2021年高考文科數(shù)學(xué)(人教A版)一輪復(fù)習(xí)講義：第6講第2課時正、余弦定理的綜合問題

1、第 2 課時 正、余弦定理的綜合問題 角度一 計算三角形的面積與三角形面積有關(guān)的問題 （多維探究 ） （1）（2019 高考全國卷n ） ABC 的內(nèi)角 n A, B, C 的對邊分別為 a, b, c,若 b= 6, a = 2c, B =-，則 ABC 的面積為 _ . （2）（2020 福建五校第二次聯(lián)考）在厶 ABC 中，A, B, C 所對的邊分別為 a, b, c,已知 a2+ b2 c2= 3ab,且 acsin B = 2 3sin。，則厶 ABC 的面積為 _ . 【解析】（1）法一：因為 a= 2c, b = 6, B = f 所以由余弦定理 b2= a2 + c2 2ac

2、cos B, 3 得 62= (2c)2+ c2 2X 2cX ccos 扌,得 c= 2 3,所以 a= 4 3,所以 ABC 的面積 n 法二：因為 a= 2c, b= 6, B =-,所以由余弦定理 b2= a2+ c2 2accos B,得 62= (2c)2 3 + c2 2 x 2cx ccos 扌，得 c= 2 3 ,所以 a = 4 3 ,所以 a2= b2 + c2 ,所以 A=(所以 ABC 的面積S= 1x 2j3x 6= 6 筋. 廠 a2+ b2 c2 J3ab 肅 (2)因為 a2+ b2 c2= . 3ab ,所以由余弦定理得 cos C= 莎 =Wb =2又0

3、C v n,所以 C= f因為acsin B= 2 Esin C ,所以結(jié)合正弦定理可得 11 n 故 S* 1absin C=1x 2.3sin6= 求三角形面積的方法 S= acs in B =1 x 4 3 x 2 3 x sin abc = 2 3c ,所以 ab = 2 3. 【答(1)6 .3 _3 2 _3 2 . (1) 若三角形中已知一個角(角的大小或該角的正、 余弦值)，結(jié)合題意求解這個角的兩邊 或該角的兩邊之積，代入公式求面積； (2) 若已知三角形的三邊，可先求其中一個角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面 積，總之，結(jié)合圖形恰當(dāng)選擇面積公式是解題的關(guān)鍵. 角度二 已知

4、三角形的面積解三角形 (2020 湖南五市十校共同體聯(lián)考改編 ) 已知 a, b, c 分別為 ABC 的內(nèi)角 A, B, C 的對邊，(3b a)cos C= ccos A, c 是 a, b 的等 比中項，且 ABC 的面積為 3 2，貝 U ab= _ , a+ b= _ . 【解析】 因為(3b a)cos C = ccos A,所以利用正弦定理可得 3sin Bcos C = sin Acos C 1 + sin Ccos A= sin(A + C)= sin B.又因為 sin B0,所以 cos C = 3,貝卩 C 為 銳角，所以 sin C = 3.由 ABC 的面積為 3

5、, 2,可得 gabsin C= 3 2,所以 ab= 9由 c 是 a, 11 b 的等比中項可得 c2= ab,由余弦定理可得 c2 = a2+ b2 2abcos C,所以(a + b)2=3ab= 33, 所以 a+ b= . 33. 【答案】 9 33 已知三角形面積求邊、角的方法 (1) 若求角，就尋求這個角的兩邊的關(guān)系 ，利用面積公式列方程求解； (2) 若求邊，就尋求與該邊(或兩邊)有關(guān)聯(lián)的角，利用面積公式列方程求解. 注意正弦定理、余弦定理與三角函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用中 ，要注意三角函數(shù)公式的工 具性作用. 1. （2020 濟(jì)南市模擬考試 )在厶 ABC 中，AC = 5, B

6、C = 10, cos A =等，則 ABC 的面積為（ ） 5 A.Q B. 5 C. 10 D 四 D. 2 解析：選 A.由 AC= 5, BC = ,10, BC2= AB2 + AC2 2AC AB cos A,得 AB2 4AB 5 =0,解得 AB = 5,而 sin A = 1 cos2A55，故 SZABC = 5X 5 X 壽5 =號.選 A. 2. (2020 長沙市統(tǒng)一模擬考試)已知 ABC 的內(nèi)角 A, B, C 的對邊分別為 a, b, c,且 B + C asi n(A+ B)= csin 2 . 求 A; (2)若厶 ABC 的面積為.3,周長為 8,求 a.

7、A 解：由題設(shè)得 asin C = ccos, 由正弦定理得 A sin Asin C= sin Ceos?, 所以 sin A = cos ?, 所以 2sinAcosA = cosA,所以 sinA= *, 所以 A = 60 由題設(shè)得bcsin A= . 3,從而 bc= 4. 由余弦定理 a2= b2 + c2 2bccos A,得 a2= (b + c)212. 13 又 a + b + c= 8,所以 a2= (8 a)2 12,解得 a = .三角形面積或周長的最值（范圍）問題（師生共研） （2019 高考全國卷 川） ABC 的內(nèi)角A, _ _ , , 、 ， A+ C , .

8、 A B, C 的對邊分別為 a, b, c.已知 asin廠 =bsin A. 求 B; 若 ABC 為銳角三角形，且 c= 1,求厶 ABC 面積的取值范圍. 、 A+ C 【解】 由題設(shè)及正弦定理得 sin Asin2 = sin Bsin A. A+ C 因為 sin A 丸,所以 sin廠 =sin B. A + C B B B B 由 A+ B + C= 180 可得 sin= cos,故 cos? = 2sin?cos?. 因為 COSBM 0,故 sinB = 2，因此 B= 60 由題設(shè)及 知厶 ABC 的面積SZABC = 丄亠宀口 csin A sin (120 -C)

9、羽 1 由正弦疋理得 a= sin C = SinC = 2tanC+ 2. 由于 ABC 為銳角三角形，故 0 A90 0C90 由(1)知 A+ C = 120 所以 30 C90 故 2a2,從而 VSBCV3. 因此，ABC 面積的取值范圍是 3,產(chǎn) 8 2 求有關(guān)三角形面積或周長的最值 （范圍）問題 在解決求有關(guān)三角形面積或周長的最值（范圍）問題時，一般將其轉(zhuǎn)化為一個角的一個三 角函數(shù)，利用三角函數(shù)的有界性求解 ，或利用余弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系 ，再應(yīng)用基本不等式 求解.題多解）（2020 福州市質(zhì)量檢 測） ABC 的內(nèi)角 A, B, C 的對邊分別為 a, b, c.若角 A, B

10、, C 成等差數(shù)列，且 b= j. （1）求厶 ABC 外接圓的直徑； 求 a + c 的取值范圍. 解：因為角 A, B, C 成等差數(shù)列，所以 2B= A+ C, n 又因為 A + B+ C = n所以 B = 3. b 2 根據(jù)正弦定理得，ABC 的外接圓直徑 2R= T- = = 1. sin B n 法一：由 B = n知 A + C=竽，可得 0 v Av 由知厶 ABC 的外接圓直徑為 1,根據(jù)正弦定理得 a b c = = = 1 sin A sin B sin C 所以 a+ c= sin A + sin C 2n =sin A + sin 3 A sin A+ ； cos

11、 A 2 n n n 5 n 因為0v Av -3-,所以 6v A + 6v孑sin3 - 1 n , 所以 2 sin A+ 6 W 1， 從而 # . 3sin A+ 6 （a + c）23* = 4（a+ c）2（當(dāng)且僅當(dāng) a = c 時，取等號），因為 b=,所以（a+ c）2 W 3，即 a+ cW、.;3, 又三角形兩邊之和大于第三邊 ，所以丁a+ cW 3, 所以 a+ c 的取值范圍是 3, . 3 . 解三角形與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用（師生共研） (2020 湖南省五市十校聯(lián)考 )已知向量 1 m= (cos x, sin x), n = (cos x, . 3cos x),

12、x R，設(shè)函數(shù) f(x) = m n + (1) 求函數(shù) f(x)的解析式及單調(diào)遞增區(qū)間； (2) 設(shè) a，b，c 分別為 ABC 的內(nèi)角 A, B，C 的對邊，若 f(A) = 2, b+ c= 2 2, ABC 1 的面積為步步，求 a 的值. 1 n 【解】(1)由題意知,f(x) = cos1 2x+ 3sin xcos x+ = sin 2x+ 6 + 1. n n n n n 令 2x+ 點 o+ 2 k n, o + 2k n , k Z ,解得 x k n, a + k n , k Z, 6 2 2 3 6 n n 所以函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 3+ kn, + kn ,

13、 k Z. n (2)因為 f(A)= sin 2A+ 6 + 1= 2, n 所以 sin 2A+ 6 = 1. 因為 0v A n 所以 6 2A + n 所以 2A+ n= 即 A= 6 6 6 6 2 6 標(biāo)注條件，合理建模 1 1 由厶 ABC 的面積 S= ?bcsin A = ?,得 bc= 2, 又 b + c= 2 . 2 ,所以 a2= b2+ c2 2bccos A = (b + c)2 2bc(1 + cos A), 解得 a= .3 1. 解決三角函數(shù)的應(yīng)用問題 ，無論是實際應(yīng)用問題還是三角函數(shù)與解三角形相結(jié)合的問 題，關(guān)鍵是準(zhǔn)確找出題中的條件并在三角形中進(jìn)行準(zhǔn)確標(biāo)注

14、 ，然后根據(jù)條件和所求建立相應(yīng) 的數(shù)學(xué)模型，轉(zhuǎn)化為可利用正弦定理或余弦定理解決的問題. ABC 中的內(nèi)角 A, B, C 的對邊分 別為 a, b, c,已知 b= 2a 2ccos B. 求角 C 的大小； 求 .3cos A+ sin B +寸的最大值，并求出取得最大值時角 A, B 的值. 解：法一：在厶 ABC 中，由正弦定理可知 sin B= 2sin A 2sin Ccos B, 又 A+ B + C= n 則 sin A= sin( (B + C) = sin(B+ C),于是有 sin B = 2sin(B + C) 2sin Ccos B = 2sin Bcos C+ 2co

15、s Bsin C 2sin Ceos B, 整理得 sin B= 2sin Bcos C,又 sin B 丸， 小 1 貝 U cos C= 2， n 因為 0C n則 C = 3. a2 + c2 b2 法二：由題可得 b= 2a 2c - 2ac 整理得 a2+ b2 c2= ab, 1 即 cos C= 2， n 因為 0C n則 C = 3. (2)由知 C=n，貝 y B+n= nA , 于是 3cos A+ sin B+ 3 = 3cos A+ sin( A)= . 3cos A + sin A = 2sin A+ 3 , 因為 A = -3 B,所以 0A-3n, 所以 3A+n

16、n n n n 故當(dāng) A = 2 時，2sin A+7的最大值為 2,此時 B=:. 6 3 2 基礎(chǔ)題組練 則厶 ABC 的面積等于（ ） C. 9 D. | 解析：選 B.因為 cos A =47,則 sin A = 3,所以 SZABC = 1 x bcsin A= ,故選 B. 2. 在 ABC 中，已知 C= n b= 4, ABC 的面積為 23,貝 V c=（ ） 3 A. 2,7 B. .7 C. 2 ,2 D. 2.3 解析：選 D.由 S= absin C = 2ax 于二 2.3,解得 a = 2,由余弦定理得 c2= a2+ b2 2abcos C= 12,故 c= 2

17、 3. 3. （2020 河南三市聯(lián)考）已知 a, b, c 分別為 ABC 三個內(nèi)角 A, B, C 的對邊，sin A : sin B = 1 ： ,3, c= 2cos C=.3,則厶 ABC 的周長為（ ） A. 3+3 ,3 B. 2 ,3 C. 3 + 2 ,3 D. 3+ . 3 解析：選 C.因為 sin A : sin B= 1 : 3,所以 b=，3a, a2 + b2 c2 a2 +（寸 da） 2 c2 由余弦定理得cos C= 2ab = 2ax 3a 又 c = . 3,所以 a= . 3, b = 3,所以 ABC 的周長為 4. （2020湖南師大附中 4月模擬

18、）若厶 ABC 的內(nèi)角 A, b= 2, c= 5, ABC 的面積 S=jcos A，則 a=（ ） B. .5 C. 13 D. . 17 5 1 1 解析：選 A.因為 b = 2, c= 5, S= 2cos A= ?bcsin A = . 5sin A,所以 sin A=?cos A. ABC 的內(nèi)角 A, B, C 所對的邊分別為 a, b, c,已知 b = , 7, c= 4, 3 + 2 3,故選 C. B, C 的對邊分別為 a, b, c,且 的面積為 4 3,且 2bcos A+ a= 2c, a + c= 8,則其周長為（ ） A. 10 B. 12 C. 8 + 3 D. 8+ 2 3 1 解析：選 B.因為 ABC 的面積為 4 二 3,所以qacsin B = 4 3.因為 2bcos A+ a = 2c,所以 由正弦定理得 2sin Bcos A+ sin A = 2sin C,又 A + B + C= n,所以 2sin Bcos A + sin A = 2sin 1 、 Acos B + 2cos Asin B,所以 sin A = 2cos B sin A,因為 sin A 工 0,所以 cos B =刁刁 因為 0 B2