 2f (x) ln(2 3x) -x2.例4 (綜合應用)已知函數(shù)2求f(x)在0,1上的極值；1 1 x 一,

9、一,不等式|2 lnx| ln f (x) 3x 0若對任意6 3成立，求實數(shù)a的取值范圍;若關(guān)于x的方程f(x) 2x b在0, 1上恰有兩個不同的實根，求實數(shù)b的取值范圍.不等式證明/、 a(x)-例5(變形構(gòu)造法)已知函數(shù) x 1 , a為正常數(shù).9若f(x) 1nx (x),且a 2,求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)問；在中當a 0時，函數(shù)y f(x)的圖象上任意不同的兩點Axi，yi ,B x2, y2，線段AB的中點為C(x0，y0) ,記直線AB的斜率為k ,試證明： k f (xo)若g(x) l1nxl(x),且對任意的x1，x2 0，2 , x1 x2 ,都有g(shù)(x2) g(M)1

10、x2 xi ，求a的取值范圍.2 ,例6 (高次處理證明不等式、取對數(shù)技巧)已知函數(shù)f(x) x 1n(ax)(a 0)2(1)若f (x) x對任意的x 0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；/、 f(x)Jdg(x) x1,x2 (一，1), x1 x2 1(2)當a 1時，設函數(shù)x ,若e，求證 例7 (絕對值處理)已知函數(shù)f(x) x3 ax2 bx c的圖象經(jīng)過坐標原點，且x1x2 (x1x2)4在x 1處取得極大值.(I )求實數(shù)a的取值范圍；(2a 3)2(II )右萬程f(x) 恰好有兩個不同的根，求f(x)的解析式；9(III )對于(II )中的函數(shù)f(x),對任意、 R ,求證：

11、| f (2sin ) f(2sin ) | 81 .例8 (等價變形)已知函數(shù)f (x) ax 1 ln x (a R).(I )討論函數(shù)f (x)在定義域內(nèi)的極值點的個數(shù)；(H)若函數(shù)f(x)在x 1處取得極值，對 x (0,) , f(x) bx 2包成立，求實數(shù)b的取值范圍；(田)當0 x y e2且x e時，試比較？與 27f (x) lnx,g(x) - x mx - (m 0)例9(前后問聯(lián)系法證明不等式)已知22,直線1與函數(shù)f(x),g(x)的圖像都相切，且與函數(shù)f(x)的圖像的切點的 橫坐標為1。-"的大小.x 1 ln x(I)求直線l的方程及m的值；(H )若

12、h(x) f(x 1) g'(x)(其中g(shù)'(x)是g(x)的導函數(shù)),求函數(shù)h(x)的最大值。f (a b) f (2a) b-a(III )當0 b a時，求證：2a例10 (整體把握，貫穿全題)已知函數(shù)f(x) ln 1. x(1)試判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)設m 0,求f (x)在m,2m上的最大值；(3)試證明：對任意n N*,不等式ln(5)e L都成立(其中e是自然對數(shù) n n的底數(shù)).(m)證明：工一.a1 a2ann 1例11 (數(shù)學歸納法)已知函數(shù)f(x) ln(x 1) mx ,當x 0時，函數(shù)f(x)取得極大值.(1 )求實數(shù)m的值;(2)已知結(jié)論

13、：若函數(shù)f(x) ln(x 1) mx在區(qū)間(a,b)內(nèi)導數(shù)都存在,且a 1 ,則存在xo (a,b),使得f (xo)上更一迤) .試用這個 b a結(jié)論證明：若 1 xi x2 ,函數(shù) g(x) fx"(x xi) f(x1)，xi x2則對任意x (x1,x2),都有f (x) g(x);(3 )已知正數(shù)1, 2,L , n，滿足12 L n 1,求證：當n 2,n N時，對任意大于1,且互不相等的實數(shù)x1,x2,L ,xn ,都有 f(國2x2 Lnxn)1f (x1) 2f(x2) Lnfjn).包成立、存在性問題求參數(shù)范圍2.例12(分離變量)已知函數(shù)f(x)x alnx(

14、a為實常數(shù)).(1)若a 2 ,求證：函數(shù)f (x)在(1,+°°)上是增函數(shù)；(2)求函數(shù)f (x)在1, e上的最小值及相應的x值；若存在x 1e,使得f(x) (a 2)x成立，求實數(shù)a的取值范圍.例13 (先猜后證技巧)已知函數(shù)f(x) 1 1n(x 1) x(I )求函數(shù)f ( x)的定義域(n)確定函數(shù)f ( x)在定義域上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論,.k.(田)若x>0時f(x) 上恒成立，求正整數(shù)k的最大值.x 1例 14 (創(chuàng)新題型)設函數(shù) f(x)=e x+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x) g(x).(I)若x=0是F(x)的極值點,求a

15、的值；(H)當 a=1 時，設 P(xi,f(x 1), Q(x2, g(x 2)(x i>0,x2>0),且 PQ/x 軸， 求P、Q兩點間的最短距離；(田)若x>0時，函數(shù)y=F(x)的圖象恒在y=F(x)的圖象上方，求實數(shù)a 的取值范圍.2例15(圖像分析，綜合應用)已知函數(shù)g(x) ax 2ax 1 b(a 0，b 1),在 f(x)幽區(qū)間2, 3上有最大值4,最小值1,設 x .(I )求a，b的值；(H)不等式f (2x) k 2x 0在x 1，1上恒成立，求實數(shù)k的范圍；, x2f(|21|) k( 3) 0(田)方程|211有三個不同的實數(shù)解，求實數(shù)k的范圍.

16、導數(shù)與數(shù)列例 16 (創(chuàng)新型問題)設函數(shù) f (x) (x a)2(x b)ex , a、b R, x a 是 f(x)的一個極大值點.若a 。，求b的取值范圍；當a是給定的實常數(shù)，設 出X2, X3是f (x)的3個極值點，問是否存在實數(shù)b,可找到X4 R,使得x1，X2, X3, X4的某種排列 %，£,% (其中ii, i2, i3, i4 = 1,2,3,4 )依次成等差數(shù)列？若存在，求所有的b及相應的X4；若不存在，說明理由.導數(shù)與曲線新題型例17 (形數(shù)轉(zhuǎn)換)已知函數(shù)f (x) ln x , g(X) -aX2 bX (a 0).2(1)若a 2,函數(shù)h(x) f (x)

17、 g(x)在其定義域是增函數(shù)，求b的取值范圍；在的結(jié)論下，設函數(shù)(x)=e 2x+bex,x C 0,ln2, 求函數(shù) (x)的 最小值；(3)設函數(shù)f(x)的圖象C與函數(shù)g(x)的圖象G交于點P、Q,過線段PQ的中點R作x軸的垂線分別交Ci、G于點M、N ,問是否存在點R,使C 在M處的切線與G在N處的切線平行？若存在，求出R的橫坐標；若不 存在，請說明理由.例18 (全綜合應用)已知函數(shù)f(x) 1 ln(0 x 2).2 x(1)是否存在點M(a,b),使得函數(shù)y f(x)的圖像上任意一點P關(guān)于點M對稱的點Q也在函數(shù)yf(x)的圖像上？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由;2n 1定義Sni1f(-) f(-) nnf(2) nf (曳)，其中n N*,求S2013； n在(2)的條件下，令Sn 12an ,若不等式2an (an)m 1對n N*且n 2包成立，求實數(shù)m的取值范圍.導數(shù)與三角函數(shù)綜合2例19(換元替代，消除三角)設函數(shù)f