量子物理題解3

1、量子物理第3章 原子中的電子（崔硯生 助教李丹）3.5 1884年瑞士的一所女子中學(xué)的教師巴爾末仔細(xì)研究氫原子光譜的各可見光譜線的“波數(shù)”（即1/）時，發(fā)現(xiàn)它們可以用下式表示 其中R為一常量，叫里德伯常量。試由氫原子的能級公式來求里德伯常量的表示式并求其值（現(xiàn)代光譜學(xué)給出的數(shù)值是R = 1.097 373 153 4107m-1）。解：氫原子的能級公式為 氫原子的可見光譜是從的態(tài)躍遷到的態(tài)時發(fā)的光形成的，根據(jù)頻率條件可得各譜線的波數(shù)應(yīng)為 上式與題給的巴耳末公式對比，可得里德伯常量的表示式為 代入數(shù)據(jù)得R 此外，也可利用氫原子能級公式的另一表達(dá)式 （式中a0是玻爾半徑）求得各譜線的波數(shù)為 對比題

2、給的巴爾末公式得 說明：如果要保證結(jié)果的3位有效數(shù)字是正確的，那么運算中所取的數(shù)據(jù)至少應(yīng)有4位有效數(shù)字。本題代入的數(shù)據(jù)均取了4位有效數(shù)字，結(jié)果在3位有效數(shù)字上與R的精確值取3位有效數(shù)字是一致的。書上的答案雖給出了3位有效數(shù)字但與精確值取3位有效數(shù)字有差異（只在2位有效數(shù)字上是一致的），這是由于在運算中所取數(shù)據(jù)的有效數(shù)字位數(shù)不夠（都只有3位）所造成的。3.8 天文學(xué)家觀察遠(yuǎn)處星系的光譜時，發(fā)現(xiàn)絕大多數(shù)星系的原子光譜譜線有紅移現(xiàn)象。在室女座外面一星系射來的光的光譜中發(fā)現(xiàn)有波長為411.7nm和435.7nm的兩條譜線。（1）假設(shè)這兩條譜線的波長可以由氫原子的兩條譜線的波長乘以同一因子得出，它們相當(dāng)

3、于氫原子譜線的哪兩條譜線？相乘因子多大？（2）按多普勒效應(yīng)計算，該星系離開地球的退行速度多大？解：（1）由于所測波長在紫光附近，故可設(shè)想該兩條譜線屬于氫原子的巴耳末系。已知，設(shè)想紅移量不大，以計算較高能級的量子數(shù)n，則有 由此得 與相應(yīng)的地面上測得的氫譜線的波長應(yīng)為 相乘因子為 星光中，所以，當(dāng)是從躍遷到時所發(fā)射。與此對應(yīng)的 相乘因子為（2）由于波長變化不大，所以退行速度不大。由多普勒效應(yīng)公式 由此得 此外，本題還可以用另一種方法確定氫原子的兩條譜線：因為由巴爾末公式 有 本題給出故 化簡得 （*）因此必有 由此解得 ，分別取代入（*）式，求相應(yīng)的的值，只有解得為大于n2的正整數(shù)才是我們需要的

4、解。最后，我們求得滿足（*）式的解只有=6，= 5這一組值。將這兩個量子數(shù)帶入譜線公式，即可確定要求的氫原子的兩條譜線。說明：本題給出波長的數(shù)據(jù)是4位有效數(shù)字，因此運算中代入其他數(shù)據(jù)的有效數(shù)字也應(yīng)該取到4位。書上答案的解答過程中代入的有效數(shù)字位數(shù)只有3位，所以其結(jié)果與上面題解給出的答案有較大的出入（特別是退行速度）。以上說明只是提醒同學(xué)們注意有效數(shù)字位數(shù)的選取，教師在作業(yè)批改中對得到書上答案的可考慮不扣分。3.9 處于激發(fā)態(tài)的原子是不穩(wěn)定的。經(jīng)過或長或短的時間就要自發(fā)地躍遷到較低能級上而發(fā)出相應(yīng)的光子。由海森伯不確定關(guān)系原書（1.34）式，在激發(fā)態(tài)的原子的能級E就有一個相應(yīng)的不確定值。這又使得

5、所發(fā)出的光子的頻率有一個不確定值而使得相應(yīng)的光譜線變寬。此一值叫做光譜線的自然寬度。的典型值為110-8s。試求電子由激發(fā)態(tài)躍遷回基態(tài)時所發(fā)出的光形成的光譜線的自然寬度。解：由于原子可以穩(wěn)定地處于基態(tài)，所以基態(tài)壽命應(yīng)為無限長，而由不確定關(guān)系得知基態(tài)能級的能量值應(yīng)是完全確定的，即。由此可知，所求譜線寬度完全是激發(fā)態(tài)的能量不確定度引起的。由題給出的典型值，根據(jù)不確定關(guān)系，得 所以 3.19 在1.60T的磁場中懸掛一小瓶水。今加以交變電磁場通過共振吸收可使水中質(zhì)子的自旋磁矩沿磁場方向的分量的大小為1.4110-26J/T。設(shè)分子內(nèi)本身產(chǎn)生的局部磁場和外部磁場相比可以忽略，求所需的交變電磁場的頻率應(yīng)

6、多大？波長多長?解：自旋反轉(zhuǎn)需能量為2，因為是通過共振吸收使水中質(zhì)子自旋反轉(zhuǎn)，所以 這屬于超短波無線電波（微波）范圍。3.22 用能量為30keV的電子產(chǎn)生的X射線的截止波長為0.041nm。試由此計算普朗克常量值。解：對于X射線連續(xù)譜，由于電子所損失的能量的最大值就是電子本身從加速電場獲得的動能Ek（=30keV），所以發(fā)出的光子的最大能量也就是這個動能，故我們得到截止波長與入射電子能量（動能）的關(guān)系為由此可得 1915年，Duane和Hunt曾用這種方法測出h值并和由光電效應(yīng)測出的h值相比較，結(jié)果二者相一致，這說明了h的普適性。3.25 某元素的X射線的線的波長為3.16nm。（?。┰撛?/p>

7、原子的L殼層和K殼層的能量差是多少？（2）該元素是什么元素？解：（1）譜線是L層電子向K層躍遷所發(fā)出的譜線，故該元素原子的L殼層和K殼層的能量差是（2）由計算元素的線的莫塞萊公式可得該元素的原子序數(shù)為 取整數(shù)7，可知該元素為氮（N）。3.27 CO2激光器發(fā)出的激光波長為10.6。（1）和此波長相應(yīng)的CO2的能級差是多少？（2）溫度為300K時，處于熱平衡的CO2氣體中在相應(yīng)的高能級上的分子數(shù)是低能級上的分子數(shù)的百分之幾？（3）如果此激光器工作時其中的CO2分子在高能級上的分子數(shù)比低能級上的分子數(shù)多1%，則和此粒子數(shù)布居反轉(zhuǎn)對應(yīng)的熱力學(xué)溫度是多少？解：（1）與題目給出的波長對應(yīng)的能級差是 （2）根據(jù)玻耳茲曼分布率，可得T=300K時處于熱平衡的CO2氣體中在相應(yīng)的高能級上的分子數(shù)與低能級上的分子數(shù)的比率為 （3）若此激光器工作時CO2分子在高能級上的分子數(shù)比低能級上的多1%，則 由玻耳茲曼分布率可得和此粒子數(shù)反轉(zhuǎn)相對應(yīng)的熱力學(xué)溫度是 這表示“粒子數(shù)反轉(zhuǎn)”是一種負(fù)熱力學(xué)溫度狀態(tài)。3.32 氧分子的轉(zhuǎn)動光譜相鄰兩譜線的頻率差為8.61010Hz。試由此求氧分子中兩原子的間距。已知氧原子質(zhì)量為2.6610-26kg。解：分子