線性代數(shù)在量子力學(xué)中的應(yīng)用實(shí)例

1、線性代數(shù)在量子力學(xué)中的應(yīng)用實(shí)例作者：壽立夫摘要：利用泡利自旋矩陣可以簡(jiǎn)化電子自旋這一雙態(tài)系統(tǒng)，并且具備相當(dāng)?shù)钠毡橐饬x，可以適用于一般的量子系統(tǒng)；我們?cè)噲D在N態(tài)系統(tǒng)中尋找一組基礎(chǔ)態(tài)使之標(biāo)準(zhǔn)正交，為此我們仿照實(shí)對(duì)稱矩陣的證明，證明含復(fù)數(shù)的哈密頓矩陣總是可以被相似對(duì)角化的，并且可以通過Gram-Schmidt法則將其化為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。在此基礎(chǔ)上，我們研究了具有四個(gè)基礎(chǔ)態(tài)的氫的超精細(xì)分裂問題并由所得結(jié)果計(jì)算出氫的兩個(gè)超精細(xì)態(tài)之間的“21cm譜線“。關(guān)鍵詞：泡利矩陣 ；N態(tài)系統(tǒng)； 氫的超精細(xì)分裂；線性代數(shù)引言自海森堡創(chuàng)立矩陣力學(xué)以來，隨著疊加原理在量子力學(xué)中的廣泛使用，使得線性代數(shù)成為了描述和研究量子

2、系統(tǒng)的強(qiáng)有力工具，在初步學(xué)習(xí)了相關(guān)線性代數(shù)知識(shí)后，我們已經(jīng)有了足夠的知識(shí)儲(chǔ)備去探究量子世界的奧妙，在此選取幾個(gè)例子粗淺地展示下線性代數(shù)在量子力學(xué)中的一些簡(jiǎn)單應(yīng)用。1 泡利自旋矩陣1.1 背景知識(shí)1.1.1 振幅與態(tài)矢量由于量子力學(xué)本身的特殊性，所以它有一套獨(dú)特的符號(hào)體系。下面引述維基百科的概念:1在量子力學(xué)里，一個(gè)量子系統(tǒng)的量子態(tài)可以抽象地用態(tài)矢量來表示。態(tài)矢量存在于內(nèi)積空間。定義內(nèi)積空間為增添了一個(gè)額外的內(nèi)積結(jié)構(gòu)的矢量空間。態(tài)矢量滿足矢量空間所有的公理。態(tài)矢量是一種特殊的矢量，它也允許內(nèi)積的運(yùn)算。態(tài)矢量的范度是1，是一個(gè)單位矢量。標(biāo)記量子態(tài)的態(tài)矢量為。每一個(gè)內(nèi)積空間都有單范正交基。態(tài)矢量是單

3、范正交基的所有基矢量的線性組合：；其中，是單范正交基的基矢量，是單范正交基的基數(shù)， 是的分量，是投射于基矢量的分量，也是處于的概率幅。1維基百科“態(tài)矢量詞條”. 換一種方法表達(dá)：。在狄拉克標(biāo)記方法里，態(tài)矢量稱為右矢。對(duì)應(yīng)的左矢為，是右矢的厄米共軛，用方程表達(dá)為；其中，象征為取厄米共軛。設(shè)定兩個(gè)態(tài)矢量，。定義,的內(nèi)積為。結(jié)果是一個(gè)復(fù)數(shù)。1.1.2 哈密頓矩陣現(xiàn)在我們令Ci(t)=it表示時(shí)刻t處在基礎(chǔ)態(tài)i的振幅，則在只考慮態(tài)矢隨時(shí)間變化的簡(jiǎn)單情況下，我們可以得到以下齊次線性微分方程組：idCi(t)dt=jHijtCj(t) H=H11H1nHn1Hnn因?yàn)榱孔酉到y(tǒng)的幺正性，所以Hij=Hji*

4、.1.2 泡利矩陣1.2.1磁場(chǎng)中電子自旋的自旋方程idC+(t)dt=-(BZC+(BX-iBy)C-)idC+(t)dt=-(BX+iBy)C+-BZC-)H=BZ-(BX-iBy)-(BX+iBy)BZ通過觀察我們可以寫出如下泡利自旋矩陣：x=0110 y=0-ii0z=100-1 1=1101將哈密頓矩陣改寫為：H=-(xBX+yBy+zBZ)若將視為向量，即=x,y,z則可以得到：H=-·BB與經(jīng)典物理中的磁矩為的磁體處在磁場(chǎng)為B中的能量的經(jīng)典公式：U=-B有相似的形式，這是因?yàn)榻?jīng)典力學(xué)是量子力學(xué)的近似的緣故。1.2.2 泡利矩陣的性質(zhì)x2=1 y2=1 z2 = 1xy=

5、-yx=izyz=-zy=ixzx=-xz=iy2 N態(tài)系統(tǒng)2.1 N態(tài)系統(tǒng)的能級(jí) 因?yàn)闉辇R次線性微分方程組，設(shè)C=C1C2Cn，現(xiàn)在我們對(duì)其施加一個(gè)線性變換,則：idXCdt=(XH)C為使方程組無耦合項(xiàng)，則,為對(duì)角矩陣，我們現(xiàn)假設(shè)哈密頓矩陣可以相似對(duì)角化，則=，為H的特征值，則被化為如下形式：，可見為該N態(tài)系統(tǒng)的n個(gè)能級(jí)所具有的能量.2.2 哈密頓矩陣的相似對(duì)角化我們知道哈密頓矩陣具有性質(zhì)Hij=Hji*，由于哈密頓矩陣可以為復(fù)數(shù)，事實(shí)上對(duì)于實(shí)對(duì)稱矩陣而言，Hij=Hji*也成立（Hji*=Hji），所以我們猜測(cè)哈密頓矩陣也可以被相似對(duì)角化；現(xiàn)在我們根據(jù)這一性質(zhì)仿造實(shí)對(duì)稱矩陣相似對(duì)角化的證

6、明來證明哈密頓矩陣也可以被相似對(duì)角化；2.2.1 屬于不同特征值的特征向量是正交的 2.2.2 基于數(shù)學(xué)歸納法的證明2.3 基礎(chǔ)態(tài)的選擇用Gram-Schmidt法則將H的特征向量組化為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組，選其為基礎(chǔ)態(tài)，顯然，這組基礎(chǔ)態(tài)滿足正交化條件：ij= 0 ij 1 i=j3 氫的超精細(xì)分裂3.1 由兩個(gè)自旋1/2粒子組成的系統(tǒng)的基礎(chǔ)態(tài) 由基礎(chǔ)的物理知識(shí)可知，氫原子包含一個(gè)位于質(zhì)子附近的電子，電子具有“朝上”或者“朝下”的自旋，質(zhì)子的自旋也可以“朝上”或者“朝下”。因此，原子的每一種動(dòng)力學(xué)狀態(tài)都存在這4種可能的自旋態(tài)，這四個(gè)狀態(tài)是由于電子和質(zhì)子磁矩之間的相互作用引起，這些能級(jí)的能量移動(dòng)大約只

7、有10-7eV遠(yuǎn)小于基態(tài)與激發(fā)態(tài)之間的能級(jí)差，所以我們可以用上文的方程組來描述這些量子態(tài)；由于基礎(chǔ)態(tài)或者說基的選擇有無窮多種，我們選取物理意義最明顯的一組：電子自旋質(zhì)子自旋態(tài)1：+1/2+1/2態(tài)2：+-+1/2-1/2態(tài)3：-+-1/2+1/2態(tài)4：-1/2-1/23.2 氫原子基態(tài)的哈密頓但卻是有效的。我們假設(shè)有矢量算符e,當(dāng)它作用這四個(gè)基礎(chǔ)態(tài)之一時(shí)，只相當(dāng)于作用在電子的自旋上，同理有算符p只作用于質(zhì)子的自旋上，有如下表格：xyz+-+i-+-+-i+- 從泡利自旋矩陣中獲得的經(jīng)驗(yàn)，我們可以知道哈密頓矩陣應(yīng)等于：H=Ae·p其中Aep0.53= （e=電子磁矩=，p=質(zhì)子磁矩=，

8、=原子半徑）因?yàn)楝F(xiàn)在有四個(gè)基礎(chǔ)態(tài)，所以H，e，p為四維矩陣，所以和泡利矩陣并不完全一致，但我們同樣可以分別從這兩個(gè)算符作用于基礎(chǔ)態(tài)之上的效果得出哈密頓矩陣，為節(jié)省篇幅省略中間的繁瑣的計(jì)算，直接寫出經(jīng)過這些計(jì)算得到的哈密頓矩陣：3.3能級(jí)由N態(tài)系統(tǒng)的結(jié)論，我們只需解出哈密頓矩陣的特征值即可算出它各能級(jí)對(duì)應(yīng)的能量值，解得=2=3=A4=-3A， 所以能級(jí)差為4A,這就是說當(dāng)原子從態(tài)1躍遷到態(tài)4時(shí)，會(huì)吸收頻率為=4A 的光子，反之，發(fā)射時(shí)也會(huì)放出這樣頻率的光子，根據(jù)理論，這個(gè)頻率的光子的周期為f=2= ,其實(shí)驗(yàn)所得數(shù)據(jù)為(1420405751.8000.028 )Hz ,這便是著名的氫的“21cm譜線”，是氫的兩個(gè)超精細(xì)態(tài)之間1420兆周譜線的波長(zhǎng)。通過捕捉這一譜線的射電望遠(yuǎn)鏡，天文學(xué)家便可以觀察氫原子氣體濃集處的位置和速度。4結(jié)束語(yǔ) 由于篇幅和水品所限，我們并未能對(duì)論題作深入而嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奶接?，但通過以上這些例子，線性代數(shù)充分展現(xiàn)了其在量子力學(xué)中的強(qiáng)大作用，我們有理由相信線性代數(shù)在其他領(lǐng)域也有著不可或缺的作用；其次，我們可以發(fā)現(xiàn)原來復(fù)雜深?yuàn)W的量子力學(xué)在用線性代數(shù)的語(yǔ)言表述變得十分簡(jiǎn)潔清晰，使我們能夠構(gòu)建出明析的物理圖像。相信隨著我們知識(shí)的增加，線性代數(shù)會(huì)幫我們更清晰的理解某些復(fù)雜概念與方法。5參考文獻(xiàn)1R.P.F